江苏省连云港市田家炳中学高三数学 81直线的斜率与直线的方程复习课件.ppt

第八单元直线与圆的方程 知识体系 最新考纲 第一节直线的斜率与直线的方程 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中 对于一条与x轴相交的直线 把x轴所在的直线绕着交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 倾斜角的范围为 最小正角 逆时针 0 0 180 基础梳理 2 直线的斜率已知两点p x1 y1 q x2 y2 如果x1 x2 那么直线pq的斜率为 当直线与x轴不垂直时 直线的斜率k与倾斜角 之间满足 k tan 2 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b ax by c 0 a2 b2 0 1 必修2p74练习2改编 已知a 0 两点a 1 a b 2 a2 点c 3 a3 在直线ab上 则a 基础达标 解析 由kab kbc 即 可得a a2 2a 1 0 即a 1 或a 0 又a 0 故a 1 2 若点a ab a b 在第一象限内 则直线bx ay ab 0不经过第 象限 三 解析 点a在第一象限内 ab 0且a b 0 即a 0 b 0 由bx ay ab 0 即y x b 0 与y轴的交点为 0 b 直线不过第三象限 3 已知经过a m 2 b m 2m 1 的直线的倾斜角为 且45 135 则实数m的取值范围是 解析 45 a 135 k 1或k 1 m 0 1或 1或m 0 解得0 m 或m 0或m 0 m的取值范围是 4 直线l过点p 4 3 且在x轴 y轴上的截距之比为1 2 则直线l的方程为 2x y 11 0 解析 因为直线l在x轴 y轴上的截距之比为1 2 所以设直线l的方程为 1 将点p 4 3 代入直线方程得a 所以直线l的方程为2x y 11 0 5 必修2p77习题2 1 1 第7题改编 经过点 1 2 且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程是 x y 3 0或x y 1 0 解析 由题意得该直线的斜率为1或 1 又它经过点 1 2 故可用点斜式写出该直线方程为x y 3 0或x y 1 0 例1 2010 江苏常州三模 已知点p在直线x 2y 1 0上 点q在直线x 2y 3 0上 pq中点为m x0 y0 且y0 x0 2 则的取值范围为 分析 求解本题的关键是正确理解表达式的意义 即表示点m与坐标原点o的连线的斜率 从而作出辅助图形 利用数形结合快速得解 经典例题 题型一直线的倾斜角和斜率 解如图 m x0 y0 一定在直线x 2y 1 0 图中为虚线 上 且在直线y x 2的左上方移动 由得到 所以点m的坐标 且纵坐标 因此 点m与坐标与原点o的连线的斜率的取值范围是 变式1 1已知两点a 2 3 b 3 0 过点p 1 2 的直线l与线段ab始终有公共点 则直线l的斜率k的取值范围是 解析 如图所示 直线pa的斜率k1 直线pb的斜率k2 当直线l由pa变化到与y轴平行的位置pc时 它的倾斜角由锐角 tan 5 增至90 斜率的变化范围是 5 当直线l由pc变化到pb位置时 它的倾斜角由90 增至 tan 斜率的变化范围是 所以直线斜率的取值范围是 5 例2 已知直线在两坐标轴上的截距之和为2 且直线经过点 2 3 求此直线的方程 分析 本题所求直线方程宜采用截距式或点斜式 再利用待定系数法求出相关的字母的值 题型二求直线的方程 解 方法一 设直线方程为 直线经过点 2 3 且a b 2 整理得a2 3a 4 0 解得a1 4 a2 1 又由a b 2 得b1 6 b2 1 所以所求的直线方程为3x 2y 12 0或x y 1 0 方法二 设直线方程为 y 3 k x 2 它在x轴 y轴上的截距分别为 2k 3 于是 2k 3 2 整理得2k2 k 3 0 解得k1 k2 1 所以所求的直线方程为3x 2y 12 0或x y 1 0 变式2 1已知 abc的三个顶点是a 4 4 b 2 4 c 0 6 点d为ab的中点 求边ab所在的直线方程和中线cd的方程 解 因为ab x轴 所以ab的方程为y 4 0 又因为ab的中点坐标是d 1 4 所以cd的方程为 即10 x y 6 0 故ab所在的直线方程为y 4 0 中线cd的方程是10 x y 6 0 例3 为了绿化城市 拟在区域abcd内建一个矩形草坪 如图 另外 efa内部有一文物保护区不能占用 经测量ab 100m bc 80m ae 30m af 20m 应如何设计才能使草坪面积最大 题型三应用问题 解 如图所示建立直角坐标系 则e 30 0 f 0 20 线段ef的方程为 0 x 30 在线段ef上取点p m n 作pq bc于点q pr cd于点r 设矩形pqcr的面积为s 则s pq pr 100 m 80 n 又 0 m 30 n 20 0 m 30 当m 5时 s有最大值 这时 5 1 当矩形草坪的两边在bc cd上 一个顶点在线段ef上 且这个顶点分ef成ep pf 5 1时 草坪面积最大 变式3 1美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边 在某镇北偏西60 且距该镇30km处有a村 在镇东北方向50km处有b村 要在公路旁修一车站c 从车站c向a b两村修公路 问 车站c修在公路的什么地方 可使费用最小 结果保留1位小数 解 以公路为x轴 该镇为原点建立平面直角坐标系 如图所示 则a b两点坐标分别为a 15 15 b 25 25 作a点关于x轴的对称点a 15 15 连接a b交x轴于c x轴是线段aa 的垂直平分线 ca ca ca cb ca cb a b 最短 由点斜式 得令y 0 得 x 9 15 15 9 7 7 车站应修在距该镇的正西方约7 7km处 例 求经过两直线7x 8y 38 0和3x 2y 0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程 错解1由得交点为 2 3 因为所求直线在两坐标轴上截距相等 故它的方程可设为又此直线经过交点 2 3 所以有 故a 5 故所求直线方程为x y 5 0 易错警示 错解分析1直线的截距方程 只适用于截距不为0的情形 因而上述解法忽略了截距为0的情形 解法不完整 正解1 1 当直线过原点时 设方程为y kx 直线过点 2 3 3 2k k 此时方程为3x 2y 0 2 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时 解法同错解1 故所求方程为x y 5 0 综上 所求方程为3x 2y 0或x y 5 0 错解2设所求直线方程为7x 8y 38 3x 2y 0 为常数 则 7 3 x 8 2 y 38 0 令x 0 得y 令y 0 x 依题意 解得 直线方程为x y 5 0 错解分析27x 8y 38 3x 2y 0表示过直线7x 8y 38 0与直线3x 2y 0的交点 除3x 2y 0以外 的所有直线 因此 要检验直线3x 2y 0是否适合 正解2 1 显然直线3x 2y 0符合题意 2 设所求直线方程为7x 8y 38 3x 2y 0 解法同错解2 求得方程为x y 5 0 故所求方程为3x 2y