广东省六所名校2010届高三第三次联考(数学理).doc

广东省六所名校2010届高三第三次联考（数学理）本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟参考公式：锥体体积（其中是底面积，是高），球体体积（其中是半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图1，正方体中，异面直线与所成的角等于A B C D2要得到函数的图象，只要将函数的图象A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位3设，都是闭区间，则“直积”表示直角坐标平面上的A一条线段 B两条线段 C四条线段 D包含内部及边界的矩形区域4设，则导函数等于A B C D5函数在定义域内有A最大值 B最小值 C最大值 D最小值6公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为A1 B2 C3 D47已知向量满足，且，则等于A B C D78已知点所在的可行域如图2所示若要使目标函数取得最大值的最优解有无数多个，则的值为 A4 B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分把答案填在题中横线上9将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为 （用数字作答）10若的三个内角满足，则等于 11据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量（单位：比特数）与时间（单位：秒）的函数关系式分别是和显然，当时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大试根据上述事实提炼一个不等式是 12若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是 13如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为 （用表示）14给出下列四个命题：设R，则且的充要条件是且；任意的锐角三角形中，有成立；平面上个圆最多将平面分成个部分；空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流，把它们合成后，得到电流（1）求电流的最小正周期和频率；（2）设，求电流的最大值和最小值，并指出第一次达到最大值和最小值时的值16（本小题满分12分）如图4，正三棱柱中，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值17（本小题满分14分）已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积18（本小题满分14分）如图5，是的重心，、分别是边、上的动点，且、三点共线（1）设，将用、表示；（2）设，证明：是定值；（3）记与的面积分别为、求的取值范围19（本小题满分14分）已知数列的前项和，（1）求的通项公式；（2）设N+，集合，现在集合中随机取一个元素，记的概率为，求的表达式20（本小题满分14分）如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”（1）判断函数，是否是“平缓函数”；（2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且证明：对于任意的，都有成立（3）设、为实常数，若是区间上的“平缓函数”，试估计的取值范围（用表示，不必证明）参考答案本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DADBACBD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分把答案填在题中横线上9 240 10 120 1112 13 14 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流，把它们合成后，得到电流（1）求电流的最小正周期和频率；（2）设，求电流的最大值和最小值，并指出第一次达到最大值和最小值时的值解：（1）（法1） 2分，4分电流的最小正周期，频率 6分（法2） 2分 4分电流的最小正周期，频率6分（2）由（1）当，即，时，；当，即，时，9分而，第一次达到最大值时，；第一次达到最小值时，12分16（本小题满分12分）如图4，正三棱柱中，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值解：（1）正三棱柱中，将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），从而，折线的长最短，当且仅当、四点共线，、分别是、上的三等分点，其中2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）连结，取中点，中点，连结、由正三棱柱的性质，平面平面，而，平面，平面平面，平面4分又由（1）知，四边形是平行四边形，从而平面而平面，平面平面 8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面10分而平面，平面平面，即为在平面上的射影，从而是直线与平面所成的角12分在中，由余弦定理，即直线与平面所成角的余弦值为14分（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：，从而，10分设平面的一个法向量为，则，所以，即，解之，得，12分取，得， 从而，即直线与平面所成角的正弦值为，直线与平面所成角的余弦值为 14分17（本小题满分14分）已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积解：（1）由，得取，得，解之，得， 2分从而，列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是4分（2）由（1）知，；6分方程有且只有两个不等的实数根，等价于或 8分常数或 9分（3）由（2）知，或而，所以10分令，得，12分所求封闭图形的面积14分18（本小题满分14分）如图5，是的重心，、分别是边、上的动点，且、三点共线（1）设，将用、表示；（2）设，证明：是定值；（3）记与的面积分别为、求的取值范围解：（1）2分（2）一方面，由（1），得； 另一方面，是的重心， 4分而、不共线，由、，得6分解之，得，（定值） 8分（3）10分由点、的定义知，且时，；时，此时，均有 时，此时，均有以下证明：（法一）由（2）知，12分，的取值范围14分（法二），令，则，其中利用导数，容易得到，关于的函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增12分时，而或时，均有的取值范围14分注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值19（本小题满分14分）已知数列的前项和，（1）求的通项公式；（2）设N+，集合，现在集合中随机取一个元素，记的概率为，求的表达式解：（1）因为，所以两式相减，得，即，3分又，即，所以是首项为3，公比为3的等比数列从而的通项公式是，6分（2）设，当，时， ， 9分当，时， ，12分又集合含个元素，在集合中随机取一个元素，有的概率14分20（本小题满分14分）如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”（1）判断函数，是否是“平缓函数”；（2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且证明：对于任意的，都有成立（3）设、为实常数，若是