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文档简介

5 4三大抽样分布 1 本次课教学目的 掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论重点难点 三大抽样分布的构造及其抽样分布一些重要结论教学基本内容及其时间分配三大抽样分布的构造性定义 30分钟定理及其三个推论以及证明 70分钟根据本节课的特点所采取的教学方法和手段 启发式讲授 图文结合加深对三大分布的印象 2 引言 有许多统计推断是基于正态分布的假设的 以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用 这是因为这三个统计量不仅有明确背景 而且其抽样分布的密度函数有明显表达式 他们被称为统计中的 三大抽样分布 若设是来自标准正态分布的两个相互独立的样本 则此三个统计量的构造及其抽样分布如表5 4 1所示 3 4 5 4 1分布 卡方分布 问题 如何确定的分布 5 图像 密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布 数字特征 6 7 8 9 10 11 5 4 2F分布 其中m称为分子自由度 n称为分母自由度 问题 如何确定的分布 12 13 Z的密度函数为 14 这就是自由度为m与n的F分布的密度函数 15 16 17 18 19 有F分布的构造知 若F F m n 则有1 F F n m 故对给定 20 21 5 4 3t分布 定义5 4 3 问题 如何确定的分布 22 所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为 这就是自由度为 的 分布的密度函数 23 24 25 26 自由度为1的 分布就是标准柯西分布 它的均值不存在 1时 分布的数学期望存在且为0 1时 分布的方差存在 且为 2 当自由度较大时 分布可以用 0 1 分布近似 见下页图 27 28 N 0 1 和t 4 的尾部概率比较 29 30 31 32 5 4 4一些重要结论 33 34 令Y AX 则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布 其均值和方差分别为 35 这证明了结论 1 这证明了结论 2 这证明了结论 3 36 推论5 4 1在定理5 4 1的记号下 有 将5 4 4左端改写为 由于分子是标准正态变量 分母的根号里是自由度为n 1的t变量除以它的自由度 且分子与分母相互独立 由t分布定义可知 t t n 1 推论证完 证明由定理5 4 1 2 可以推出 37 38 证明 由两样本独立可知 与 相互独立且 由F分布定义可知F F m 1 n 1 39 40 证明由 由定理5 4 1知 独立 相互独立 根据t分布的定义即可得到 5 4 8 41 思考题
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