几何证明中常见的辅助线的方法

专题学习 几何证明中常见 添辅助线 方法 1 连结 目的 构造全等三角形或等腰三角形 适用情况 图中已经存在两个点 A和B 语言描述 连结AB 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 1 连结 典例1 如图 AB AD BC DC 求证 B D A C B D 1 连结AC 构造全等三角形 1 连结 典例2 如图 AB AE BC ED B E AM CD 求证 点M是CD的中点 A C B D 连结AC AD 构造全等三角形 E M 1 连结 典例3 如图 AB AC BD CD M N分别是BD CD的中点 求证 AMB ANC A C B D 连结AD 构造全等三角形 N M 目的 构造直角三角形 得到距离相等 适用情况 图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述 过点X作XY MN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 2 角平分线上点向两边作垂线段 2 角平分线上点向两边作垂线段 典例4 如图 ABC中 C 90o BC 10 BD 6 AD平分 BAC 求点D到AB的距离 A C D 过点D作DE AB 垂足为E 构造了全等的直角三角形且距离相等 B E 2 角平分线上点向两边作垂线段 典例5 如图 ABC中 C 90o AC BC AD平分 BAC 求证 AB AC DC A C D 过点D作DE AB 垂足为E 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B E 思考 若AB 15cm 则 BED的周长是多少 2 角平分线上点向两边作垂线段 典例6 如图 四边形ABCD中 A D 90o BE CE均是角平分线 求证 BC AB CD A C D 过点E作EF BC 垂足为F 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F E 2 角平分线上点向两边作垂线段 2 如图 四边形ABCD中 A D 90o BE CE均是角平分线 求证 BC AB CD 解法2 延长BE和CD交于点F 构造了 全等的直角三角形 F 2 角平分线上点向两边作垂线段 典例4 如图 OC平分 AOB OEP ODP 180o 求证 PD PE A C D 过点P作PF OA于F PG OB于G 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F E P G O 目的 构造全等三角形 将相关线段聚成三角形 适用情况 图中已经存在一条线段MN和中线 或中点 语言描述 延长AD到E 使DE AD 连接CE 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 3 中线延长一倍 例7 已知 如图AD是 ABC的中线 延长AD到点E 使DE AD 连结CE 思考 若AB 3 AC 5求AD的取值范围 倍长中线 例8 如图 AD为 ABC的中线 ADB ADC的平分线交AB AC于E F 求证 BE CF EF分析 本题中已知D为BC的中点 要证BE CF EF间的不等关系 可利用点D将BE旋转 使这三条线段在同一个三角形内 线段与角求相等 先找全等试试看 图中有角平分线 可向两边作垂线 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段计算和与差 巧用截长补短法 三角形里有中线 延长中线 中线 想作图形辅助线 切莫忘记要双添 小结 课外练习 拓展题 1 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 2 如图1 AD是 ABC的中线 AB 3 AC 5 求中线AD的取值范围 3 如图所示 已知AD BC 1 2 3 4 直线DC经过点E交AD于点D 交BC于点C 求证 AD BC AB E F 在AB上取点F使得AF AD 连接EF 截长补短 4 已知在 ABC中 C 2 B 1 2求证 AB AC CD A D B C 1 2 在AB上取点E使得AE AC 连接DE 截长 F 或延长AC至点F 使得CF CD 连接DF 补短 5 如图 ABC中 C 90o AC BC AD平分 ACB DE AB 若