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2 2 2指数函数 问题情景 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 我们会得到这样一组数据分裂次数 1 2 3 4 细胞数目 2 4 8 16 如果说我们引入两个变量x 分裂次数 y 细胞数目 请问我们现在能不能建立y关于x的函数的关系 我们发现分裂次数与细胞数目能够建立一种函数关系 有这么一个故事 有人要走完一段路 第一次走这段路的一半 每次走余下路程的一半 请问最后能达到终点吗 分析 设总路程为1 次数1234 剩下路程 1 81 16 如果说我们引入两个变量x 次数 y 剩下路程 请问我们现在能不能建立y关于x的函数的关系 问题 我们在前面学习了分数指数幂 请问大家刚才两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集r 显然可以得到这样两个函数 问题 大家还能举出形式和刚才差不多的函数吗 请观察以上几个函数 形式上 底数大于0且不同 指数均为x 大家还能从这些特征中 概括出一个式子来表示它们吗 思考 这里的a可以取什么样的值 一般地 函数y ax a 0且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 其定义域为r 口答练习 判断下列函数是否是指数函数 1 y 2 x2 y 0 5x3 y 3 2x4 y x0 6 我们已经知道了指数函数的形式了 那么下面让我们来探究它的性质 首先从图象开始 与 y ax a 1 y a x 0 a 1 增 减 3 解 由指数函数的性质知 而 与特殊值 比较 一 判断大小 比较大小问题的处理方法 1 看类型2 同底用单调性3 其它类型找中间量 a b b c则a c 例2 1 已知 求实数的取值范围 解 在r上是增函数 又 即的取值范围为 2 已知 求实数的取值范围 解 在r上是减函数 即的取值范围为 这也是含变量的大小比较 单调性的应用 练习 解不等式 由指数函数的单调性可得 整理得 原不等式的解集为 解得 解 原不等式等价于 小结 形如 af x 1时原不等式等价于 f x g x 当0 a 1时原不等式等价于 f x g x 课堂小结 1 指数函数概念 2 指数比较大小的方法 3 指数函数的性质
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