高中数学：柯西不等式

类型一 利用柯西不等式求最值类型一 利用柯西不等式求最值 例 1 求函数的最大值 解 且 函数的定义域为 且 即时函数取最大值 最大值为 法二 二 且 函数的定义域为 由 得 即 解得 时函数取最大值 最大值为 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 变式 1 设 且 求的最大值及最小值 利用柯西不等式得 故最大值为 10 最小值为 10 变式 2 已知 求的最值 法一 一 由柯西不等式 于是的最大值为 最小值为 法二 法二 由柯西不等式 于是的最大值为 最小值为 变式 3 设 2x 3y 5z 29 求函数的最大值 根据柯西不等式 故 当且仅当 2x 1 3y 4 5z 6 即时等号成立 此时 变式 4 设 1 0 2 x y z 若 x2 y2 z2 16 则的最大值为 a b a b 解 1 0 2 x y z x 2za b a b 由柯西不等式 12 0 2 2 x2 y2 z2 x 0 2z 2 5 16 x 2z 2 4 x 455 4 4 故 的最大值为 4 5a b 5a b 5 变式 5 设 x y z R 若 x2 y2 z2 4 则 x 2y 2z 之最小值为 时 x y z 解 x 2y 2z 2 x2 y2 z2 12 2 2 22 4 9 36 x 2y 2z 最小值为 6 公式法求 x y z 此时 3 2 2 2 2 6 221 222 zyx 3 2 x 3 4 y 3 4 z 变式 6 设 x y z R 若 则之最小值为 又 332 zyx 222 1 zyx 此时 y 解析 14 36 1 332 1 3 2 1 2222222222 zyxzyxzyx 最小值 7 18 1 233 2 2 3 31 3 231 xyz txyzttt 7 3 t 7 2 y 变式 7 设 a b c 均为正数且 a b c 9 则之最小值为 cba 1694 解 a b c 2 432 c c b b a a cba 1694 9 2 3 4 2 81 9 cba 1694 cba 1694 9 81 变式 8 设 a b c 均为正数 且 则之最小值为 232 cba cba 321 解 2222222 321 3 2 1 3 2 cba cba 最小值为 1818 321 cba 变式 9 设 x y z R 且 求 x y z 之最大 小值 1 4 3 5 2 16 1 222 zyx 解 由柯西不等式知1 4 3 5 2 16 1 222 zyx 42 2 22 5 222 2 3 5 2 4 1 zyx 25 1 x y z 2 2 5 x y 2 5 2 5 4 1 4 yx 2 2 3 z z 2 5 x y z 2 5 3 x y z 7 故 x y z 之最大值为 7 最小值为 3 类型二 利用柯西不等式证明不等式类型二 利用柯西不等式证明不等式 基本方法 1 巧拆常数 例 1 2 重新安排某些项的次序 例 2 3 改变结构 例 3 4 添项 例 4 例 1 设 为正数且各不相等 求证 又 各不相等 故等号不能成立 例 2 为非负数 1 求证 即 例 3 若 求证 解 所证结论改为证 例 4 求证 左端变形 只需证此式即可 变式 1 设 a b c 为正数 求证 即 同理 将上面三个同向不等式相加得 变式 2 设 a b c 为正数 求证 于是即 变式 3 已知正数满足 证明 解 又因为 在此不等式两边同乘以 2 再加上得 故 类型三 柯西不等式在几何上的应用类型三 柯西不等式在几何上的应用 6 ABC 的三边长为 a b c 其外接圆半径为 R 求证 证明 由三角形中的正弦定理得 所以 同理 于是左边 变式 ABC 之三边长为 4 5 6 P 为三角形内部一点 P 到三边的 距离分別为 x y z 求的最小值 且 4x 5y 6z 由柯西不等式 4x 5y 6z 2 x2 y2 z2 42 52 62 x2 y2 z2 77x2 y2 z2 柯西不等式柯西不等式 2 2211nnb ababa 2 22 2 2 1 2 22 2 2 1nn bbbaaa niRba ii 2 1 等号当且仅当等号当且仅当或或时成立 时成立 k 为常数 为常数 0 21 n aaa ii kab ni 2 1 利用柯西不等式可处理以下问题 1 证明不等式 例 2 已知正数满足 证明 a b c1abc 222 333 3 abc abc 证明 2 313131 2 222 222222 abca ab bc c 222 333 222 abcabc 2 333 abcabc 1abc 又因为 在此不等式两边同乘以 2 再加上得 222 abcabbcca 222 abc 222 3abcabc 故 2 222333222 3abcabcabc 222 333 3 abc abc 2 解三角形的相关问题 例 3 设是内的一点 是到三边的距离 是外接圆的半pABCA x y zp a b cRABCA 径 证明 222 1 2 xyzabc R 证明 111 xyzaxbycz abc 111 axbycz abc A 记为的面积 则SABCA22 42 abcabc axbyczS RR A 1 22 abcabbcca xyzabbcca RabcR 222 1 2 abc R 3 求最值 例 4 已知实数满足 试求的最值 a b c d3abcd 2222 2365abcd a 解 即 2 222 111 236 236 bcdbcd 2 222 236bcdbcd 由条件可得 2 2 53aa 解得 当且仅当 时等号成立 12a 236 1 21 31 6 bcd 代入时 11 1 36 bcd max 2a 时 21 1 33 bcd min 1a 5 利用柯西不等式解方程 例 5 在实数集内解方程 222 9 4 862439 xyz xyy 解 222 2222 86248624xyzxyy 22 2222 8624xyz 2 9