证明(二)(三)复习

证明 二 三 复习 一 梳理知识一 梳理知识 1 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 三角形全等的判定方法 三角形全等的判定方法 一般三角形全等的判定方法 SSS SAS ASA AAS 直角三角形全等的判定方法 SSS SAS ASA AAS HL 3 特殊三角形的性质和判定 特殊三角形的性质和判定 4 命题和逆命题 定理和逆定理 命题和逆命题 定理和逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为 互逆命题互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理 这两个定理称为互逆定理互逆定理 其中 一个定理称为另一个定理的逆定理逆定理 5 线段的垂直平分线的定理及其逆定理 线段的垂直平分线的定理及其逆定理 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 相关定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 6 角平分线的定理及其逆定理 角平分线的定理及其逆定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 逆定理 在一个角的内部 且到角的两边的距离相等的点 在这条角的平分线上 在一个角的内部 且到角的两边的距离相等的点 在这条角的平分线上 相关定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 7 尺规作图 尺规作图 只允许使用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图 尺规作图 基本作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 经过一点作已知直线的垂线 平分已知角 作线段的垂直平分线 8 四边形与特殊四边形的关系四边形与特殊四边形的关系 性质性质判定判定 等腰等腰 三角形三角形 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等边等边 三角形三角形 具有等腰三角形的所有性质 等边三角形的三个角都相等 并且每个角都 等于 60 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 直角直角 三角形三角形 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和 等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角 形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 直角梯形 两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 一组对边平行另一组对边不平行 两腰相等 有一个角是直角 有一个角是直角且有一组邻边相等 有一组邻边相等 9 几种特殊的四边形的性质和判定 几种特殊的四边形的性质和判定 二 典型例题二 典型例题 1 已知 如图 CE AB BF AC CE 与 BF 相交于 D 且 BD CD 求证 D 在 BAC 的平分线上 证明 在 Rt BDE 和 Rt CDF 中 BED CFD 90 BDE CDF BD CD Rt BDE Rt CDF DE DF 又 CE AB BF AC D 在 BAC 的平分线上 2 已知 如图 D 是 ABC 中 BC 边上一点 EB EC ABE ACE 求证 BAE CAE 证明 在 AEB 和 AEC 中 性性 质质判判 定定特殊四特殊四 边形边形边边角角对角线对角线边边角角对角线对角线 平行四平行四 边形边形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相平分 1 两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 4 两组对角分别 相等的四边形是 平行四边形 5 两条对 角线互相 平分的四 边形是平 行四边形 矩形矩形 对边平行 且相等 四个角都 是直角 对角线互 相平分且 相等 1 有一个角是直 角的平行四边形 是矩形 2 三个角是直角 的四边形是矩形 3 对角线 相等的平 行四边形 是矩形 菱形菱形 四边相等 对角相等 邻角互补 对角线互 相垂直平 分 且每条 对角线平 分一组对 角 1 一组邻边相等的平行 四边形是菱形 2 四边相等的四边形是 菱形 3 对角线 互相垂直 的平行四 边形是菱 形 正方形正方形 四边相等 四个角都 是直角 对角线互 相垂直平 分且相等 每条对角 线平分一 组对角 1 有一组邻边相等且有 一个角是直角的平行四 边形是正方形 2 有一组邻边相等的矩 形是正方形 3 有一个角是直 角的菱形是正方 形 4 对角线 相等的菱 形是正方 形 5 对角线 互相垂直 的矩形是 正方形 等腰梯等腰梯 形形 两底平行 两腰相等 同一底上 的两个底 角相等 对角线相 等 1 两腰相等的梯形是等 腰梯形 2 在同一底上的 两个底角相等的 梯形是等腰梯形 3 对角线 相等的梯 形是等腰 梯形 BC D A AEAE ACEABE ECEB AEB AEC 第一步 BAE CAE 第二步 问 上面证明过程是否正确 若正确 请写出每一步推理根据 若不正确 请指出错在哪一步 并写 出你认为正确的推理过程 解 不正确 错在第一步 证明 EB EC EBD ECD 又 ABE ACE EBD ABE ECD ACE 即 ABD ACD AB AC 在 ABE 和 ACE 中 AB AC BE CE AE AE ABE ACE BAE CAE 3 已知 如图 AB AC CE AB 于 E BD AC 于 D 求证 BD CE 证明 由 AB AC 得 B C 又 BEC CDB BC BC 可证 BEC CDB 从而有 BD CE 4 如图 ABC是等边三角形中 cmAB10 求高AD的长和 ABC的面 积 结果用根号表示 35 AD325 s 5 在 Rt ABC 中 C 90 D 是 BC 边上一点 且 BD AD 10 ADC 60 求 ABC 的面积 2 375 s 6 已知某开发区有一块四边形的空地 ABCD 如图 现计划在空地上种植草皮 经测量 A 90 AB 3m BC 12m CD 13m DA 4m 若每平方米草皮需要 200 元 问需要多少投入 所以共需投入 36512 2 1 43 2 1 s 200 36 7200 元 7 如图 0 60 A AB AD 8 0 150 D 四边形的周长为 32 求 BC 和 CD 的长 C D B A A B CD E F H G A B C D E 0 0 00 222 222 60 860 15090 32328816 8 16 10 10 ABADA ABD BDABADB ADCCDB CDBC BC CDBCDBDBC xx BC BCCD A A 解 连结BD 是等边三角形 四边形周长为 设C D x 则 16 x 在R t中 即 解得x 16 长为 长为6 8 如图 3 AB CD E 是 AB 的中点 0 90 ACB CE CD DE 和 AC 相交于点 F 求证 1 ACDE 2 ACEACD 9 如图 4 ABCD 为平行四边形 DFEC 和 BCGH 为正方形 求证 EGAC 证明 从而得ECGABC 0 90 GCACGE 10 如图 5 正方形纸片 ABCD 的边 BC 上有一点 E AE 8cm 若把纸片对折 使点 A 与点 E 重合 则 纸片折痕的长是多少 折痕 GH 是 AE 的中垂线 证明折痕与 AE 相等 有 GH BF AE 8 11 如图 6 在矩形 ABCD 中 E 是 BC 上一点且 AE AD 又于点 F 证明 EC EF AEDF 易证 AB CD DFAFDRtABERt 易证DCERtDFERt 12 如图 7 已知 P