高中数学 1.2.1函数的概念课件 新人教B版必修1.ppt

2 1 1函数的概念 函数史话设a b是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合a中任何一个元素 在集合b中都有唯一的元素和它对应 这样的对应叫做从集合a到集合b的映射 记作f a b 当集合a b都是非空的数的集合 且b的每一个元素都有原象时 这样的映射f a b就叫定义域a到值域b的函数 笛卡儿引入变量后 随之而来的便是函数的概念 他指出y和x是变量 未知量和未定的量 的时候 也注意到了y依赖于x而变 这正是函数思想的萌芽 但是他没有使用 函数 这个词 函数 这个词用作数学的术语 最早是莱布尼茨 但其含义和现在不同 他指的是关于曲线上某点的一些线段的长 如横坐标 纵坐标 弦 切线 法线等 1718年 瑞士数学家约翰 贝努利给出函数的一个定义 同时第一次使用了 变量 这个词 他写道 变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量 函数 这个概念随着数学的不断发展而变化 历史上每个阶段 都有它相应的定义 18世纪 欧拉曾经前后给出函数的三种定义 1 将函数定义为 解析表达式 他写道 变量的函数是一个解析表达式 它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的 2 将函数定义为 由曲线确定的关系 在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x之间的关系 3 将函数定义为 变量之间的依赖变化 他说 如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量 即当后面这些变量变化时 前面这些变量也随之而变化 则前面的变量称为后面变量的函数 用现代的眼光去看 这三种定义都有一定的局限性 第一种 第三种两种定义容易理解 所以现在仍然被一些通俗的读物所采用 缺点在于过分狭窄 因为许多函数是没有解析表达式的 也有些函数并不随自变量x的变化而变化 第二个定义意义不够明确且局限于表达方式 不管怎样 欧拉定义对后世的影响很大 1837年 德国数学家秋里赫勒进一步给出函数的定义 对于在某区间上的每一个确定的x值 y都有一个或多个确定的值 那么y叫做x的函数 这已经相当接近现在许多教科书中所采用的定义了 19世纪70年代 康托的集合论出现之后 函数便明确地定义为集合间的对应关系 这是目前一般教科书所用的 集合对应 定义 采用 集合对应 定义以后 摆脱了 变量 一词 变量 一词的意义至今尚不清楚 自变量 这个提法本身也是有缺点的 因为变量必定依赖于时间而变 也就是它必定是时间的函数 不可能脱离时间而 自变量 对于函数采用了 集合对应 定义以后 摆脱了 变量 与 自变量 等名词 定义函数无需再依赖于时间了 而变量这个词 许多学者主张废弃不用 有人主张将 自变量 川因变量 改为 第一值 第二值 我国 函数 一词 是 代微积拾级 中首先使用的 这本书把函数定义为 凡此变数中含彼变数 则此为彼之函数 这里 函 是包含的意思 该定义大致相当于欧拉的解析表达式定义 在一个式子中 包含 着变量x 那么这个式子就是x的函数 函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一 而变量这个词却逐渐被新的词所代替 复习提问 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数等 1 初中所学的函数的概念是什么 在一个变化过程中 有两个变量x和y 如果给定一个x值 相应地就确定唯一的一个y值 那么就称y是x的函数 其中x是自变量 y是因变量 2 初中学过哪些函数 示例1 一枚炮弹发射后 经过26s落到地面击中目标 炮弹的射高为845m 且炮弹距地面的高度h 单位 m 随时间t 单位 s 变化的规律是 h 130t 5t2 新课 示例2 我国2003年4月份非典疫情统计 a a a b b b 123 123456 112233 149 1234 1 1 2 3 乘2 平方 求倒数 设集合a是一个非空的数集 对a中的任意数x 按照确定的法则f 都有唯一确定的数y与它对应 则这种对应关系叫做集合a上的一个函数 记作 y f x x a其中x叫做自变量 自变量的取值范围 数集a 叫做这个函数的定义域 1 定义 形成概念 如果自变量取值a 则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值 记作 y f a 或y x a所有函数值构成的集合 y y f x x a 叫做这个函数的值域 函数y f x 也经常写作函数f或函数f x 例1若物体以速度v作匀速直线运动 则物体通过的距离s与经过的时间t的关系是s vt 下列例1 例2 例3是否满足函数定义 例2某水库的存水量q与水深h 指最深处的水深 如下表 例3设时间为t 气温为t 自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图 定义域a 对应法则f 2 函数的二要素 2 f表示对应法则 不同函数中f的具体含义不一样 1 函数符号y f x 表示y是x的函数 f x 不是表示f与x的乘积 说明 3 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 练习 下列各图中 可表示函数y f x 的图象的只可能是 3 已学函数的定义域和值域 定义域r 值域r 定义域 x x 0 值域 y y 0 一次函数f x ax b a 0 二次函数f x ax2 bx c a 0 定义域 r 值域 当a 0时 当a 0时 3 已学函数的定义域和值域 求下列函数的值域 或 或 例1求下列函数的定义域 例题讲解 解题时要注意书写过程 注意紧扣函数定义域的含义 由本例可知 求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件 自变量应满足的不等式或不等式组 解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域 强调 若f x 是整式 则函数的定义域是实数集r 若f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于0的实数集 若f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合 强调 求用解析式y f x 表示的函数的定义域时 常有以下几种情况 若f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 若f x 是由实际问题抽象出来的函数 则函数的定义域应符合实际问题 强调 练习 求下列函数的定义域 要求把结果写成区间形式 2 y 3 y 1 y 函数 定义域 值域 对应关系 值域是由定义域和对应关系决定的 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 就称这两个函数相等 5 函数相等 例 当定义域和对应法则完全一致时 两个函数才相同 例2下列各组中的两个函数是否为相同的函数 定义域不同 例2下列各组中的两个函数是否为相同的函数 定义域不同 定义域不同 例2下列各组中的两个函数是否为相同的函数 定义域不同 定义域 值域都不同 定义域不同 例2下列各组中的两个函数是否为相同的函数 练习 判断下列各组的两个函数是否相同 并说明理由 1 y x 1 x r与y x 1 x n 与y 与u 1 4 y x2与y x 5 y 2 x 与y 2 y 3 y 1 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间 表示为 a b 设a b是两个实数 而且a b 我们规定 满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间 表示为 a b 满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间 表示为 a b 或 a b 这里的实数a b叫做相应区间的端点 6 区间的概念 4 无穷区间 表示为 集合表示 区间表示 数轴表示 xa x b a b xa x b a b xa x b a b xa x b a b xx a a xx a a xx b b xx b b xx r 数轴上所有的点 例3 集合与区间的互换 1 x 1 x 4 2 x 14 4 x x 1 5 3 6 6 4 9 7 1 4 2 已知函数f x 3x2 5x 2 求f 3 例4 1 已知函数f x 3x 2 试求f 3 f a 求 练习1 已知函数f x x2 3x 求f 4 f x 1 f x 1 2 若f x ax2 且 求a 1 若f 0 1 f n nf n 1 求f 4 练习 3 已知f x 5x2 4x 3 求f a f a 1 f f a 5 移动通讯公司开设了两种通讯业务 全球通 使用者先缴50元月基础费 然后每通话1分钟 再付电话费0 4元 神州行 不缴月基础费 每通话1分钟 付话费0 6元 这里均指市内通话 若一个月内通话x分钟 两种通迅方式的