自我指涉--科学网上很好的一篇总结文档

1 谎言悖论谎言悖论 在科学史上 还没有一种悖论像自我指涉 self reference 的悖论那样 引起广泛的注意 自我指涉合法存在于人们日常语言中 数学基础上和认 知科学里 随处可见 造成的矛盾在逻辑上无懈可击 历经了两千多年 对此除了尽量规避之外 至今专家们仍然没有妥善的解决方案 它构造矛 盾的方法成为证明中的重要技巧 在一些令人惊异的重要定理中起着关键 的作用 这个系列介绍这一类悖论 剖析哲人们对它的思考和因此带来的 科学进步 谎言悖论是历史上最早的自我指涉悖论 以致成为这类悖论的代名词 它 来自于公元 6 世纪哲学家 Epimenides 的例子 All Cretans are liars One of their own poets has said so 公元前 4 世纪欧几里德创建的麦加拉学派 Megarian school 里的哲学 家 Eubulides 领会了其中的奥妙 将这例子改为简短的一句话 这句话 是假的 这成了一个最为著名影响深远的悖论 1 这话令人尴尬之 处在于 如果你相信这话是真的 它明明说了这是句假话 如果你认可它 是句假话 那又证明了它所说是真的 所以你无论怎么理解 都是错误的 谎言悖论是一个语义的悖论 其核心的结构是自我指涉 在说道自己时 否定了自己 它的断言总是与自身矛盾 无论你怎么解读之所言 推及自 己时就拧着了 这类的语句符合语法 在生活中也时有出现 人们常常做 了不合逻辑的解读 有人不以为然 日常中哪有这样说话的 瞎掰 先看下面的例子 小赵说 老张说的是瞎掰 老张说 小赵说的是假话 这是生活中常见的两人斗嘴 你倾向于哪方的解读都符合逻辑 没什么技 术含量 无论事实上谁是谁非 怎么解读 它们组成的命题在逻辑上永远 是对的 称为永真性命题 是逻辑真理 真理问题在后几篇细说 如果老 张说了肯定小赵的话 那就要有点智商来解读了 小赵说 老张说的是瞎掰 老张说 小赵说的是真话 这小赵和老张互相针对说的话 谁是谁非 不同人的反应不同 往往决定 于心境 经历和智力 如果在第三者转达他们话时 略加点形容 就更容 易影响你的判断了 小赵气愤地说 老张说的是瞎掰 老张尴尬地说 小赵说的是真 话 小赵媚笑着说 老张说的是瞎掰 老张呵呵笑说 小赵说的是真 话 小赵严肃地说 老张说的是瞎掰 老张点点头说 小赵说的是真 话 同样两人说的话 在转达时一字不变 只是形容的口气略有不同 多数读 者的判断就受了叙述者的影响 倾向性从小赵说的是真话到后来成了假话 变化 关于第三条 有人看到的是争吵 有人读到反讽 到底哪一种对 其实都不对 你要会逻辑才能明白 人的判断是由感性和理性影响的 感性的认知不稳定 结论依自己情绪和 旁人影响而定 理性关心是本质的内容 用来影响感觉的是艺术 科学是 发掘本质的工具 科学研究判断是非 讲逻辑就要忽略形容词 副词等等 表达情绪的言语 不受叙述口气的影响 剥离了这些无关的东西 从逻辑上来看这两句话组成的意思 如果小赵的 话是对的 老张是瞎掰 他说的 小赵说的是真话 这话是瞎掰了 那小 赵的话就不对 这导致了矛盾 如果小赵说的是假话 老张说的是真话了 他说 小赵说的是真话 又和假设矛盾了 所以两人所说构成了悖论 它 是间接的自我指涉 如果你的头脑不严谨 受其他暗示的影响 会片面地 沿着某个思路而忽略了另一面 思想简单的人读不懂反讽 因为反讽需要 进一步的逻辑解读 如果简单以字面相反来读反讽 那其实是缺乏解读能 力 只能按照别人贴的标签或情绪暗示来理解文章 遇到悖论的情况就更 会错误理解 能够不受情绪干扰 根据逻辑来叙述正确解读语言所描述的事件 是一种 理性的能力 让我们看下面的经典例子 公元前 6 世纪 Epimenides 谎言悖论原版的叙述很靠近生活的语言 这常 被一些人认为是最早的悖论 其实不然 2 有个克里特岛诗人发誓说 所有克里特岛人说的都是谎言 那他说的可信吗 表面看来应该可信 因为他是信誓旦旦地声明 人们常 想 即使他也是撒谎 正因为他也是克里特岛的人 也不过是坐实了这句 话 但这样的理解不是按逻辑 而是凭感觉 逻辑上 如果他说的这句话 可信 他是克里特岛的人 根据这句话 那他说的也是谎言了 即是不可 信的 这个矛盾否定了可信的解读 只剩下不可信的可能 如果我们也能够在逻辑上否定不可信的情况 那才构成了悖论 因为逻辑 上的排中律不允许有这样的状况 但这故事严格地说并不构成悖论 而是具有确定含义的 这个诗人说他家 乡人说的都是谎言 并不排斥这诗人说假话的可能 只要他家乡还有一个 老实人 这诗人就是说假话 在这个情况下这段文字没有矛盾 唯有这样 解读 这段的介绍文字才不自相矛盾 才有了确切的含义 所以它唯一合 乎逻辑的解读是 叙述了一个诗人在撒谎的场景 诗人所说的话是他撒谎 的证据 他说家乡的人都是这德行 逻辑上这只能证明他本人是如此 而 不及他人 在现实的生活中 这类的句式很多 经常看到中国人用中文写 中文网 上的话全是垃圾 或者 中国人没有诚信 在辱骂包含着自己的群 体时 常常如同克里特岛的诗人 逻辑上 他骂的是自己 而不及他想骂 的大众 骂人也是要学文化有头脑的 不然被自己骂成了猪头都还洋洋自 得 贻笑大方 待续 自我指涉 自我指涉 2 语义悖论语义悖论 公元前 4 世纪希腊哲学家 Eubulides 是个有趣的人 他提出七个悖论 1 当时都很有名 亚里士多德和柏拉图用它们作为促进思考的饭后谈 资 最有名的当然是谎言悖论 其中三个可以用这个故事来代表 阿发忽略了走近他的人 把他当作陌生人 这个人是他的父亲 阿发是 否忽略他的父亲 把他当作陌生人 另两个的代表是 当你有头发时显然不是秃头 拔掉一根头发不会让非秃头变成秃头 每 一次拔掉一根头发时都是如此 为什么最后是秃头 还有一个是这样的 没有丢掉的东西你还拥有着 你没有丢掉头上的角 所以你头上还有角 这例子曾被律师用到法庭的诘问上 法庭总是要求正面简单地回答问题 不允许多做解释 起诉律师问 你最近不再打老婆了吧 请正面回答 是 或 不是 那个从来没打过老婆的被告 该答哪个 这些都曾是有关语义的悖论 分别是有关语句的含义 语义的模糊性和提 问预设前提的问题 到了现代已经弄清楚 人们可以很好地解答这些问题 就不成为难题了 只是有时被用做语言陷阱 忽悠没知识的人 在学术上 只有谎言悖论 因为自我指涉被广泛地用在自然语言里 还没 有个妥善的解决方案 有人感到疑惑 谎言悖论不也就是说道自己才出问 题的 把自己排除在外不就行了 没那么简单 自己说道自己叫做自我指 涉 self reference 是很常见合法的语句 有难以替代的表达能力 比如说 这博文是中文写的 我说的是真话 这些自我指涉的语 句 不可能在生活中排除它 光是禁止谎言悖论这句话也不行 因为你会 遇到无数个具有相同逻辑结构的悖论 只有充分了解它 你才不会被迷惑 才有可能考虑解决方案 具有与谎言悖论相同逻辑结构的语义悖论 可以找出很多来 下面是近代 引起学术界的关注 比较著名的几个悖论 Grelling sGrelling s paradoxparadox 2 Grelling 解释说 异质 heterological 这词是指本身并不具有这个词所描述的属性 比如说 名词 不是异质的 因为 名词 是名词 德语 是异质的 因为中 文的 德语 这个词并不是德语 那么 异质 是异质的吗 Is heterological heterological 如果你回答 是 那它就具有它所描述的属性 这与它的定义矛盾 如果 回答是 否 即它不具有它描述的属性 则按定义它该是异质的 又是一 个矛盾 这是因为这句话也具有自我指涉结构 异质 这个词可以用来 描述所有的词 包括它自己 当它指向自己时 无论你回答 是 或 否 都导致矛盾 Berry sBerry s paradoxparadox 3 这个通过数学的内容形成了一个自我指涉结构 的悖论 为了方便大家阅读 我把它改写成中文的版本 我们可以用语言来确定一个自然数 比如说 三加四 说的是 7 五 的平方 是 25 那么 不能用少于二十个汉字描述的最小的自然数 这短语定义个自然数吗 在引号里这段话的前十三个字 不能用少于二十个汉字描述的 是一个约 束条件 它确定了自然数的一个子集 因为汉字是有限的 少于二十个汉 字能够描述的自然数是有限的 而自然数有无穷多 所以 不能用少于二 十个汉字描述的自然数 有无穷多个 这个子集不是空的 在非空的自然 数子集里总有一个最小的数 所以这段话的描述定义了一个自然数 记它 为 z 又因为这段话只有 19 个汉字 所以 z 是用少于二十个汉字描述的 自然数 它不应该属于这个 不能用少于二十个汉字描述的自然数 的子 集 这就谈不上是这子集里的最小的数 也即是不符合这段话的描述 自 然数 z 是由这段话来确定的 但它又不符合这段话的描述 这是个悖论 它通过检验自身的属性来否定自己 Richard sRichard s paradox 4 paradox 4 这个悖论仍然企图用语言描述来定义一个数 这回是实数了 这样的数很多 例如 圆周和直径之比 指的是 根号 2 正弦 45 度 个位是 3 十位是 1 的两位数 等等 将所有这类的描述按照字典的顺序 可以排列成一个表 称为 Richard 表 现在我们用下面的一段话来确定一个实数 定义实数 r 它是一个真小数 如果 Richard 表中第 n 个描述所确定的 实数的第 n 位小数是 0 那么这个实数 r 的第 n 位小数则为 1 如果是 其他情况则为 0 显然这段话通过具体给出每一位的数字来定义了实数 r 所以它必须在这 表中 但是仔细考察一下这段话的描述 发现这个数不可能在这表中 因 为它如果是在表中 设是表中的第 k 个位置 按照 r 的定义 第 k 个位置 的那句话所确定实数的第 k 位小数 与 r 不一样 这就构成了矛盾 熟悉集合论的朋友应该可以看出 这个悖论用了 Cantor 证明实数不可数 时著名的 对角线法 它是通过否定每一个同类来否定自己 语义悖论并不一定是直接地自我指涉 比如说下面不谈及自己的两句话也 构成一个悖论 下面那句话是对的 上面那句话是错的 这是个间接的自我指涉 叫做 自我指涉链 用两段话来否定自己 不 难想象这个链条可以拉伸的很长 通过很多段话不断传递才构成了自我否 定 这样的现象在生活语言中和一些文章中都存在 只不过许多人不自觉 地陷入了悖论 或者当了克里特岛诗人 说的话虽不能构成悖论却是在否 定自己所言 反过来指向自己打了嘴巴 用自己的头脑依照逻辑琢磨一遍这篇中例子的辩驳 找出它们与谎言悖论 的关系 如果感到的只是忽悠 或是简单地认为违反了什么规则 那你就 没动过脑子 或只是背了百科和百度 学习悖论如果你止步于困惑 从而怀疑逻辑推理的作用 那你就没有走通 这个过程 并不了解历史上真正智者已经带来的科学进步和光明 下面几 个章节 将带你了解他们是怎么想的 待续 自我指涉 自我指涉 3 什么是真理什么是真理 上一节的语义悖论反映出自然语言表达的疵瑕和能力的不足 谎言悖论和 Grelling s paradox 让我们思考语义的基本概念 什么样的句子是 真 的 后两例 Berry s paradox 和 Richard s paradox 反映了语言表达 可 定义 的能力问题 它们归结为 怎么定义句子为真的 在哲学家和逻辑学者眼中 真理是用语言表达的观念 除去把真理当着形 容词的神圣光环后 当我们问到真理时 它指怎么定义语言的陈述是真的 对这个问题 亚里士多德的回答是 真理描述了实在的世界 他在 形而 上学 里的名言是 说是者为非 或说非者为是 则为假 说是者为是 非者为非 则为真 这个经典的答案被生活和科学界广泛地接受 成为 了常识 两千年后理性主义兴起 斯宾诺莎 莱布尼茨 黑格尔和布拉德雷等认为 真理是与整个知识体系系统无矛盾的命题和理论 这受到用演绎推理的科 学家们欢迎 但如此 真理的正确性只是相对于系统的假设而言 能对任 何系统都保持绝对正确的真理只剩下重言式的命题 莱布尼茨认为有两种 真理 推理的真理和事实的真理 推理的真理是必然的 而事实的真理 是偶然的 事实的真理依赖于经验 而推理的真理 即逻辑真理 来自天 赋的内在原则 二十世纪初 维特根斯坦更明确地提出逻辑真理就是重 言式 重言式既不能为经验所证实 同样也不能为经验所否定 它与现实 经验没有任何联系的 重言式是无论怎么解释其命题变项 逻辑上永远为真的命题公式 它在形 式逻辑中扮演重要的角色 将重言式的命题变项代入具体值的句子 比如 说 小张很受女孩喜欢 因为他有女孩缘 要发生的终究是要发生 科学是不容置疑的 因为所有错误的东西都不是科学的 这些论断 在逻辑上是自给的 怎么也不能说错 日常人们也好这么说 但是所有的 重言式的例子都不需要依赖于现实 没有你想了解的真相 也就是说全是 废话 你把其中的主词换成其他 例如 把 科学是不容置疑的 因为所 有错误的东西都不是科学的 换成 巫术是不容置疑的 因为所有错误 的东西都不是巫术 这也是逻辑上无懈可击的真理 基于对谎言悖论的深入思考 波兰逻辑学者阿尔弗雷德 塔斯基 Alfred Tarski 1901 1983 用严谨的逻辑来研究语义 他在 1933 年发表 形 式化语言中的真理概念 提出语义真理论 这个理论被誉为现代逻辑在哲 学上的三大成果之一 著名逻辑学家苏珊 哈克认为 塔斯基的理论大 概一直是最有影响的 受到最广泛赞同的真理理论 塔斯基认为句子的 真 是个语义的概念 真理论研究怎么定义指称语句 是真的这个谓词 谓词 predicate 在数理逻辑中表达一个个体的性质 或多个个体的关系 例如 x 是红色的 x 大于 y 等等 它可以表达为 谓词逻辑的公式 P x 和 Q x y 看作从个体的论域到逻辑值 T F 的 函数 他认为谓词 是真的 之定义必须要满足实质上恰当与形式上正确的两个 条件 1 形式上正确 formally correct 指定义必须是严谨没有 歧义的 这要用建立在公理系统的形式语言来描述和逻辑证明的 实质 上恰当 materially adequate 指它必须符合经验 这便是亚里士多德 的解读 将句子的真假和它含义所对应的经验联系起来 因为 真 是非 常基本的语义概念 它只能由更基本的 诸如 满足 指称 等等更 基本的概念来逻辑定义 而这些更基本的语义概念最终只能用一系列符合 直觉的 实质上恰当 实例来说明 真理的定义必须能够包容这所有的实 例 因此在提出真理的定义前 首先要提出 真 的句子实例必须满足的 模式 any adequate definition of truth must satisfy 以便在逻辑上能 够证明这定义满足这个模式 然后用公理化方式针对这个模式来定义为真 的谓词 他提供了几种简单语言实现这种定义作为例子 2 这个定义的适当性模式 称为 T schema 它写作 Schema T T for all sentences 这里 T 是作用在句子名称上的谓词公式符号 指述这个句子是真的 是一个陈述句 是这个句子的名称 T 模式解读为 x 是真的 当且 仅当 这里 x 是句子 的名称 但这不是严谨的形式语言定义 只 是自然语言对这模式的解读 这解读就是亚里士多德用自然语言描述的真理概念 符合这模式的实例如 雪是白的 是真的 当且仅当雪是白的 塔斯基强调 T 模式不是定义 而是实例要符合的模式 真 之定义应 该以满足 T 模式的所有实例作为语义后承 为什么他不直接给出真理的 定义呢 因为若用自然语言给出了判定陈述句为真的定义 那么总会陷入 谎言悖论的困境 假设我们在自然语言中用 T 模式作为真理的定义 即 亚里士多德的定义 考虑将这定义应用到下面的例子 设 S 为博文中第 n 行的话 下面是博文中第 n 行 它是 博文中第 n 行的话不是真的 S 是这句话的名称 从 T 模式的定义有 S 是真的 当且仅当博文中 第 n 行的话不是真的 依所设的符号定义 S 为博文中第 n 行的话 用 S 代替上面 T 模式句子中这 博文中第 n 行的话 则有 S 是真 的 当且仅当 S 不是真的 这就陷入了谎言悖论的困境 在自然语言系统中 不能避免这类语义悖论 其原因是这类语言系统的语 句 可以作形式和语义的两种解读 它可以指向自身 又具有在其自身之 中断定句子真值的能力 这叫做 语义上封闭的语言 这个封闭性造成 了自我指涉 谎言悖论和上面的例子 陷入悖论时都利用了自然语言的歧义 有时作形 式 有时作语义的两种解读 以及自指的评价造成的 在无歧义严谨的形 式语言中 是否可以避免这类悖论 待续 自我指涉 自我指涉 4 不谈自身无烦恼不谈自身无烦恼 无歧义严谨定义的形式语言 现在已经广泛应用在计算机程序语言和数学 公理表达中 塔斯基是先驱之一 他严格定义的 T 模式 让我们可以用 数理逻辑的理论 来研究与真理有关的问题 在数理逻辑中 有个著名的 对角线引理 或称为 不动点定理 1 如下 设 S 是包含着一阶算术的理论 对任给公式 x 存在一个句子 有 S 这里 包含着一阶算术的理论 指包含着算术公理用一阶逻辑推出的命题 集合 现在整个公理化数学系统已建立在这上面 凡能描述算术的形式语 言也必须包含它 S 的意思是 理论 S 中 能够证明右边的式子成立 这里 是 的简写 是评判句子 具有 性质的谓词表达式 这个引理的大意是 对于能够谈算术讲逻辑的语言 任给一个用来判定句 子的属性 总能写出自我指涉的一句话 说自己具有这个属性 用自然语言表达 就是 这句子具有属性 不过这里的 是用 形式语言表达出来 在理论 S 里证明它逻辑上是这个意思 用它构造个 谎言悖论可以证明一个重要的定理 2 塔斯基定理 任何包含着一阶算术的理论 也包含了 T 模式 则是不相 容的 Any theory extending first order arithmetic and containing schema T is inconsistent 有了这个对角线引理 它的证明很简单 如果这个理论也包含 T 模式 谓词 T 在这里是个公式 它的否定 T 也是个公式 根据对角线引理 存 在着一个句子 在这个理论里有 T 但按 T 模式 则有 T 得出 T T 说明这理论里有矛盾 不是自洽的 这个定理也称为 Tarski s undefinability theorem 它指出了语言定义 能力的局限性 任何足够丰富包含算术的语言 都不足以无矛盾地解释它 所能表达句子的语义 句子的语义必须在更丰富的高阶语言来表达 否则 就可能引起悖论 塔斯基定理几乎与哥德尔定理在同一时间被证明 包含着许多共同的内容 近些年人们认为塔斯基定理值得更多的关注 因为哥德尔定理只是揭露数 学系统里的局限性 在哲学层次不清晰 而塔斯基定理则找出问题出在语 言固有的局限性 这不仅适用于数学 而且适用于由对角线引理导致自我 指涉的任何系统 为什么要花费时间研究语言的问题呢 因为哲学 科学 包括数学理论的 表达和推导都是通过语言来进行的 语言出现的悖论也会在它们的理论中 出现 语义悖论的解决方案同样有助于它们问题的解决 由于这个定理 塔斯基提出要避免语义的悖论 必须把语言的表述功能和 对语言的评判功能分开 任何语言都不应该说道自己写的句子 只能用高 一级的语言来进行 这时被评判的称为 对象语言 object language 评判者称为 元语言 meta language 元语言具有对象语言的语法 逻辑关系等表达能力 再加上对对象语言的评判能力 例如 在对象语言 可以说 雪是白的 但不能说 雪是白的 是真的 只能在元语言 说这样的话 而 雪是白的 是真的 是真的 只能在更高一级语言 中说 这样我们就把语言分了层次 每一个层次的语言都不是语义上封闭 的 不能说道自己 不谈自身就什么麻烦都没有了 在这个规定下 所有的语句都不能指向自己 也不可能通过自我指涉链的 传递 指向高阶的评判语句 这就解开了自我指涉 也就没有了这类的悖 论 那么如何定义真理呢 从塔斯基定理知道 在对象语言里不能包含 T 模 式 说句子为真必须在元语言中 指称对象语言中一个句子为真的谓词 式子 T 在元语言中表述 在元语言里定义了这个为真的谓词 它必须 能够满足 T 模式所产生的例子 并且被元语言系统逻辑地证明 这可以 通过满足所有 T 模式简单句 和定义它们逻辑连接词形成的复合句来实 现 这样形式语言公理化的定义 可以通过一系列繁杂机械性的工作来完 成了 这样子 L0语言里的句子 由元语言 L1定义的 T1谓词来评判它的 真假 L1语言由高一级元语言 L2里来描述并定义 T2谓词 用 L0 L1 L2 L3 来表示层次结构里的语言 每个 Ln里定义下面 层次语句为真的谓词 Tn 和其他层次的不是同一个词 每一个层次的语 言都不是语义封闭的 以此来避免悖论 3 4 在 1985 年 Yablo 发现类似于谎言悖论 但不是自我指涉的语义悖论 他 构造了一个无穷系列的句子链 每个句子都说后面的句子不对 即对于每 个自然数 i 定义 Si for all j i Sj is not true 我们先用反证法证明 没有一个句子是对的 如若不然 则有个 i Si是对的 这句子说 j i 之后 的 Sj都不对 特别有 Si 1不对 否定了这句 那么至少有个 k k i 1 句子 Sk是对的了 但这与 Si的断言相矛盾 这证明了每个句子都不对 包括 S0 但如果是这样 则对所有 i 0 Si都不对 S0说的便是事实 这又成了矛盾 这个悖论没有通过一个闭合的链条指向自己 所以不是个自我指涉的悖论 发生悖论的原因是非 well founded 的 即它具有无穷的包含关系 要阻 止这类悖论 要求某些下降型的层次结构语言是 well founded 的 有了明确的语言层次结构 能够避免自我指涉等悖论的困境 大家高兴了 几十年 但新的问题又来了 待续 自我指涉 自我指涉 5 真值的间隙真值的间隙 塔斯基的理论成功地应用在表达数学和计算机程序的形式语言中 这些语 言的功能比较简单 通过元语言与对象语言可以清晰严谨地分层描述 塔 斯基是数理逻辑模型论开创者之一 用严谨的数理逻辑建立起语义真理论 他的真语句集不可定义性定理和判定性问题的研究 在数学 哲学 语言 学上意义重大 他对语义悖论的层次结构解决方案 从 1933 年起主导了 这个领域 一直到 1975 年 Kripke 发表了影响深远的著名论文 Outline of a Theory of Truth 才遇到了真正的挑战 1 明确的语言层次结构虽然规避了自我指涉的语义悖论 很成功用在形式语 言中 但对于要求有更丰富表达能力的日常语言显然是不自然和不完备的 例如它要求不能在有关联的同一个段落 context 中说 雪是白的 和 雪是白的 是真的 因为它们属于不同层次的语言 在塔斯基理论 里 每一个层次语言中都定义了自己 真 的概念 高层语言包含着低层 语言所有的元素 它就包含有下面各个层次不同的 真 谓词 当我们说 起 真 的时候必须分清它是属于哪一个层次的 判断语句到底属于哪一 个层次 这也会成为一个问题 例如 迪恩说 尼克松说的所有关于水 门事件的话都是假的 尼克松反咬一口 迪恩说的所有关于水门事件 的话都是假的 因为这两个语句都有评判对方语句的功能 若依评判者 而定 它们不能在同一个层次 评判句子要比被评判的句子高一个层次 但是它们间是互相评判的 所以怎么把它们分出层次都会产生矛盾 生硬的层次结构 违背人们习惯的谓词定义 以及自然语言分层的矛盾 让人们重新审视塔斯基针对 谎言悖论 设计的解决方案思路 谎言悖 论 这句话是假的 极为干净 形成了悖论的原因很简单 它因自我指 涉在逻辑推理后导致矛盾 要解决它 必须在自我指涉否定自己和逻辑规 则 这两者中改变一个 塔斯基认为 逻辑是科学的基础 这是不可改变 的 所以他选择避免语句评判自己的自我指涉 但是自我指涉在日常语言和数学中都是经常出现 在绝大多数情况并没有 造成问题 并具有难以取代的功能 例如 这篇博文是用中文写的 这里写的都是真话 以及集合论和哥德尔定理的证明的技巧都是合法 必要和成功的 认为谎言悖论的问题是 不规范 和 没意义 句子的指 责是没有道理的 它只是特殊情况时的病态 为了治疗这种病态 要付出 改变自然语言习惯为代价 甚至牺牲了语言表达能力的完备性 这个手术 太大 不可能被大众接受 自然语言远比形式语言功能强大 人们宁愿容 忍其中的矛盾 而且这矛盾在实践中很常是可以被解释清楚的 作为悖论的解决方案 如果想保留自我指涉 那只能研究怎么改变逻辑规 则 来容忍这个矛盾了 采用辩证法确实是一种解决方案 人们可以承认一个句子既是真的也是假 的 这样子所有自我指涉悖论的结果都是合法的 但这否定了逻辑中的矛 盾律 否定了这个亚里士多德在他的 形而上学 里 称为 一切原理中 最为确定 the most certain of all principles 的矛盾律 从而无法据 此来推理 这对于建立在之上的科学是难以接受的 如果仅仅在认知语句为真时放弃排中律 在 真 和 假 之外 有个非 真非假的 未定 状态 这还是符合人们对语言的学习过程和现实情况的 设想一下牙牙学语的小孩 对 雪是白的 这句话 是无法断定其真假 直到他学了 雪 和 白 与实物的对应 见到了雪 才能断定这句话是 真的 在这之前对这句话的判断处在未定状态 有些话 人们永远都无法 断定真伪的 这时就要用到三值逻辑 真和假值间符合通常二值的逻辑运 算 未定 与真假值之间的逻辑运算 可以有不同的设计 Kleene 的 强三值逻辑是其中一种 规定只有 真 和 未定 的与运算的结果为真 其他的 与 运算及 非 运算 有 未定 参与的结果设计仍为 未定 按照语义真理论的观点 真理是如何定义指称语句为 真 这个谓词 Kripke 的方案模仿了塔斯基的 T 模式和分层语言结构来定义语句为真的 谓词 T 只不过这层次不在语法上 而是仅仅用在逐步定义这个 真 的 谓词步骤 stage 中 用解释语言 L0 L1 L2 来实现这个构建 T 语义的 过程 所以这方案称为隐层次结构 中国文化的思想方式基本是接受这个规则 知识的传承通常用口诀和经文 的背诵 在与事实对照修正中来领悟 讲究的是读书千遍其义自现 各种 不加定义的概念含义和关系在众多事例参照下 从模糊到清晰一层一层地 涌现 最后豁然开朗融会贯通 这叫顿悟 而不是像西方科学中的概念 是由逻辑逐个依次严格定义上来的 在隐层次构建的每一个步骤里 谓词 T 是部分定义的 有 真 假 和 未定 值 依 Kleene 的强三值逻辑规则进行推理 不同步骤解释语 言的唯一区别 在于同一个内涵谓词 T 的外延不同 在这语言的语句集 合中 设有两个不相交的子集 U 和 V 依真假分别用来放语句 这对 应于 T为真和假值的分类 在最初解释语言 L0里 所有的语句都在 未定状态 集合 U 和 V 都是空的 对所有语句 T值都是未定 然 后在高一层次语言对低层语句 用三值逻辑的 T 模式来判定未被放入 U 和 V 语句的真理值 T如下 is true false in L T is true false in L 1 不难看到 在这个步骤 增加的过程中 U 和 V 里的语句不断地增加 遗 留在外面的越来越少 T值不是未定的越来越少 这个单调的变化过 程终究有时尽 这时 T值是真和假的都已经在 U 和 V 中 遗留在外 的语句 不再随着 增加能在 L 语言里判断出其真假值 也就是 T 的含 义不再随着步骤增加而改变了 这时的步骤记为 谓词 T 就像定义在 这语言中有 is true false in L T is true false in L 这个过程一般化称为 固定点定理 Fixed point theorem 说 完全偏 序链上的单调算子至少有一个固定点 它在现代形式真理论中扮演了中心 的角色 谎言的句子因为无法肯定它的真假值 所以不在 U 与 V 中 叫做在 真 值的间隙中 truth value gap 为什么谎言句子和原来一系列语言悖 论的句子 现在不再是悖论呢 因为它们在推理中否定了真和假的可能后 在三值逻辑中还允许停留在 未定 值中 这里的规则没有排中律 所以 不构成矛盾 Kripke 的论文虽然只是一个大纲 但它是在塔斯基真理论之后最有价值 的 合乎直觉和自然语言习惯 能够规避谎言悖论困境的方案 尽管它还 有许多疵瑕 还不能彻底摆脱塔斯基的层次结构 3 但被公认为富有 哲思和洞见 及其敏锐精致的理论 但是 用三值逻辑能够完全摆脱了悖论的困境吗 看下面加强型的谎言悖 论 这句话是假的或者未定的 从逻辑推断上 无论判断它是真的 假的 还是是未定的都会发生矛盾 这叫做悖论的 报复问题 当你给出一种解法时 又产生了一个与原来 完全类似的新悖论 仍然无解 自我指涉深入到人类思想的基因中 它的悖论犹如一种无法治愈的疾病 各种的解决方案只能尽量规避或将它驱逐到不怎么常见的地方 下篇将介 绍 这相同的疾病也困扰着最为重视严谨性的数学基础 为了解除痛苦 现在也正吃着各种类似的药 待续 自我指涉 自我指涉 6 数学基础的修补数学基础的修补 经过几十年的考察 正当集合论被广为接受 成了数学的基础时 1903 年罗素 Russell 和策墨罗 Zermelo 几乎同时发现了悖论 罗素悖论 是 定义罗素集 R 为所有不包含自己作为元素的集合 R x x x 然后问 R 是不是属于这个集合 麻烦的是 如果 R R 即 R 是集合 R 的元素 依定义有 R R 反之如果 R R 按集合 R 的定义 R 是集合 R 的元素 即 R R 无论哪一种情况都是矛盾 为了让这个悖论更通俗易懂 罗素编了个 理发师悖论 村里的理发师 宣布 他给自己不刮胡子的人刮胡子 问他给不给自己刮胡子 R 为理发 师给刮胡子人的集合 R 的成员条件是自己不刮胡子的人 问理发师是否 属于这个集合 这就把罗素悖论对应于理发师悖论 罗素悖论是受 1899 年康托尔 宇宙集 universal set 悖论的启发后 设计的 设宇宙集 U 为包含所有集合的集合 问它的势是多少 由康托 尔定理知道 集合 U 的幂集 P U 即集合中所有子集构成的集合 的势 比 U 的势大 P U U 但是按定义 集合 U 包含所有的集合 P U 的 元素都是集合 它当然也包含了集合 P U 的所有元素 所以 U P U 这产生了矛盾 康托尔悖论的技术含量不在这逻辑里 他的精华是在康托尔定理的证明中 这定理先假设定理的反命题成立 造成一个自我指涉的悖论来反证 其中 的技巧被罗素借用来构造他的悖论 关于罗素悖论和康托尔定理的详细证 明请参考看 1 集合论的悖论在数学界引起极大的震动 虽然谎言悖论早已知道 人们总 是以为是语言歧义引起的 多说几句话就可以澄清了 数学要求极其精确 严谨 基础理论中任何的不一致都将导致整个数学系统崩溃 作为数学基 础的集合论出现了自相矛盾的现象 这该怎么办 挑剔疵瑕或编个自圆其说的解释来绕过它 这是糊弄自己 判断是不是悖 论 不是按照自己的想象 而是按照大家公认的逻辑和原则 本质的问题 没解决 还会以其他的面目出现 说这两个例子不合法 你必须说出它具体违反了什么规则 才能有效地排 除类似的悖论 禁止自我指涉 生活和数学中有无数的自我指涉 这打击面太宽 科学研 究要找出一般的规律和通用的规则 不是仅仅为了解脱眼前的困境来因例 设规 基础的修补要保留原来基础上的绝大多数成果 而不是重起炉灶 康托尔的朴素集合论基于一个非常直观的思想 给定一个属性 等价于定 义一个集合包含着具有这种属性的所有个体 这让集合成为非常基本 几 乎是自明的概念 从而被广泛接受成为数学的基础 这个思想叫 无限制 的抽象原理 unrestricted abstraction 或者 unrestricted comprehension principle 用形式逻辑的公式表示为 u u x x u for all formulae x 罗素悖论证明了 朴素集合论不相容定理 Inconsistency of Naive Set Theory 任何理论包含有无限制的抽象原理 会产生自相矛盾 塔斯基定理和它类比的说法是 形式化表达直观自然的真理 将导致自相 矛盾 不相容定理说明我们必须对集合定义加以限制 才能避免悖论 这两个悖 论都因自我指涉 在集合和它元素间的包含关系上出现了矛盾 第一个补 救方案由罗素和 Whitehead 作出 叫做 类型理论 type theory 他们认为函数的变量是限定在一定类型的 所以定义集合的公式 x 的 变量也必须受到类型的限制 于是建造了一个类型的层次结构 每个数学 对象都属于一个类型 数学对象的类型从底层一直明确定义上来 互不兼 容 这样避免了自我指涉 这相似于塔斯基的语言层次结构 实际上塔斯 基是受到类型理论的启发 建立起语言层次结构的 所以用类型理论定义 的集合 也有塔斯基方案中过多限制 生硬不好用的缺点 现代数学中最广为接受的是 Zermelo Fraenkel 集合论 ZF 它是个隐 层次结构的解决方案 类似于 Kripke 的真理论 用构造的方法逐步定义 集合 从而在集合间分出层次来 由于多数教科书只谈康托尔的朴素集合 naive set 对大多数只了解朴素集合和基本集合论 Basic Set Theory 的人 在悖论出现后 可能会不知所措 朴素集合论是直观的 给予一个属性的描述 就能定义一个集合 集合的 悖论否定了这种简单想法 公理化的集合论通过严格的方式给集合的构造 一个约束 来避免这些悖论 ZF