带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析

1 带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析 带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点 也是高考的热点 在历年的高考试 题中几乎年年都有这方面的考题 笔者在指导高三复习过程中 对带电粒子在有界磁场 中的运动问题进行了专题复习 探究解题方法 取得了良好的教学效果 带电粒子在有 界磁场中的运动问题 综合性较强 解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力 圆周运动 的知识 又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识 下面按照有界磁场的形状 对这类问题进行分类解析 供参考 一 带电粒子在半无界磁场中的运动 例1 1983年高考试题 一个负离子 质量为m 电量大小为q 以速率V垂直于屏 S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中 如图1 磁感应强度B的方向与离子的运动 方向垂直 并垂直于图1中纸面向里 1 求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离 2 如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P 证明 直线 OP与离子入射方向之间的夹角 跟t的关系是 t m qB 2 解析 1 离子的初速度与匀强磁场的方向垂直 在洛仑兹 力作用下 做匀速圆周运动 设圆半径为r 则据牛顿第二定律可 得 解得 r V mBqV 2 Bq mV r 如图2所示 离了回到屏S上的位置A与O点的距离为 AO 2r 所以 Bq mV AO 2 2 当离子到位置P时 圆心角 见图2 t m Bq r Vt 因为 所以 2 t m qB 2 带电粒子的半无界磁场中的运动问题在高考试题中 多次出现 如99年全国高考物理试题第24题 2001年全 国高考理科综合试题第30题等 二 带电粒子在圆形磁场中的运动 例 2 圆心为 O 半径为 r 的圆形区域中有一个磁感 强度为 B 方向为垂直于纸面向里的匀强磁场 与区域 边缘的最短距离为 L 的 O 处有一竖直放置的荧屏 O B S V P 图 1 O B S V P 图 2 O M N O L A O 图 3 P 2 MN 今有一质量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿 方向垂直射入磁场 越出磁场后打 在荧光屏上之 P 点 如图 3 所示 求 O P 的长度和电子通过磁场所用的时间 解析 电子所受重力不计 它在磁场中做匀速圆周运动 圆心为 O 半径为 R 圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角为 电子越出磁场后做速率仍为 v 的匀速直线运动 如 图 4 所示 连结 OB OAO OBO 又 OA O A 故 OB O B 由于原有 BP O B 可见 O B P 在同一直线上 且 O OP AO B 在直角三角形 P 中 O P L r tan 而 所以求得 R 后就 2 tan1 2 tan 2 tan 2 R r 2 tan 可以求出 O P 了 电子经过磁场的时间可用 t 来求得 V R V AB 由得 R R V mBeV 2 tan rLOP eB mV mV eBr R r 2 tan 22222 2 2 2 tan1 2 tan 2 tan rBeVm eBrmV 22222 2 tan rBeVm eBrmVrL rLPO 2 arctan 22222 rBeVm eBrmV 2 arctan 22222 rBeVm eBrmV eB m V R t 带电粒子的圆形磁场中的运动问题在高考试题中多次出现 如 94 年全国高考物理 试题第 31 题 2002 年全国高考理科综合试题第 27 题等 三 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动 例 3 如图 5 所示 一束电子 电量为 e 以速度 V 垂直射入 磁感强度为 B 宽度为 d 的匀强磁场中 穿透磁场时速度方向与 电子原来入射方向的夹角是 30 则电子的质量是 穿透磁场的时间是 解析 电子在磁场中运动 只受洛仑兹力作用 故其轨迹 是圆弧的一部分 又因为 f V 故圆心在电子穿入和穿出磁场 时受到洛仑兹力指向交点上 如图 5 中的 O 点 由几何知识知 AB 间圆心角 30 OB 为半径 r d sin30 2d 又由 r mV Be 得 m 2dBe V B A B d V V 300 O 图 5 M N O L A O 图 4 R 2 2 B P O 3 又 AB 圆心角是 30 穿透时间 t T 12 故 t d 3V 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析 如已知带电粒 子的质量 m 和电量 e 若要带电粒子能从磁场的右边界射出 粒子的速度 V 必须满足什么 条件 这时必须满足 r mV Be d 即 V Bed m 四 带电粒子在正方形磁场中的运动 例 4 长为 L 的水平极板间 有垂直纸面向内的匀强磁场 如图 6 所示 磁感强度为 B 板间距离也为 L 板不带电 现有质量为 m 电量为 q 的带正电粒子 不计重力 从 左边极板间中点处垂直磁感线以速度 V 水平射入磁场 欲使粒子不打在极板上 可采用 的办法是 A 使粒子的速度 V5BqL 4m C 使粒子的速度 V BqL m D 使粒子速度 BqL 4m V5BqL 4m 时粒子能从右边穿出 粒子擦着上板从左边穿出时 圆心在 O 点 有 r2 L 4 又由 r2 mV2 Bq L 4 得 V2 BqL 4m V2 BqL 4m 时粒子能从左边穿出 综上可得正确答案是 A B 五 带电粒子在环状磁场中的运动 例 5 核聚变反应需要几百万度以上的高温 为把高温条件下 高速运动的离子约束在小范围内 否则不可能发生核反应 通常 采用磁约束的方法 托卡马克装置 如图 7 所示 环状匀强磁场 围成中空区域 中空区域中的带电粒子只要速度不是很大 都不会 穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内 设环状磁场的内半径为 R1 0 5m 外半径 R2 1 0m 磁场的磁感强度 B 1 0T 若被束缚带 电粒子的荷质比为 q m 4 C 中空区域内带电粒子具有各 7 10 个方向的速度 试计算 1 粒子沿环状的半径方向射入磁场 不能穿越磁场的最大速 度 2 所有粒子不能穿越磁场的最大速度 解析 1 要粒子沿环状的半径方向射入磁场 不能穿越磁场 则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切 轨迹如图 8 所示 l l r1 O V q V 图 6 图 7 图 8 r1 4 由图中知 解得 2 12 2 1 2 1 rRRr mr375 0 1 由得 1 2 1 1 r V mBqV sm m Bqr V 105 1 71 1 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场 不能穿越磁场的最大 速度为 smV 105 1 7 1 2 当粒子以 V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道 与外圆相切时 则以 V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿 出磁场边界 如图 9 所示 由图中知m RR r25 0 2 12 2 由得 2 2 2 2 r V mBqV sm m Bqr V 100 1 72 2 所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度smV 100 1 7 2 六 带电粒子在有 圆孔 的磁场中运动 例 6 如图 10 所示 两个共轴的圆筒形金属电极 外电极接地 其上均匀分布着平 行于轴线的四条狭缝 a b c 和 d 外筒的外半径为 r 在圆筒之外的足够大区域中有平 行于轴线方向的均匀磁场 磁感强度的大小为 B 在两极间加上电压 使两圆筒之间的区 域内有沿半径向外的电场 一质量为 带电量为 q 的粒子 从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发 初速为零 如果该粒子经过一段时间的运动 之后恰好又回到出发点 S 则两电极之间的电压 U 应是多 少 不计重力 整个装置在真空中 解析 如图 11 所示 带电粒子从 S 点出发 在两筒 之间的电场作用下加速 沿径向穿过狭缝 a 而进入磁场区 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 粒子再回到 S 点的条 件是能沿径向穿过狭缝 d 只要穿过了 d 粒子就会在电场 力作用下先减速 再反向加速 经 d 重新进入磁场区 然 后粒子以同样方式经过 c b 再回到 S 点 设粒子进入磁 场区的速度大小为 V 根据动能定理 有 2 2 1 mVqU 设粒子做匀速圆周运动的半径为 R 由洛伦兹力公式和牛顿 第二定律 有 a b c d S o 图 11 图 9 O O2 a b c d S o 图 10 5 R V mBqV 2 由前面分析可知 要回到 S 点 粒子从 a 到 d 必经过圆周 所以半径 R 必定等于 4 3 筒的外半径 r 即 R r 由以上各式解得 m qrB U 2 22 七 带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 例 7 如图 12 所示 空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场 左侧匀强电场 的场强大小为 E 方向水平向右 电场宽度为 L 中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B 方向垂直纸面向里 一个质量为 m 电量为 q 不计重力的带正电的粒子从电场的左 边缘的 O 点由静止开始运动 穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后 又回到 O 点 然 后重复上述运动过程 求 1 中间磁场区域的宽度 d 2 带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点所用时间 t 解析 1 带电粒子在电场中加速 由动能定理 可 得 2 2 1 mVqEL 带电粒子在磁场中偏转 由牛顿第二定律 可得 R V mBqV 2 由以上两式 可得 q mEL B R 21 可见在两磁场区粒子运动半径相同 如图 13 所示 三段圆弧的圆心组成的三角 形 O1O2O3是等边三角形 其边长为 2R 所以中间磁场区域的宽度为 q mEL B Rd 6 2 1 60sin 0 2 在电场中 qE mL qE mV a V t 2 2 22 1 在中间磁场中运动时间 qB mT t 3 2 3 2 BB E Ld O 图 12 O O3 O1 O2 图 13 6