矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式

1 题目 矩阵多项式的逆 秩 块数值域与应用 正交多项题目 矩阵多项式的逆 秩 块数值域与应用 正交多项 式式 1 矩阵多项式的定义矩阵多项式的定义 设 f x 是关于未知数 的 次多项式 0 a n x 1 a 1 n x 1 n ax n axn 是方阵 是的同阶单位矩阵 则称 f x AEA 0 a n A 1 a 1 n A 1 n a 为多项式 f x 形成的矩阵的多A n aE 0 a n x 1 a 1 n x 1 n ax n aA 项式 记作 f A 例如 则 f 523 23 xxxxfA 10 11 A 3 A 2 3AA2E5 f 就是矩阵的多项式 当然矩阵多项式也是矩阵 50 15 AA 矩阵多项式的逆矩阵的定义 设是数域 P 上的一个 n 阶方阵 A f 是矩阵的多项式 如果存在矩阵多项式 g 使得 f AAA P xA g g f 则称矩阵多项式 f 是可逆的 又称矩阵多项AAAEA 式 g 为多项式 f 的逆矩阵 AA 当矩阵多项式 f 是可逆的时 逆矩阵 g 由矩阵多项式 f AAA 唯一确定 记为 1 Af 2 矩阵多项式的逆矩阵求法矩阵多项式的逆矩阵求法 1 对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩 阵求法 可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵 多项 式有逆矩阵的充分必要条件是它的行列式值为非零数 例如分解因子法 例 若 是两个 阶方阵 且具有成立 A BnEBAAB532 2 证明是可逆的 并求的逆矩阵 EA3 EA3 证明 由于 故EBAAB532 EEBEAEEABEA 2 3 62 3 是可逆的 且 EA3 EBEA2 3 1 待定系数法 例 如果已知矩阵满足式子 矩阵 AEA3 3 EAAB32 2 证明是可逆的 并求他的逆矩阵 B 证明 由于的逆矩阵的次数最高只可能是二次 所以可B 设 由条件可得cEbAaAB 21 cEAcbAcbaAbaaABBE3 23 23 2 2341 又因为 则有EA3 3 EEcbaAcbaAcba 336 233 23 2 得 1336 0233 023 cba cba cba 解得 于是得到 66 1 a 22 3 b 22 5 c 159 66 1 21 EAAB 2 一般的矩阵多项式的逆矩阵的求法 以上的求解矩阵多项式的逆矩阵的方法虽然简单 但是有一定 的运算技巧 而且并不是所有的矩阵多项式的逆矩阵的求解都可以 用这些方法 例如 设矩阵 求的 1119 053 064 AEAAAAg652 23 Ag 逆矩阵 此问题无法用分解因子法来求解 用待定系数法求解可能 3 可以求解出来 但是计算比较复杂 首先分析矩阵多项式的结构特点 例如 523 23 xxxxf 则 就是矩阵的多 10 11 AEAAAAf523 23 50 15 AfA 项式 由于 这样看来又是一个以为文EAAAAf523 23 AfA 字的多项式则矩阵多项式也具有多项式的特点 多项式的最大公因式理论中有 如果 则存在多项1 xgxf 式使得 令 则 xvxu1 xgxvxfxu0 xf0 xg1 xgxv 将 换做矩阵 如果保证 就有 从而xA0 Af0 AgEAgAv 就是矩阵多项式的逆矩阵 Av Ag 定理 若是一个 阶方阵 表示复数域 AnC xf xCxg 且方程的根都是 阶方阵的特征值 则可逆0 Af0 xfnA Ag 此时存在 使得 且1 xgxf xCxvxu 1 xgxvxfxu 1 Avxg 证明 令 为的所有特征值 则 1 2 n A 1 f 就是的全部特征值 2 f n f Af 1 g 2 g 就是的全部特征值 又因为可逆 于是有 n g Ag Ag 但是由于 则 故0 1 n i i gAg 0 Af 2 1 0 nif i 与无公共零点 即 xf xg1 xgxf 则由于 所以对于每个 必有 1 xgxf0 Af i 且 即 从而可逆 0 i f 2 1 0 nig i 0 1 n i i gAg Ag 当与互素时 必有 使得 xf xg xCxvxu 1 xgxvxfxu 4 从而 EAgAv 1 AgAv 例 如果已知矩阵满足式子 矩阵 证AEA3 3 EAAB32 2 明是可逆的 并求它的逆矩阵 B 解 令 则且的根都是3 3 xxf32 2 xxxg0 Af xf 的特征值 又因为 没有共同根 说明两个多项式与A xf xg xf 互素 即 从而由定理可知可逆 利用辗转相 xg1 xgxf Ag 除法 求得 1 159 66 1 7 66 1 2 xgxxxfx 所以 159 66 1 2 1 EAAAg 特别的 如果表示一个一次多项式时 利用 xg 是一个非零常数 即rxqxgxf rrEAqAg 1 1 Aq r Ag 例 已知表示一个方阵 且有式子成立 求A043 2 EAA 1 5 EA 解 设 则由题意可得 且43 2 xxxf5 xxg0 Af 的根都是的特征值 利用综合排除法求得 xfA6 2 xgxxf 所以 2 6 1 5 1 1 EAEAAg 注意于定理需要 与矩阵的零化多项式 最小多项式 0 Af 特征多项式等联系起来 得到推论 1 若是一个 阶方阵 为的特征An xCxg xfAA 多项式 则的可逆充要条件是 此时存在 Ag1 xgxfA 使得 且 xCxvxu 1 xgxvxfxu 1 AvAg 5 推论 2 若是一个 阶方阵 为的最小多项An xCxg xmA 式 则可逆的充要条件是 此时存在 Ag1 xgxm xCxvxu 使得 且 1 xgxvxmxu 1 AvAg 推论 3 若是一个 阶方阵 且An xCxgxf 0 Af 其中为的特征多项式 则可逆的充要条件是 xfxf A xfAA Ag 此时存在 使得 且1 xgxf xCxvxu 1 xgxvxfxu 1 AvAg 3 矩阵多项式的秩矩阵多项式的秩 引理 1 设 是数域上的多项 nn FA 1 xf 2 xf xftF 式 若 则 1 xf 2 xf1 xft 1 11 t i i t i i AfrntAfr 引理 2 设 则对任意正整数 有 nn FA k 式中分块矩阵的主对角线有 个 1 0 0 k AI AI A rAr n n k kA 例 设是数域上的次多项式 是 xfF 0 mm 1 c 2 c t c 的所有互异复根 对任意的 阶方阵 若 xf xdxfxf nA 可逆 则成立 Ad 1 1 tIcArAfr t i ni 证明 将在复数域上分离重因式 即令 则 xf xd xf xg 其中是的首项系数 对 阶方 21t cxcxcxaxg 0 a xfn 阵 由得 故由可逆以及引理 1A xgxdxf AgAdAf Ad 得即 1 1 21 tIcArIcAIcAIcArAgrAfr t i nintnn 6 结论成立 例 设是数域上的次多项式 是 xfF 0 mm tf cccS 21 的所有互异复根集合 阶方阵可以对角化 xfnA 是的所有互异复根集合 若 kA S 21 A ti iiAf SS 21 则矩阵多项式恒等式成立 其中 分别 ti ij j nnAfr 1 1 n 2 n k n 是 的重根数 1 2 k 证明 由矩阵可以对角化 则存在 阶可逆矩阵 使得AnP 对于多项式 由矩阵运算可得 21 21 1 k nknn IIIdiagAPP xf 由 21 21 1 k nknn IfIfIfdiagPAfP ti iiAf SS 21 则当时 当时 所以 tj iiii 21 0 j i f tj iiii 21 0 j i f 成 tt jk i ij j i ij njnknn nnIfrnIfIfIfdiagrAfr 11 21 21 立 例 设 为任意的 阶方阵 令 分别为 的ABn x A x B AB 特征多项式且 则 xdxx BA BdrBr A AdrAr B 证明 由于 以及矩阵的基本性质可得 对数0 A A 0 B B 域上的次多项式以及 阶方阵 若 令F 0 mm xfnAnm 为的特征多项式并与进行带余除法 即设AxIx nA A xf 其中或者 则由得到 xkxxqxf A 0 xknxk deg0 A A 所以 AkAf AkrAfr 引理 3 令 是一元多项式 是一个非零 阶方阵 xf xgAn 7 设和分别是和的最大公因式和最小公倍式 则 xd xh xf xg 特别的如果和rank Af rank Ag rank Ad rank Ah xf 是互素的 则 xgrank Af rank Ag n rank Af Ag 引理 4 令 是一元多项式 是一个非 1 xf 2 xf xfmA 零 阶方阵 如果存在多项式使得对任意的 都有n xdij 则 其中 xdxfxf ji m i rank 1 1 mAfirank Adrank Ag 1 xfxg 1 m m xdxf 证明 对进行归纳 当时 由题意可知m2 m 是和的最小公倍式 根据引理 3 有 211 xdxfxfxg 1 xf 2 xf 假设时 等式 121 AgrankAdrankAfrankAfrank km 成立 其中 1 1 1 AgrankAdrankkAfrank k k i i 当时 考察多项式和 1 11 k kk xdxfxfxg 1 km 1 xgk 1 xfk 由题意可知是和的最大公因式 而 xd 1 xgk 1 xfk 是和的最小公倍式 如果令 k k xdxfxf 11 1 xgk 1 xfk xgk 由引理 3 可知 k k xdxfxf 11 根据归纳假设有 11 AgrankAdrankAfrankAgrank kkk 代入到上一个式子得到 1 1 1 AdrankkAfrankAgrank k i ik 即 1 1 1 AgrankAdrankAfrankAdrankkAfrank kk k i i 成立 1 1 AgrankAdrankkAfrank k k i i 得到推论 令是一个非零的 阶方阵 是两两互An 1 xfxf m 8 素的多项式 则 1 1 1 AfAfranknmAfrank m m i i 定理 令是一个非零的 阶方阵 是个多项式 An 1 xfxf m m 假设存在多项式使得对任意的 都有 如果 xdij xdxfxf ji 对任意的 都成立 则或者 特别0 AdAfAf ji ij2 m0 Ad 的当时 0 Ad 1 AdrankAfrank m i i 证明 由引理 4 有 其中 1 1 AgrankAdrankmAfrank m i i 根据题意 所以 1 1 m m xdxfxfxg 0 Ag 另一方面 对任意的 因为 1 1 AdrankmAfrank i m i 1 ij 是和的最小公倍式 所以根据引理 3 有 xdxfxf ji xfi xfj 所以 AdrankAdAfAfrankAdrankAfrankAfrank jiji 1 2 1 AdrankmmAfrankAfrank j ji i 而 所以 m i i ji ji AfrankmAfrankAfrank 1 1 由两式可以得到等式 2 1 1 AdrankmAfrank m i i 2 2 1 即或者 特别的当 2 1 1 AdrankmAdrankm 2 m0 Ad 时 推论 令是一个非零的 阶方0 Ad 1 AdrankAfrank m i i An 阵 是两两互素的多项式 如果对任意的 都有 1 xfxf m ij 则 并且 0 AfAf ji 2 mnAfrank m i i 1 9 四 矩阵多项式的块数值域四 矩阵多项式的块数值域 矩阵多项式的块数值域定义 1 P 当 的分解固定 0 0 2121 yPCySxCPW x n hhhhhh nn h 式 记 当时 矩阵多项式的 21 PWPW n hhh n n hhhn SS 21 1 n 块数值域即为其数值域 当时 其与矩阵多项式的二次数值域2 n 一致 对矩阵多项式 即为矩阵多项式的谱 记nn PW n P 满足 则集合可以表示为CYCPX 0 0 yPx PW n n Sx x n PPW 得到引理 1 PWPWP n 1 1 1 1 11 11 nn nn jn n j n n jj xj xxAxxA xxAxxA mj 1 0 其中 1 22 1 n xx 定理 根据定义 若 则是有界的 若 x P 0 xm W PW n 那么块数值域亦可能是有界的 0 xm W PW n 例 令 0 1 1 1 0 1 m m P 简单计算后得到 显然是有界的 但 01 2 m m W 2 PW 是 即 则 若 1 0 0 00 01 det 2 IW m 0 2 m W 那么块数值域亦可能是有界的 成立 0 xm W PW n 定义 2 令且分别对应希尔伯特空Nnn nn hhhhh 11 间与 则称为的一个加细分解 n hh 1 n hh 1 n hh 1n hhh 21 如果 且存在满足对任意的nn nii n 0 0 kk iik hhh 1 1 10 nk 1 定理 若为的一个加细分解 则 n hhhh 21n hhhh 21 简记为 21 21 PWPW n n hhh hhh nnPWPW nn 5 矩阵多项式的正交多项式矩阵多项式的正交多项式 矩阵的正交多项式能够使其生成的矩阵的形式极其简单 Gram 为非奇异矩阵 从而大大降低了求解计算 在区间上 给定权函数 可以由线性无关的一组基 ba x 利用施密特正交化方法构造出正交多项式族 1 2n xxx 0 x n 由生成的线性空间记为 对于 根据次数 的具 x n baCxf k 体要求 总可以在中找到最佳平方逼近多项式 的具体 x k x n 形式为 这样构造出的正1 0 x 2 1 1 0 nx x xx k n k kk k n n n 交多项式具有的有用性质如下 为最高次数相系数为 的 x n 1 x n 1 次多项式 任一不高于 次的多项式都可以表示成 n 2 n 0 x k n k k 当时 且与所有次数小于 的多项式 3 mn 0 mn x n n 正交 即 其中为权函数 存在递 1 xPn 0 1 dxxPxx n b a n x 4 推关系 其中 2 1 11