高考数学集合总复习-等差数列以及其前n项和

等差数列及其前n项和答案 自主梳理1(1)2差an1and(2)A等差中项2(1)a1(n1)d(nm)d(2)na1d3.An2Bn4.(1)amanapaqaman2ap(3)递增数列递减数列常数列自我检测1A2.C3.A4.B5.24课堂活动区例1解题导引(1)等差数列an中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n2242.解得n11或n22(舍去)变式迁移1解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.例2解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1 (n2)2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可(1)证明an2 (n2，nN*)，bn，当n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，以1为公差的等差数列(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.变式迁移2解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2.，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若mnpq (m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a1d看作整体)解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20.所以该数列的项数为20项变式迁移3解(1)依题意，知a1a2a3a421，an3an2an1an67，a1a2a3a4an3an2an1an88.a1an22.Sn286，n26.(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，S3n3(S2nSn)54.(3)设项数为2n1 (nN*)，则奇数项有n项，偶数项有n1项，中间项为an，则S奇nan44，S偶(n1)an33，.n4，an11.数列的中间项为11，项数为7.例4解题导引若an是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a10，d0，且满足，前n项和Sn最大；(2)若a10，且满足，前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.解方法一2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，S672，得，.an4n2.则bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15项为负值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，当n15时，Sn有最小值，且最小值为225.变式迁移4解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)d3n63，an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21时，Sn最小且最小值为630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数当n21时，TnSnn2n.当n21时，TnSn2S21n2n1 260.综上，Tn.课后练习区1A2.C3.B4.C5.D6157.108.279(1)证明an是等差数列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化简得a1d.(6分)(2)解由条件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，数列an的通项公式为an2n，nN*.(12分)10解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.(4分)由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(6分)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.(8分)故Tnb1b2bn.所以数列bn的前n项和Tn.(12分)11(1)证明将3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以数列为以1为首项，3为公差的等差数列(4分)(2)解由(