数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角.doc

解直角三角形及其应用 方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明1 当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35。由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。上北下南左西又东。2 那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？ 由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？ 生：需另建立直角坐标系。以B是坐标原点。在A的北偏西 353 若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40方向，师： 由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。B是坐标原点。正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。2 能准确地确定问题中提出的各个方位。刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用方位角的问题。出示课题。刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？ 师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; APC=90-65=25; A=65 ; B=34;ABPC。要求BP,BP在RtBPC中，而RtBPC中只知道一个角，要用三角函数求解， 就必须还要知道一条边，有图形看出只能求PC.而这条边PC就只有从另一个RtAPC中得出。因为APC=25，AP=80n mile,所以在RtAPC中，PC=AP*Cos25；BP=PC/Sin34. 追问：这是由什么想到的？生：由解直角三角形中边与角的关系想到的。追问：还有其他方法吗？生：还有，在RtBPC中，可以用正弦求出AC,再用勾股定理求出PC.师：你刚才为什么不用这个方法呢？生：太复杂了。师：那我们在解题的时候要选用适当的锐角三角函数来解决问题了。（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？解：如图在 RtAPC 中，PC=PAcos（90- 65） =80cos 2572.505在 RtBPC 中，B=34，sin B=PC/PB，PB =PC/SinB=PC/Sin34130（n mile）师：PB=130n mile是我们计算出来的答案，它符合问题实际吗？生：符合。师：在我们计算出结果的时候，我们要看它是否符合问题的实际情况。不符合问题实际的结果要舍去。（4）想一想，求解本题的关键是什么？步骤是什么呢？关键： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）步骤：1 画 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）2 选根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。3 算得到数学问题的答案。4 验 得到实际问题的答案。我们常说做一题，会一类。那就这类关于方位角的问题你学会了吗？那下面我们来检验一下自己。请大家看问题3问题3 海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 1 如何理解“海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，”这句话？怎么用数学语言描述？生：以A为圆心，8n mile为半径的圆面积内都有触礁的危险。 2. 渔船由 B 向东航行，它行走的轨迹是什么？ 是一条直线。师：读到这儿，请设想一下：如果现在渔船继续往前面航行，你认为会有几种情况发生？生：3种师：你能画出三种情况的示意图吗？（请一学生上黑板板演）。师：根据图形，你能确定哪种情况会触礁吗？生：能师：你是怎么想到的呢？可以用我们原来学过的哪个知识来解释呢？生：直线与圆的位置关系。师：怎样判断直线与圆的位置关系呢？生：比较d与r的数量关系。师：对，我们说过，由数量关系确定图形的位置关系。师：现在请根据题意画出平面图形。这儿怎样判断渔船行走的路线与以A为圆心，8n mile为半径的圆的位置情况呢？生：比较A到渔船行走路线的距离与8n mile的大小。师：怎么作图呢？生：过点A做直线的垂线段。师：依据是什么呢？生：垂线段最短。你能说出渔船由 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近吗？3最近的距离怎样求？师：将已知条件标在图上，看已知什么，需要求什么。解： 设AC为x n mile在RtADC中 DC=x/tan(90-30) =x/3 = 3x/3 BC=12+ 3x/3在RtABC中 tan(90-60)=x/12+ 3x/3解得 x=63 x10.4 10.48 4如何判断渔船有没有触礁？生：如果AC（C是垂足）小于等于8n mile 那就有触礁的危险。师：其实这儿我们又综合了直线与圆的有关知识，也就是说：就是d与r比较，d r,直线与圆相离，这时渔船不经过暗礁岛屿；d r，直线与圆相交，渔船会经过暗礁岛屿，就会触礁。刚才我们用解直角三角形的方法在解决航海问题中的应用。我们还可以用解直角三角形的方法解决在建筑工程中的应用。我们一起来看我们遇到的实际问题：问题4如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1 ：1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度i =1：3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：（1）坡角 和 的度数；（2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）师：你能将“斜面坡度 i =1 ：1.5; 斜面坡度i =1：3”转化成几何语言吗？生：AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3师：看到这两边的比你想到了什么？生：可以用解直角三角形中的正切来表示师：你是怎样想到的？生：他们都是的对边与邻边的比。师：你能表示出来吗？生：tan=2/3；tan=1/3.师：正切和i有联系吗？生：有。将实际问题抽象为几何问题后，他们表达的本质是相同的，都是相同的两条直角边的比；师：对。I是在工程的图纸中常见的表示坡度的符号，具体表示为：铅直高度与水平宽度的比。而本题中的铅直高度就是的对边，水平宽度就是的邻边。那这个坡度问题就转化为解直角三角形的问题了。这就是我们今天学习的另一个问题坡度问题。师：现在能解决这个实际问题了吗？请大家书写出规范的解答过程。生：解：（1） AF/BF=1/1.5=2/3；DE/EC=1/3 即 tan=2/3；tan=1/3.得 = ；=（2）sin=AF/AB AB=AF*sin AB=6* 那现在看看我们用前面用解直角三角形的步骤同样适用于这儿吗？学生思考回答一画？这儿已经画出了平面图形，如果没有画出来，我们就只有自己画了。二选？也需要选择适当的锐角三角函数来解决。比如刚才我们就选择了正弦。三算？必须要经过计算的。四验？要看我们的数学答案是否符合我们的实际问题。师：看来前面我们用解方位角的步骤同样适用于解决坡度问题。其实这个步骤适用于解直角三角形及其应用这节内容的所有实际问题。以后我们在解这类问题的时候都可以用这个步骤来解决。小结师：今天我们的课程就学到这儿了，现在我们小结一下今天的我们学习的内容。（1）回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？生：1 画将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）2 选根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形。3 算得到数学问题的答案。4 验得到实际问题的答案。我们解这类问题的关键是借助图形，将实际问题转化为解直角三角形