【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.1平面及其基本性质课件（第2课时）.ppt

第九章 直线 平面 简单几何体 题型4共点问题 第二课时 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是ab的中点 f是a1a的中点 求证 ce d1f da三线共点 证明 因为e是ab的中点 f是a1a的中点 连结a1b 则ef a1b 所以ef d1c且ef d1c 故四边形ecd1f是梯形 两腰ce d1f相交 设其交点为p 则p ce 又ce 平面abcd 所以p 平面abcd 同理 p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 ad 根据公理3知 p ad 所以ce d1f da三线共点 2 在空间四边形abcd中 e f g h分别是ab bc ad cd边上的点 且ef和gh相交于p点 求证 a c p三点共线 题型5共线问题 证明 依据题意 a b c为不共线三点 由这三点确定一个平面 因为e f分别是ab bc上的点 所以e f在平面abc内 从而直线ef在平面abc内 因为点p在直线ef上 所以点p在平面abc内 同理 点p在平面acd内 所以点p是平面abc和平面acd的一个公共点 因为平面abc 平面acd ac 所以点p在直线ac上 即a c p三点共线 点评 证多点共线问题 一般先取过两点的直线 然后证其他点在这条直线上 也可证明这些点均在两个平面的交线上 在正方体abcd a1b1c1d1中 对角线a1c与平面bdc1相交于o点 直线ac和bd相交于点m 求证 c1 o m三点共线 证明 因为aa1 cc1 所以aa1和cc1确定一个平面 显然 c1 o m三点都在平面aa1c1c内 又c1 o m三点都在平面bc1d内 所以c1 o m三点在平面aa1c1c和平面bc1d的交线上 即三点共线 3 已知三条直线a b c两两互相平行 且分别与直线l相交于a b c三点 证明 四条直线l a b c共面 证明 因为a b b c 故设由a b确定的平面为 由b c确定的平面为 因为l a a l b b 而a b 所以l 同理 l 题型6共面问题 点评 证明直线共面通常的方法是 由其中两条直线确定一个平面 再证明其余的直线都在此平面内 纳入法 过某些直线作多个平面 然后证明这些平面重合 重合法 也可利用共面向量定理来证明 求证 两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内 证明 1 若a b c三线共点p 但点p d 由d和其外一点可确定一个平面 又a d a 所以点a 所以直线a 同理可证 b c 所以a b c d共面 2 若a b c d两两相交但不过同一点 因为a b q 所以a与b可确定一个平面 又c b e 所以e 同理c a f 所以f 所以直线c上有两点e f在 内 所以c 同理可证 d 故a b c d共面 由 1 2 知 两两相交且不通过同一点的四条直线必共面 对于空间五个不同的点 若任意四点都是共面的 求证 这五个点必共面 证明 设五个点分别为a b c d e 且a b c d四点在平面 内 a b c e四点在平面 内 1 若a b c三点不共线 则平面 有三个不共线的公共点 所以 与 重合 从而五点共面 2 若a b c三点共线 设所在直线为l 依据题意 a b d e四点共面 则直线l在这个平面内 从而c点也在该平面内 故有五点共面 1 证明若干个点共线 常转化为证明这些点都是某两个平面的公共点 再根据公理2 这些点都在这两个平面的交线上 从而共线 2 证明若干条直线共点与证明若干个点共线是同一类问题 都可以转化为证明 点在直线上 两条直线的交点在第三条直线上 3 证