新课程小学数学思想方法解读与备课专辑.doc

新课程小学数学思想方法解读与备课专辑正文来源：小素之家2006新网页当好一个小学数学教师，必须具备两个条件：一是具有深厚的数学功底，能够洞悉教材中蕴含的思想和方法；二是具备丰富的教学经验，即对学生的认识规律和水平了如指掌，并对动态教学过程的把握游刃有余。但是前者经常被忽略。后者备受关注，却常常停留于对案例的模仿。今年7月上旬，人民教育第1314期合刊将特别推出 新课程小学数学思想方法解读与备课专辑。此专辑以小学数学四大领域内容为逻辑框架，主要包括两大部分内容：一是由课程标准组的专家对小学数学中的主要思想方法进行深刻而通俗的解读，并针对广大教师在新课程实施过程中出现的一些重要问题予以澄清和提示；二是邀请对数学教学有着深刻理解、教学积累深厚的著名特级教师、优秀教师，如，曹培英、徐斌、华应龙、黄爱华、张齐华等执笔，以人教版、北师大版教材为基础，同时兼顾其他版本的小学数学教材，从小学数学各领域的重点难点教学内容出发，既分学段又以整体的眼光，对小学数学进行了整体解读，重点阐释了核心的教学理念、数学思想和方法，并通过丰富、精彩的案例对教师的备课、教学以可操作性的启示。此专辑不同于一般的教师备课用书，撰写者均以日常课堂教学中的实践问题为切入点，又不囿于对日常教学的一般认识，揭示了数学教学的本质和规律。给人以广阔的教学视野及专业的深度，是一本不可多得的提高教师教学水平的教学、备课用书。专辑总体架构如下：数与代数1理解意义，培养数感“数与代数”备课解读与难点透视认数教学以理解数的意义为重点。让学生理解数的意义，建立正确的数的概念一般有两个角度：一是从数的组成去建构；二是联系实际来体会。数感需要培养。数感与具有数学知识的多少、理解数学知识的程度有关，便更多地表现为应用数与运算的态度和意识。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效降低教学难度。2把握基本矛盾走向有效教学“数的运算”备课解读与难点透视在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。基本算法并不是唯一的算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。多数学生喜欢的方法，教师易教，学生易学的方法，对后续知识的掌握有价值的方法，是最理想的基本算法。在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生装在充分体验中逐步完成由动作思维向形象思维，再向抽象思维的发展过程。3把握“转折”：从“算术”走向“代数”“式与方程”“正比例、反比例”备课解读与难点透视在教学认识方程时，教师要有“建模”意识。解方程不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程，而应当成为数学模型转换、深刻理解“相等关系”的过程。比的教学重在理解比的意义，而不只是解决实际问题。4一个凸显数学本质的教学领域“探索规律”备课解读与难点透视探索规律作为小学数学知识结构亲朋的部分，也需要系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。从在一个单位时间设计一个教学活动的教学角度看，教材的编写和课堂教学设计都是选择的艺术。教学目标的多元化也促使教学时要更注重效率。空间与图形5认识图形发展空间观念提升数学思考“图形的认识、测量”备课解读与难点透视该告诉的不妨告诉；只是以怎样的方式“告诉”，却是一门艺术。唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机结合为一体，观察能力才能得以培养。要善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的解题方法，以相对抽象、更为为一般的层面上认识算法，理解问题结构。6“图形与位置”备课解读与难点透视准确把握教学目标，不要偏离“初步认识”的整体定位。要依据儿童认知空间方位的特点确立教学的难点和组织教学。要善于借助适当的情境与活动，以提示数学知识的实际背景与现实原型。7“图形与变换”备课解读与难点透视什么是变换？什么是平移、旋转和轴对称？教师先要理解这些基本概念。要注意选择典型的、更能体现数学意义的教学活动，否则就容易遮蔽数学概念的本质。要注意引导学生对观察对象圆心适当的简化、抽象，忽略一些无关紧要的细节。统计与概率8“所有的判断都是统计学”“统计与概率”教学与备课难点解析以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有加别于讲究因固关系的逻辑思维。学生凭经验就能判断“可能”和“一定”，还需要做实验吗？鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正他们对概率的认识。实验不仅要做，而且要多次做。“动手实践，主动探索”绝不能简单地等同于“动手活动”，二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。把握基本矛盾走向有效教学 “数的运算”备课解读与难点透视课改前，关于“数的运算”教学议论很多；中国学生的计算能力全球最高，为什么要进行改革？计算教学过于形式化、技能化，严重脱离学生生活实际；计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情；过分强调精确计算，忽视了估算能力的培养；课改后，关于“数的运算”教学仍然议论很多：学生的计算能力（口算能力和笔算能力）严重下降；在计算目标（速度和正确率）方面两极分化现象严重；计算器的引入干扰了学生计算能力的形成；“算法多样化”影响了课堂教学效率；如何应对“数的运算”教学改革中的问题？本文试从数的运算重要意义与价值、教学内容和目标的变化出发，针对目前数的运算教学中普遍存在的基本矛盾进行分析并提出解决策略。一、“数的运算”内在思想和方法“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。正确认识计算在数学教育中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目的之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、意志、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。一定的计算能力是每个公民具备的基本素养之一。1、在日常生活中有广泛的应用。数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点来看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及其相互之间的关系。从数学的角度来看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。2、对培养学生的思维能力有重要作用。学习数的运算的过程是培养和发展学生逻辑思维能力的过程。数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入、建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、感性到理性的过程。学生把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，学生学习、理解和掌握数的运算的有关内容能促进学生思维能力的发展。3、有利于渗透数学思想方法。数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分等等。教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的相互关系，有利于渗透数学思想方法的教育。 二、内容变化解读。随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的逐步普及，“数的运算”中的哪些知识是大多数人最常用的和最基础的知识也在发生着变化。了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内容和教学要求是小学数学课程教材改革研究的任务之一。1 加强的内容。注重计算与日常生活的联系。过去一提到计算，常常和“抽象”“单调”“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。与传统的计算相比，标准注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。在“总体目标”中提出：“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”诚然，计算本身具有抽象性，但其反映的内容又是非常现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。新课程注重计算的现实意义，适当让学生在实际情境中通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。2、增加计算器的运用。计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。标准中强调：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”借助计算器有利于学生进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，而且还培养学生探索简单的数学规律。一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，从而减少计算时间，提高计算的速度；另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。可以说，随着计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。3、强化估算的作用。估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量，所进行的近似的或粗略估计的一种方法。如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，日常生活和工作中估算的作用越来越突出。如，人们在使用工具进行计算中，由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性（是否在正确结果的范围内）进行判断，并对其合理性做出解释。另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题，在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。标准在“内容标准”的具体目标中十分强调估算的作用，在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。2 削弱的内容1、删减珠算的内容。珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学形象性的功能，对于学生大脑智力开发也有很大的促进作用。但是，当今社会的各行各业，随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。因此，标准中基本不介绍珠算，更没有珠算的运算要求，取而代之的是计算器的进入课堂。2、删减繁琐的运算步骤。在整数运算方面，标准明确提出：“进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。”而在这里“简单”运算的含义具体包括：“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。在小数、分数运算方面，标准提出：“会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。”3、删减运算的数目要求。在口算方面，标准提出：“会口算百以内一位数乘、除两位数。”在笔算方面，提出：“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。”我们知道，同样的一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算，其错误率有成倍的增长。因此，降低数在运算过程中的数目要求，也就降低了学生的错误率，真正减轻了学生的负担。 三、教学要点第一学段总体要求：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述算理。”第二学段总体要求：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。”在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。1、如何建立四则运算概念？首先，应注重在具体情境中体会运算意义。四则运算是小学数学最基础的知识，在小学阶段，一般对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。心理学研究表明，当一个数的运算与代表情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。情景可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。因此标准提出了“结合具体情境”的要求。案例1：“加法”的教学（人教版一上）教材创设了学生熟悉的活动情境“折纸游戏”：折了1只红色的纸鸟，2只蓝色的纸鸟。教学时，可以组织学生观察叙说：红色纸鸟的只数可以用“1”表示，蓝色纸鸟可以用“2”表示，一共折的纸鸟只数可以用“3”表示；要求一共有多少只纸鸟，可以把“1”和“2”合并起来，在数学上把这种运算叫做“加法”，写成“12=3”；然后让学生联系情境说一说“1”“2”“3”和“”各表示什么含义；最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动，逐步形成对加法意义的认识。这样的教学过程，学生对加法含义的理解，建立在丰富的感性积累基础之上，在头脑中形成显明的动态表象，从而获得关于加法运算意义的准确理解。其次，应淡化概念形式，注重数学本质。案例2：“乘法”的教学（苏教版课程标准实验教材一下第68-69页）教材通过情境图，首先让学生在具体活动中感知“几个几”：兔有3个2，鸡有4个3；再让学生用已经学过的连加进行计算：222=6，3333=12。接着通过操作学具和观察花片等活动，使学生进一步体验“几个几”：3个5可以写成555=15，5个3可以写成33333=15。然后通过计算桌子上电脑的台数：2222=8，讲述“4个2相加，可以写成24=8或42=8”。同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。这样的编排和教学，改变了传统教学中强调“相同加数”“相同加数的个数”“每份数”“份数”“被乘数”“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和乘数不能位置的人为障碍设置，强化了乘法的本质同数相加。学生认识乘法的过程，成为了快乐的学习体验过程，成了理解数学本质的过程。2、如何重视口算教学？口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，口算不仅仅是笔算的基础，而是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。因此，口算不仅有实践意义，而且是数感发展过程中的一个重要部分，口算可以发展高层次的数学思维，以及解决问题的能力。在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：（1）在数形结合中理解口算原理。数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。案例3：“整百数加、减整百数”的教学（北师大版课程标准实验教材二下第50页）首先创设“买电器”的情境：洗衣机500元，电冰箱1200元，电视机800元，电风扇160元。提出问题：“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱？”列式：500800。接着通过具体的人民币（都是面值百元）的呈现，引发学生思考：5加8等于13，500800=1300。然后又通过计数器演示：5个百加8个百是13个百，也就是1300。最后让学生叙说自己的思考和计算过程。这样的编排和教学，由具体实物（人民币）的操作过渡到半形象半抽象的计数器（算珠）演示，再通过学生在头脑中的表象运演，使学生逐步理解口算的算理（5个百加8个百是13个百，就是1300）。这样的教学符合学生的思维发展规律：直观动作思维具体形象思维抽象思维逻辑。（2）科学合理训练，强化基本口算。在小学阶段的口算内容中，两个一位数相加与其思维相对应的减法和表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理。笔者调查了当前小学生基本口算能力的现状和错误分布情况，发现目前在低年级阶段有些老师过分提高口算的速度要求（有的要求学生每分钟算30道甚至50道），而中高年级则忽视基本口算训练，过分依赖笔算。要强化基本口算，首先应重视基本口算方法的教学。小学生口算的方法一般存在三个层次：逐一重新计数借数数加算或减算按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。所谓数群，是指学生在记数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓数群计算，就是记数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个的数，等等。同时我们还应该注意，在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不作计算速度的要求。其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。小学正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。而20以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。因此，教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本思路（算减想加、算除想乘）的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。再次，应注意口算训练科学化。要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力，甚至出现易题多练、难题少练的现象；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。3、如何加强估算意识？估算具有重要的应用价值，是学生应该具有的重要的计算技能。随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常活动中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。在小学阶段计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算等等。要体现标准中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：（1）培养数感是打好估算的基础。数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。估算可以发展学生对数的认识，并对数感的培养具有重要的意义，同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。（2）掌握估算方法，养成估算习惯。有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。所谓“简约”，是学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。例如估算“495310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时即想比较简单的形式“500300”即可。所谓“转换”，是学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。例如估算加法问题“602597589”，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。例如“602597589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。”此外，还要培养学生的估算习惯。我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。案例3：（北师大三上）一个同学说“我有一串五色珠子，共98颗，每种颜色颗数都相等。”另一位同学经过估算指出“这是不可能的。”这里，后一位同学就是用估算进行了判断。他可能用乘法的思路：5乘一个数的得数个位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余数的。可见，养成了估算的良好习惯，能合理解释结果的合理性，验证计算的精确度。4、如何体现算法多样化？标准在第一学段“教学建议”中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：（1）理解算法多样化的内涵。所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。这两者都由一定的程序与规则组成，因此，运算方法与解题策略有共性，但两者也有区别。前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于问题的信息复杂要有更多的思维。两者无本质区别，只有层次之差。（2）找准算法多样化的前提。现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。（3）把握算法优化的标准。过去我们仅仅用成人认为惟一合理的方法作为基本算法教给学生。现在我们认为的基本算法是什么呢?其实，基本算法并不是惟一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教，学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。理想的基本算法是三位一体的，在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。四、当前计算教学存在的基本矛盾和处理策略依据笔者的调查和分析，课程改革之后计算教学中出现了一些亟需解决的基本矛盾。现分别加以分析，以寻求良好的处理策略。1、情境创设与复习铺垫现在的计算教学几乎不见了传统教学中的“复习铺垫”，取而代之的是“情境创设”。目前大多计算教学的一般教学流程常常是：教师创设情景 学生提出问题 独立思考算法 反馈交流算法 自主选择算法。为此，许多计算课不是从“买东西”开始，就是到“逛商场”结束。一些老师在上课是首先关注的不是学习内容本身而是如何挖空心思创设新奇诱人的所谓“情境”。现在的计算教学，很难再看到过去常见的复习铺垫了。难道，情境创设和复习铺垫真是水火不相容吗？情景创设和复习铺垫之间到底是怎样的关系呢？建构主义学习理论认为，学习总是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的，在实际情境下进行学习，有利于意义建构。的确，良好的问题情境能有效地激活学生的有关经验、体验。标准也非常强调，计算教学时“应通过解决实际问题进一步培养数感，增进学生对运算意义的理解”；“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程”；“避免将运算与应用割裂开来”。然而，任何事物都不是绝对的。因为数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要。数学两方面的来源都可能成为我们展开教学的背景。例如“负数”的教学，传统的教材中很少在小学教学，现在课程标准规定在小学阶段要引进负数。现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，可以作为揭示负数的素材；同时，从数学本身出发，为了解决诸如“23”不够减的矛盾，也需要引进一种新的数，同样是小学生易于感知的问题情境。这里，选择两种角度之一引进都是可取的。问题的另一方面，计算教学之前还要不要“复习铺垫”呢？其实，新课前的复习铺垫主要目的，一是为了通过再现或再认等方式激活学生头脑中已有的相关旧知，二是为新知学习分散难点。前者，只要有必要，则无可厚非。问题在于后者，有一些计算教学中，常常有人为了使教学“顺畅”，设计了一些过渡性、暗示性问题，甚至人为设置了一条狭隘的思维通道，使得学生无需探究或者稍加尝试，结论就出来了。例如教学一年级“9加几”时，有人精心设计了如下铺垫： 3 5 7 91= 1 1 1912= 914= 916= 其实，计算9加几时，由于学生的生活背景和思考角度不同，不同的学生会想到不同的方法，教师应允许学生采用多样化的方法，而不必把学生的思维局限在把另一个加数分成1和几的这一种所谓“凑十法”。 显然，这种把知识咀嚼烂了再喂给学生的所谓“铺垫”，对于发展学生主动获取知识的学习能力是不利的。可见，创设情境和复习铺垫并不是对立的矛盾，并不是所有的计算教学都必须从生活中找“原型”，选择怎样的引入方式取决于计算教学的内容特点和学生的学习起点。2、算理直观与算法抽象曾有一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，只要让学生掌握计算方法后，反复“演练”，就可以达到正确、熟练的要求了。结果，不少学生虽然能够依据计算法则进行计算，但因为算理不清，知识迁移的范围就极为有限，无法适应计算中千变万化的各种具体情况。计算的算理是说明计算过程中的依据和合理性。计算的算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。不能想像一个连基本计算的原理和方法都模糊不清的学生怎能灵活、简便地进行计算呢？怎能会具有计算多样性的能力呢？因此，在计算教学中重视算理和算法是一个十分重要的课题。现在，在计算教学中老师们都十分重视让学生理解算理，特别是让学生在直观形象中理解算理，让学生不仅知道计算方法，而且知道驾驭方法的原理，既知其然，也知其所以然。案例5 ：“一位数乘两位数的笔算”教学（苏教版课程标准实验教材二下第77页）首先出示情景图两只猴子摘桃，每只猴子都摘了14个。让学生提出问题：一共摘了多少个桃？并列出乘法算式214。接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒操作摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数，等等。然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（左图）： 同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。最后，老师引导学生观察这种初始竖式，通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（右图），再让学生运用简化竖式进行计算练习。上述案例，反映了现在计算教学中的又一对基本矛盾算理直观与算法抽象。在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰，但是，好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中，马上就面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算。笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一条桥梁，铺设一条道路，让学生在充分体验中逐步完成动作思维 形象思维 抽象思维的发展过程。上述案例中，形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题，见如下教学片断：师：（在学生理解了142的初始竖式后）。我们一起来用这样的竖式计算。（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）13 11 32 2 7 3 6 7 6 20 70 90 26 77 96师：我们来看黑板上的竖式。这些算式有什么共同的地方？生1：它们都是两位数和一位数乘。生2：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。生3：我发现第二次乘下来都得整十的数。生4：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。师：大家观察都很仔细。那么你觉得像这样写怎么样？生1：比较清楚。生2：清楚是清楚，不过有点烦，有些好象不要写两次的。师：是啊，要是能简单些就好了。生3：其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程）师：老师也来写一次，你们看这样写比原来是否是简单多了？生齐答：是！师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。师：刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？（原来板演的三名学生上台，其余学生也动手用橡皮将初始写法改成简单写法）以上教学过程中，教师没有简单地立即让学生用所谓简化竖式计算，而是在实际计算中使学生进一步理解一位数乘两位数的算理，同时通过观察、比较，找出这些初始竖式的共同点，进而产生简化竖式的需要，在此基础上自然引出简化模式。可见，计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。3、算法多样与算法优化数学课程改革实施的初期，大家对“算法多样化”感觉很新鲜，计算教学一改过去“教材选定算法 教师讲解算法 学生模仿算法 练习强化算法”的机械模式，出现了非常可喜的变化，“算法多样化”已成为计算教学最显明的特征。案例6： “两位数减一位数的退位减法”教学（北师大版一下）首先，教师通过问题情境出示例题337。然后，经过老师的精心“引导”，出现了多样化的算法，老师花了将近一课的时间进行了展示（还分别用动画式课件进行演示）：（1） 33111111126（2） 33330，30426（3） 331023，23326（4） 1376，20626（5） 1073，23326（6） 331320，20626（7） 33627，271126最后，老师说“你们喜欢用什么样的算法就用什么样的算法。”（下课）课后，笔者与上课老师进行了交流，老师说“现在计算教学一定要算法多样化，算法越多越能体现课改精神。” 笔者又询问了课堂上想出第一种算法的学生“你真是这样算的吗？”学生说“我才不愿意用这种笨方法呢！是老师课前吩咐我这么说的。”笔者连续问了好几个学生，竟没有一个学生用这种逐个减1的方法。那么后面的几种算法（特别是第6、7种）真是学生自己想出来的吗？上述案例反映了在计算教学中少数老师对算法多样和算法优化这对基本矛盾的认识模糊。算法多样化应是一种态度，是一个过程，算法多样化不是教学的最终目的，不能片面追求形式化。老师不必煞费苦心“索要”多样化的算法，也不必为了体现多样化，刻意引导学生寻求“低思维层次算法”。即使有时是教材编排的算法，但在实际教学中学生中没有出现，即学生已经超越了的“低思维层次算法”，教师可以不再出示，没有必要走回头路。4、解决问题与技能形成标准中不再设置专门的“应用题”领域，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题”。现在的计算课，能否担当起以往应用题教学的重任？如何处理解决实际问题与计算技能形成之间的矛盾？计算本身的问题如何解决？我们发现，为了体现计算与应用的密切联系，在计算教学时不少老师总是从实际问题引入，在学生初步理解了算理后，马上就去解决大量实际问题。表面上看，学生的应用意识得到了培养，但另一方面我们也发现，学生常常是算式列对了，计算错误率却很高。一段时间下来，发现学生的计算能力并未达到目标，于是再反过来进行大量的训练，使得不少学生短时间内似乎计算正确率和速度提高不少，但实际上违背了学生的认知规律，学生的计算技能并没有实质性的提高，更严重的是这种简单化的处理大大挫伤了学生的学习热情。教育心理学认为，计算是一种智力操作技能，而知识转化为技能是需要过程的，计算技能的形成具有自身独特的规律。学生计算技能的形成一般要经历四个阶段，即：认知阶段、分解阶段、组合阶段、自动化阶段。认知阶段主要是让学生理解算理、明确方法，这比较容易做到，而后面三个阶段常常被老师们忽视。一般说来，复杂的计算技能总是可以分解为单一技能，对分解的单一技能进行训练并逐渐组合，才能形成复合性技能，再通过综合训练就可以达到自动化阶段。诚然，过去计算教学中单调、机械的模仿和大量重复性的过度训练是要不得的，但是，在计算教学时只注重算理理解和解决实际问题，对计算技能形成的过程如蜻蜓点水一带而过，也是不利于培养学生的计算能力的。特别需要指出的是，在学生初步理解算理，明确算法后，不必马上去解决实际问题，因为这时正是计算技能形成的关键阶段，应该根据计算技能形成的规律，及时组织练习。具体地说，可以先针对重点、难点进行专项和对比练习，再根据学生的实际体验，适时缩减中间过程，进行归类和变式练习，最后让学生面对实际问题，掌握相应策略。总之，计算教学的基本矛盾的平衡对于数学课程改革的成败起着重要作用，数学课程改革的深入推进也对计算教学的基本矛盾起着缓和或激化的反作用。计算教学的基本矛盾也会出现不同的表现形式。在处理计算教学的基本矛盾时，应该从数学教育本质的角度出发，在大胆创新的同时，吸取传统教学中的优势，以计算教学基本矛盾的平衡为导向，促进计算教学的深入改革，为切实提高学生的计算能力和数学素养打下基础。主要参考文献：周玉仁著：小学数学教学论中国人民大学出版社，1999年版。盛大启著：小学数学课堂教学实践与研究，江苏教育出版社，2001年版。王权著：小学数学教育学，华东师范大学出版社，1991年版。斯苗儿著：小学数学课堂教学案例透视，人民教育出版社，2003年版。孔企平主编：小学数学课程与教学论，浙江教育出版社，2003年版。章建跃著：数学学习论与学习指导，人民教育出版社，2001年版。孔企平、胡松林著：新课程理念与小学数学课程改革，东北师范大学出版社，2002年版。李光树主编：小学数学教学论，人民教育出版社，2003年版。 本帖最后由 漂泊的湖 于 2006-10-7 10:23 编辑 “探索规律”备课解读与案例透视“探索规律”备课解读与案例透视杭州现代小学数学教育研究中心课题组 执笔：唐彩斌 邵虹一 “探索规律”的课标要求数学从属于（自然）科学，那么，数学是一门怎样的科学？在这些根源性问题的哲学思辩中，“数学是模式的科学”得到了更多的认同。“也就是说，在数学中我们是通过（量化）模式的建构，并以此为直接对象来从事客观世界量化规律性研究的。”基于此，我们能理解在数学学习中存在大量的规律、公式和算法，也就不难理解数学课程标准（实验稿）（以下简称课标）从一个新的视角定位“探索规律”，并对学生探求模式、发现规律提出新的要求。课标把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面，第一学段要求：发现给定的事物中隐含的简单规律；第二学段要求：探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势。同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。“探索规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值，被新课程单列为一个独立部分，也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。探索规律并非是一个全新的内容，在以前的数学学习中早有呈现，只是没有高度重视和持续关注，知识相对散落，编排较为随机。在新课程中，这部分内容被独立出来，其实也只是相对独立，因为它还是要依托“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与应用”等领域的基础知识和基本技能。二“探索规律”的教学意义辞海将“规律”解释为：事物之间的内在的必然联系和趋势。至于“探索”，则是当代学习理论所倡导的，强调独立思考和发现。因此，探索规律是一个发现关系、发展思维的过程，有利于学生夯实基础，鼓励创新，更能够体现数学思考，凸显过程与方法，同时，也能够让学生在自主探索与思考中感受到学习的快乐，形成积极的学习情感与态度。 1实现夯实基础与思维发展之间的结合注重“双基”，规律的探索才会变得更有可能。探索规律不是数学学习中的“空中楼阁”，它是在认识个体学习对象的基础上，发现个体之间的关系或者是事物发展的趋势的过程。而这种关系或趋势的获得，从某种角度看来，恰恰是追寻数学的本质，是一个数学化的过程。因此，探索规律的加强，为实现夯实基础与思维发展之间的结合提供了更多的可能。【案例1】从掌握基本知识和基本技能的角度看来，本题要求学生能根据具体的实物用相应的数来表示，并能正确书写。然而，作为探索规律的要求，则是在这个基础上，发现图与图，数与数之间的关系，能够从这些数中发现内在的变化规律：每次都多2。这种基于一组数据现象的概括，从关注实物与数的对应关系到关注数与数之间的变化关系，正是探索规律所追寻的思维发展的具体体现。2探索规律，改进学生的学习方式改进学生的学习方式是当前课程改革的一个主要目标，在数学学习过程中，有多种学习方式并存，我们应该处理好接受性学习与自主合作探究的学习方式之间的关系，绝不是简单划一或者替代。因为“学什么与怎样学是分不开的”，离开了学习内容，学习方式本身也无本身的优劣。而作为探索规律的教学，应该依托内容来驱动学生进行自主思考，合作学习，主动探究。探索规律的内容更需要自主思考。例如：55（ ）、66（ ）、77（ ）、 88（ ）、 你能发现什么？引导学生发现相邻的数的平方数之间的变化关系？这样的探索规律，需要学生思考“是什么”而且还要知道“为什么”，学生学习的过程中不仅需要知道每一个算式的结果，而且还要发现结果之间的变化关系，而知道了变化关系：分别相差11，13，15，也仅仅解决了规律是什么的问题，对于学生学习来说，还有一个更重要的问题是“为什么”。引导学生利用乘法的分配律来作解释，如：66（51）（51）55551；也就是aabb2b1,a,b为相邻的自然数，ab。从元认知的发展来说，学生要思考的不仅是结果是什么？而且还要思考过程是怎样的“我们是怎样发现这个规律的”。学生反思探索规律的过程，陈述有观察，有猜想，有验证。探索规律过程中蕴藏着更多的问题，就更需学生自主思考。探索规律中有一部分内容可以采用合作学习的方式组织教学，发展学生的合作能力。【案例2】 在日常教学中我们不难发现，有的合作是来自老师的指令，而并非是学生自觉性的合作，理想的合作，应该是在学生个体独立思考基础上，因学习需要而自主寻求合作。而这个问题关键是在于学习活动本身是否需要合作。就本案例而言，当出现结果是“495”，然后不断地重复了，这会是一种巧合吗？从组织形式分析，可以单独完成，也可以小组合作。我们可以想见，与学生独立学习相比，小组之间的合作探究从知识形成的角度来说：这样的规律是更具数学的普遍性，因为例证不是来自于一个个体，而是一个群体。当然，小组合作与独立学习相比还有其他的教育价值，在此不再赘述。从类似于这样的学习内容而言，探索规律更容易唤起学生的合作意识。探索规律本身就是一种探究活动。探究性学习不仅天然地成为其普遍的学习方式，反过来，探索规律这一内容也能很好地发展学生的探究能力。【案例3】晒50块手帕要多少个夹子呢？与一般的基础知识和基本技能的学习过程相比，探索规律的教学具有更大的思维强度，具有更大的挑战性和思维的驱动性。50块手帕所要的夹子，首先要把这个生活问题，通过学生的理解转化成数学问题，这是思维的抽象，也是数学学习的数学化的过程。50块的手帕，那么多，直接去操作，太麻烦，所以促使学生主动探寻其中的规律，怎么发现规律呢？先从数量少的开始，1块，2块，3块，4块从而发现规律：夹子个数比手帕块数多1，是不是所有的情况都是这样的呢？然后验证。最后，再应用规律解决问题。这个探索规律的过程，就是一个“观察思考发现问题，提出猜想，发现规律，验证规律，应用规律解决问题”的过程，而这个过程也正是一个学生主动探究的学习过程。作为致力于发展思维的探索规律来说，内容更具综合性和间接性，并不是基础知识的简单回顾或重复，也不是基本技能的同一水平层次的操练或巩固，而是一种提升，需要学生从综合性的问题中抽象出数学的问题，或者从具有现实性的问题中转化为数学问题来解决。而探索规律的这些特点，决定了它的教学与探究型学习的不解之源。至此，改变学生的学习方式不是来自教师的指令，而是来自探索规律的内容本身。这样的学习方式是来自学生内需，不是外在的压力，更不是一种形式上的模仿。3给学生创造成功的数学学习体验教育俗语“跳一跳，摘果子”，是寓意学习具有一定的挑战性，学生才会乐于参与，才会产生学习的成功感。从教育学“成就动机理论”也同样可以发现