指数函数、对数函数性质应用

淘出优秀的你 第七周指数函数、对数函数性质应用重点知识梳理1. 指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，)减函数增函数当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y12对数函数的图象和性质ylogaxa10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决典型例题剖析例1求下列函数的定义域(1)f(x)；(2)y.【解析】(1)由12log6x0，解得log6x0x，故所求定义域为(0， (2)由32x10，得32x132，y3x为增函数，2x12，即x，此函数的定义域为.变式训练函数f(x)log2(x1)的定义域是()A(1,2 B1,2C(1，) D2，)【答案】A【解析】要使函数有意义，则，即，1x2，即函数的定义域为(1,2，故选A.例2(1)已知函数f(x)()|x|a，则函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_(2) 已知函数f(x)log(2x2x)，则f(x)的单调递增区间为()A(，) B(，)C(0，) D(，)【答案】(1)(，00，)(2)D【解析】(1)令t|x|a，则f(x)()t，不论a取何值，t在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，又y()t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)(2)由2x2x0，得x0或x，令h(x)2x2x，则h(x)的单调减区间为(，)又x，f(x)的单调递增区间为(，)故选D.变式训练函数f(x)loga(1ax)在(1,3)上单调递增，则a的取值范围是()A(0,1) B(0，)C(，1) D(0，【答案】D【解析】令ylogat，t1ax，a0，t1ax在(1,3)上单调递减f(x)loga(1ax)(a0且a1)在区间(1,3)内单调递增，函数ylogat是减函数，且t(x)0在(1,3)上恒成立，0a.故选D.例3(1)函数y()x()x1在x3,2上的值域是_(2) 已知函数f(x)log2(4x)log2(2x)，x4，求f(x)的最值，并给出函数取得最值时相应的x的值【答案】(1)，57【解析】(1)因为x3,2，若令t()x，则t.yt2t12，当t时，ymin；当t8时，ymax57. 值域为.(2)设tlog2x，x4，log2t0，a1)在区间(0，)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间是()A(，) B(，)C(，) D(0，)8不等式0得x1或x2，当x(，1)时，f(x)x23x2单调递减，而01，由复合函数单调性可知ylog(x23x2)在(，1)上是单调递增的同理，ylog(x23x2)在(2，)上是单调递减的故选A.4A5D由题意可得，解得1a3，故选D.6B函数的定义域为x|x5或x1令tx26x5，则tx26x5在区间(5，)单调递增00.51，根据复合函数的单调性可知函数f(x)log0.5(x26x5)在(5，)上是减函数函数f(x)log0.5(x26x5)在(a，)上是减函数，a5.故选B.7C当x(0，)时，2x2x(0,1)，0a1.函数f(x)loga(2x2x)(a0，a1)由f(x)logat和t2x2x复合而成，0a1时，f(x)logat在(0，)上是减函数，只要求t2x2x0的单调递减区间t2x2x0的单调递减区间为(，)，f(x)的单调增区间为(，)，故选C.8(2,2)解析由题意，考察yx，是一个减函数， 2xa2恒成立，x2ax2xa2恒成立，x2(a2)xa20恒成立，(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a2，即a的取值范围是(2,2)故答案为(2,2)9(，40,4)解析要使函数y的解析式有意义，自变量x须满足162x0，即2x1624，解得x4，故函数y的定义域为(，4又2x0，0162x16，则04，故函数y的值域为0,4)故答案为(，40,4)10(，log2(1)解析由log(4x2x1)0，得4x2x11，即(2x)222x1，配方得(2x1)22，所以2x1，两边取以2为底的对数，得xlog2(1)11解析令t2x，0x2，1t4，y22x132x5t23t5(t3)2，t1,4y(t3)2在1,3上是减函数，在3,4上是增函数，当t3时，ymin；当t1时，ymax.故函数的最大值为，最小值为.12解析(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax22x30对任意xR恒成立，显然a0时不合题意，从而必有，解得a，即a的取值范围是(，)(2)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x3，即函数定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(3)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有，解得a.故存在实数a，使f(x)的最小值为0.13解析f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2(2log3x)222log3x(log3x)26log3