【绿色通道】高考数学总复习 211导数的应用课件 新人教A版.ppt

1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果 那么函数y f x 在这个区间上是常数函数 f x 0 f x 0 f x 0 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则a点叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则b点叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 和统称为极值 f x 0 都大 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值与导数函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 连续不断 4 生活中的优化问题解决优化问题的基本思想是 答案 b 2 设f x x ax2 bx c a 0 在x 1和x 1处均有极值 则下列点中一定在x轴上的是 a a b b a c c b c d a b c 解析 f x 3ax2 2bx c 由题意知1 1是方程3ax2 2bx c 0的两根 1 1 b 0故选a 答案 a 3 函数y 3x2 6lnx的单调增区间为 单调减区间为 答案 1 0 1 4 若函数f x x asinx在r上递增 则实数a的取值范围为 解析 f x 1 acosx 要使函数f x x asinx在r上递增 则1 acosx 0对任意实数x都成立 1 cosx 1 当a 0时 a acosx a a 1 0 a 1 当a 0时适合 当a 0时a acosx a a 1 1 a 0 综上 1 a 1 答案 1 1 5 已知函数f x x2 2lnx 求函数f x 的单调区间和极值 由表可知 函数f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 极小值是f 1 1 无极大值 例1 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 2 由 1 知a 3 因此f x x3 3x2 9x 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 3 上为增函数 由此可见 函数f x 的单调递增区间为 1 和 3 单调递减区间为 1 3 判断函数单调性时 先要明确函数的定义域 然后对函数求导 再解不等式f x 0 f x 0的解对应的区间就是函数的单调增区间 f x 0的解对应的区间就是函数的单调减区间 这种方法只对可导函数适用 变式迁移1已知函数y f x y g x 的导函数的图象如右图 那么y f x y g x 的图象可能是下图中 解析 由题意知函数f x g x 都为增函数 当xg x 即f x 的增长速度大于g x 的增长速率 当x x0时 f x g x g x 的增长速度大于f x 的增长速度 数形结合 选d 答案 d 例2 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 思路分析 1 由f x 过点 1 6 及g x 图象关于y轴对称可求m n 由f x 0及f x 0可求单调递增和递减区间 2 先求出函数y f x 的极值点 再根据极值点是否在区间 a 1 a 1 内讨论 解 1 由函数f x 图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 图象关于y轴对称 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 变式迁移2设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并求相应极值 2 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解 1 函数f x 的定义域为 因为f x x ex ex xex x 1 ex 由f x x 1 ex 0得x0 则f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 不等式f x m 或 m 恒成立的问题可以转化为求函数f x 的最小 大 值问题 f x m恒成立 即m f x min f x m恒成立即f x max m 方程的根的个数问题可转化为函数的零点问题 变式迁移3设a 0 函数f x 1 讨论f x 的单调性 2 求f x 在区间 a 2a 上的最小值 例4 2009 湖北卷 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 思路分析 对 1 先设辅助未知数 再确定函数关系 对 2 先利用导数求出最优解 本题主要考查应用导数解决实际问题 考题的命制 将导数应用于工程的最优化问题的解决之中 可以说是一个很好的设计 不仅考查了学生对函数 导数等相关知识的掌握程度 还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力 变式迁移4 2008 广东高考 某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 因此当x 15时 f x 取最小值f 15 2000 所以 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为15层 1 用导数研究函数单调性时 求单调区间对区间的开闭没有很高的要求 提倡用开区间 但在解决已知单调区间求字母范围的问题中 对字母范围的要求很高 该开就开 该闭就闭 一般情况下不管单调区间是开还是闭 字母均能取等号 只要此时函数不是常数函数即可 2 可导函数的极值 1 极值是一个局部性概念 一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 3 函数的最值 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大