2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题三　立体几何 第3讲　立体几何中的向量方法 Word版含解析(数理化网).doc

教学资料范本2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题三立体几何 第3讲立体几何中的向量方法 Word版含解析(数理化网)编 辑：_时 间：_全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷20xx二面角的正弦值的求解T18二面角的正弦值的求解T17二面角的大小的求解T1920xx线面角的正弦值的求解T18(2)二面角、线面角的正弦值的求解T20(2)二面角的正弦值的求解T19(2)20xx二面角的余弦值的求解T18(2)二面角的余弦值的求解T19(2)二面角的余弦值的求解T19(2)高考对此部分的命题较为稳定.一般为解答题.多出现在第18或19题的第二问的位置.考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角.难度中等偏上 利用空间向量证明空间位置关系例1如图.在四棱锥PABCD中.PA底面ABCD.ADAB.ABDC.ADDCAP2.AB1.点E为棱PC的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.证明依题意.以点A为原点建立空间直角坐标系(如图).可得B(1.0.0).C(2.2.0).D(0.2.0).P(0.0.2)由E为棱PC的中点.得E(1.1.1)(1)向量(0.1.1).(2.0.0).故0.所以BEDC.(2)因为ABAD.又PA平面ABCD.AB平面ABCD.所以ABPA.PAADA.所以AB平面PAD.所以向量(1.0.0)为平面PAD的一个法向量而(0.1.1)(1.0.0)0.所以BEAB.又BE平面PAD.所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一个法向量(1.0.0).向量(0.2.2).(2.0.0).设平面PCD的法向量为n(x.y.z).则即不妨令y1.可得n(0.1.1)为平面PCD的一个法向量且n(0.1.1)(1.0.0)0.所以n.所以平面PCD平面PAD.解题方略利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系.用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量.再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题多练强化在直三棱柱ABCA1B1C1中.ABC90.BC2.CC14.点E在线段BB1上.且EB11.D.F.G分别为CC1.C1B1.C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)依题意.以B为坐标原点.BA.BC.BB1所在的直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系.如图所示.则B(0.0.0).D(0.2.2).B1(0.0.4).C1(0.2.4).设BAa.则A(a.0.0).所以(a.0.0).(0.2.2). (0.2.2).0.0440.即B1DBA.B1DBD.又BABDB.BA.BD平面ABD.因此B1D平面ABD.(2)由(1)知.E(0.0.3).G.F(0.1.4).则. (0.1.1).0220.0220.即B1DEG.B1DEF.又EGEFE.EG.EF平面EGF.因此B1D平面EGF.结合(1)可知是平面ABD的一个法向量.所以平面EGF平面ABD. 题型一求直线与直线所成的角例2(1)已知ABC与BCD均为正三角形.且AB4.若平面ABC平面BCD.且异面直线AB和CD所成的角为.则cos ()ABCD(2)(20xx全国卷)a.b为空间中两条互相垂直的直线.等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a.b都垂直.斜边AB以直线AC为旋转轴旋转.有下列结论：当直线AB与a成60角时.AB与b成30角；当直线AB与a成60角时.AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析(1)取BC的中点O.连接OA.OD.所以OAOC.ODOC.因为平面ABC平面BCD.平面ABC平面BCDBC.所以OA平面BCD.所以OA.OD.OC两两垂直.以O为坐标原点.OD.OC.OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB4.所以B(0.2.0).D(2.0.0).C(0.2.0).A(0.0.2).所以(0.2.2).(2.2.0).则cos .(2)法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心.1为半径的圆设直线a的方向向量为a(0.1.0).直线b的方向向量为b(1.0.0).以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为.0.2).则B(cos .sin .0).又A(0.0.1).(cos .sin .1).|.设直线AB与a所成夹角为.则cos |sin |.4590.正确.错误设直线AB与b所成夹角为.则cos |cos |.当直线AB与a的夹角为60.即60时.则|sin |cos cos 60.|cos |.cos |cos |.090.60.即直线AB与b的夹角为60.正确.错误正确的说法为.法二：由题意.AB是以AC为轴.BC为底面半径的圆锥的母线.又ACa.ACb.AC圆锥底面.在底面内可以过点B.作BDa.交底面圆C于点D.如图所示.连接DE.则DEBD.DEb.连接AD.设BC1.在等腰ABD中.ABAD.当直线AB与a成60角时.ABD60.故BD.又在RtBDE中.BE2.DE.过点B作BFDE.交圆C于点F.连接AF.EF.BFDE.ABF为等边三角形.ABF60.即AB与b成60角.故正确.错误由最小角定理可知正确；很明显.可以满足平面ABC直线a.直线AB与a所成角的最大值为90.错误正确的说法为.答案(1)D(2)解题方略向量法求异面直线所成角设异面直线a.b所成的角为.则cos .其中.a.b分别是直线a.b的方向向量此方法解题的关键在于找出两异面直线的方向向量.求两个向量的数量积.而要求两向量的数量积.可以求两向量的坐标.也可以把所求向量用一组基向量表示两个向量的夹角范围是0.而两异面直线所成角的范围是.应注意加以区分注意两条异面直线所成角的范围是.当所作或所求的角为钝角时.应取其补角作为两条异面直线所成的角题型二求直线与平面所成的角例3(20xx浙江高考)如图.已知三棱柱ABCA1B1C1.平面A1ACC1平面ABC.ABC90.BAC30.A1AA1CAC.E.F分别是AC.A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解(1)证明：如图.连接A1E.因为A1AA1C.E是AC的中点.所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC.A1E平面A1ACC1.平面A1ACC1平面ABCAC.所以A1E平面ABC.则A1EBC.又因为A1FAB.ABC90.故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)如图.取BC的中点G.连接EG.GF.则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC.故A1EEG.所以平行四边形EGFA1为矩形由(1)得BC平面EGFA1.则平面A1BC平面EGFA1.所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于点O.则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4.则在RtA1EG中.A1E2.EG.由于O为A1G的中点.故EOOG.所以cosEOG.因此.直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.(1)证明：连接A1E.因为A1AA1C.E是AC的中点.所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC.A1E平面A1ACC1.平面A1ACC1平面ABCAC.所以A1E平面ABC.如图.以点E为原点.分别以射线EC.EA1为y.z轴的正半轴.建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4.则A1(0.0.2).B(.1.0).B1(.3.2).F.C(0.2.0)因此.(.1.0)由0.得EFBC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(.1.0). (0.2.2)设平面A1BC的法向量为n(x.y.z)由得取n(1, .1).故sin |cos.n|.所以cos .因此.直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解题方略向量法求直线和平面所成的角设为直线l与平面所成的角.为直线l的方向向量m与平面的法向量n之间的夹角.则有(如图(1)或(如图(2).所以有sin |cos |cosm.n |.特别地.0时.l；时.0.l或l.题型三求二面角例4(20xx全国卷)如图.直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形.AA14.AB2.BAD60.E.M.N分别是BC.BB1.A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解(1)证明：如图.连接B1C.ME.因为M.E分别为BB1.BC的中点.所以MEB1C.且MEB1C.又因为N为A1D的中点.所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC.可得B1C綊A1D.故ME綊ND.因此四边形MNDE为平行四边形.所以MNED.又MN平面C1DE.所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点. 的方向为x轴正方向.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(2.0.0).A1(2.0.4).M(1.2).N(1.0.2). (0.0.4). (1.2). (1.0.2).(0.0)设m(x.y.z)为平面A1MA的法向量.则所以可取m(.1.0)设n(p.q.r)为平面A1MN的法向量.则所以可取n(2.0.1)于是cosm.n.所以二面角AMA1N的正弦值为.解题方略向量法求二面角设二面角l的平面角为(0).n1.n2分别为平面.的法向量.向量n1.n2的夹角为.则有(如图(1)或(如图(2).其中cos .多练强化1.(20xx江西省五校协作体试题)如图.圆锥的底面直径AB4.高OC2.D为底面圆周上的一点.且AOD.则直线AD与BC所成的角为()A.B.C.D.解析：选B如图.过点O作OEAB交底面圆于E.分别以OE.OB.OC所在直线为x.y.z轴建立空间直角坐标系.因为AOD.所以BOD.则D(.1.0).A(0.2.0).B(0.2.0).C(0.0.2). (.3.0).(0.2.2).所以cos. .则直线AD与BC所成的角为.故选B.2(20xx天津高考)如图.AE平面ABCD.CFAE.ADBC.ADAB.ABAD1.AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为.求线段CF的长解：依题意.建立以A为原点.分别以. 的方向为x轴.y轴.z轴正方向的空间直角坐标系(如图).可得A(0.0.0).B(1.0.0).C(1.2.0).D(0.1.0).E(0.0.2)设CFh(h0).则F(1.2.h)(1)证明：依题意.(1.0.0)是平面ADE的法向量.又(0.2.h).可得0.又因为直线BF平面ADE.所以BF平面ADE.(2)依题意. (1.1.0).(1.0.2). (1.2.2)设n(x.y.z)为平面BDE的法向量.则即不妨令z1.可得n(2.2.1)因此有cos.n.所以.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1.y1.z1)为平面BDF的法向量.则即不妨令y1.可得m.由题意.有|cosm.n|.解得h.经检验.符合题意所以.线段CF的长为. 利用空间向量解决探索性问题例5如图.四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形.PA平面ABCD.点E是棱PD的中点.点F是PC的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)若四边形ABCD为正方形.探究在什么条件下.二面角CAFD大小为60？解(1)证明：连接BD.设ACBDO.连接OE.因为四边形ABCD为矩形.所以点O是BD的中点.因为点E是棱PD的中点.所以PBEO.又因为PB平面AEC.EO平面AEC.所以PB平面AEC.(2)由题意知AB.AD.AP两两垂直.以A为坐标原点.以AB.AD.AP所在直线分别为x轴.y轴.z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设ABAD2a.AP2c.则A(0.0.0).C(2a.2a.0).D(0.2a.0).P(0.0.2c).F(a.a.c)因为z轴平面CAF.所以设平面CAF的一个法向量为n(x.1.0).而(2a.2a.0).所以n2ax2a0.得x1.所以n(1.1.0)因为y轴平面DAF.所以设平面DAF的一个法向量为m(1.0.z).而(a.a.c).所以macz0.得z.所以m.所以cos 60.得ac.即当AP等于正方形ABCD的边长时.二面角CAFD的大小为60.解题方略利用空间向量求解探索性问题的策略(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论(2)在这个前提下进行逻辑推理.把要成立的结论当作条件.据此列方程或方程组.把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解.是否有规定范围内的解”等若由此推导出矛盾.则否定假设；否则.给出肯定结论多练强化(20xx湖南省湘东六校联考)如图.ABEDFC为多面体.平面ABED与平面ACFD垂直.点O在线段AD上.OA1.OD2.OAB.OAC.ODE.ODF都是正三角形(1)证明：直线BC平面OEF；(2)在线段DF上是否存在一点M.使得二面角MOED的余弦值是？若不存在.请说明理由； 若存在.请求出M点所在的位置解：(1)证明：依题意.在平面ADFC中.CAOFOD60.ACOF.又OF平面OEF.AC平面OEF.在平面ABED中.BAOEOD60.ABOE.又OE平面OEF.AB平面OEF.ABACA.AB平面OEF.AC平面OEF.AB平面ABC.AC平面ABC.平面ABC平面OEF.又BC平面ABC.直线BC平面OEF.(2)设OD的中点为G.如图.连接GE.GF.由题意可得GE.GD.GF两两垂直.以G为坐标原点.GE.GD.GF所在的直线分别为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系.易知.O(0.1.0).E(.0.0).F(0.0.).D(0.1.0)假设在线段DF上存在一点M.使得二面角MOED的余弦值是.设.0.1.则M(0.1.). (0.2.)设n(x.y.z)为平面MOE的法向量.由得可取x.则y.z2.n(.2)又平面OED的一个法向量m(0.0.1).|cosm.n|.(21)(1)0.又0.1.存在满足条件的点M.M为DF的中点数学抽象向量法解决空间立体几何问题典例如图.在三棱锥PABC中.PA底面ABC.BAC90.点D.E.N分别为棱PA.PC.B