《新高考全案》高考数学 42利用导数研究函数的单调性课件 人教版.ppt

1 函数单调的一个充分条件设函数y f x 在某个区间内可导 2 函数单调的必要条件设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 在该区间内 则在该区间内 如果f x 0 则f x 为 增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 单调递增 或递减 f x 0 或f x 0 3 求函数单调区间的一般步骤 1 确定f x 的 2 求导数 3 由 当 f x 当时 f x 定义域 f x f x 0 或f x 0 解出相应的x的范围 f x 0时 在相应区间内是增函数 f x 0 在相应区间内是减函数 1 设f x g x 是r上的可导函数 f x g x 分别为f x g x 的导函数 且f x g x f x g x 0 则当a x b时 有 a f x g b f b g x b f x g a f a g x c f x g x f b g b d f x g x f a g a 答案 c 2 2011 广州一模 函数f x ex e x e为自然对数的底数 在 0 上 a 有极大值b 有极小值c 是增函数d 是减函数 答案 c 3 2010 江西 12 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为s t s 0 0 则导函数y s t 的图象大致为 解析 当五角星匀速地升出水面 五角星露出水面的面积s t 单调递增 则s t 0 导函数的图象要在x轴上方 排除b 当露出部分到达图中的q点到r点之间时 s t 增长速度变缓 s t 图象要下降 排除c 当露出部分在q点上下一瞬间时 s t 突然变大 此时在q点处的s t 不存在 排除d 而a符合条件 故选a 答案 a 已知函数y xf x 的图象如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 下面四个图象中y f x 的图象大致是 解析 当x0 f x 为增函数 当 10 f x 1时 xf x 0 f x 0 f x 为增函数 答案 c 点评与警示 根据题目条件和所给图象 判断f x 所在区间函数值的符号 确定f x 所在区间的单调性 大致可以确定曲线的形状 当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 分析 假设构造函数f x e2x 1 2x 因f 0 e0 1 0 0 如果能够证明f x 在 0 上是增函数 那么f x 0 则不等式就可以得到证明 证明 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 2 e2x 1 0 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 f 0 e0 1 0 0 当x 0时 f x f 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 点评与警示 通过构造函数 利用导数判断出所构造的函数的单调性 再将x赋值 利用单调性证明不等式 这也是证明不等式的一种有效方法 证明不等式 ex 1 x 证明 构造函数f x ex 1 x 利用导数证明函数f x ex 1 x是增函数 即ex 1 x 2009 北京 设函数f x xekx k 0 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 解 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力 1 f x 1 kx ekx f 0 1 f 0 0 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y x 设x 1和x 2是函数f x x5 ax3 bx 1的两个极值点 1 求a和b的值 2 求f x 的单调区间 2 由 1 知f x 5x4 3ax2 b 5 x2 1 x2 4 5 x 2 x 1 x 1 x 2 当x 2 1 1 2 时 f x 0 当x 2 1 1 2 时 f x 0 因此f x 的单调增区间是 2 1 1 2 f x 的单调减区间是 2 1 1 2 2010 全国 21 已知函数f x 3ax4 2 3a 1 x2 4x 1 当a 时 求f x 的极值 2 若f x 在 1 1 上是增函数 求a的取值范围 解 1 f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 当a 时 f x 2 x 2 x 1 2 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 f x 在 2 内单调减 在 2 内单调增 在x 2时 f x 有极小值 所以f 2 12是f x 的极小值 2 在 1 1 上 f x 单调增加当且仅当f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 0 即3ax2 3ax 1 0 当a 0时 恒成立 1 求函数的单调区间 应先确定函数的定义域 再由f x 0 或f x 0 或f x 0 是函数f