高中数学 11.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质精品课件同步导学 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 1 了解杨辉三角 并能由它解决简单的二项式系数问题 2 了解二项式系数的性质并能简单应用 3 掌握 赋值法 并会灵活应用 1 杨辉三角的特点 难点 2 二项式系数性质的应用 重点 3 赋值法 的应用 易错点 在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块 在它们中间留下一些通道 从上面的漏斗直通到下部的长方形框子 前面用一块玻璃挡住 把小弹子倒在漏斗里 它首先会通过中间的一个通道落到第二层 有几个通道就算第几层 的六棱柱上面 以后 再落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去 再以后 它又会落到下一层的三个通道之一里边去 依此类推 最终落到下边的长方形框子中 假设我们总共在木板上做了n 1层通道 在顶上的漏斗里一共放了cn0 cn1 cn2 cnr cnn 1 cnn 2n颗小弹子 让它们自由落下 落到下边n 1个长方形框子里 那么落在每个长方形框子内的弹子的数目 按照可能情形来计算 会是多少 提示 落到每个长方形框子内的弹子数依次为cn0 cn1 cn2 cnn 1 杨辉三角的特点 1 在同一行中每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数 2 在相邻的两行中 除1外的每一个数都等于它 肩上 两个数的 即cn 1r 相等 和 cnr 1 cnr 距离相等 2n 1 2 二项式系数的性质 2n 1 设 3 x n a0 a1x a2x2 anxn 若n 4 则a0 a1 a2 1 nan a 256b 136c 120d 16解析 在展开式中令x 1得a0 a1 a2 a3 a4 44 故选a 答案 a 答案 b 解析 二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n 而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等 故由题意和2n 1 1024 n 11 展开式共12项 中间项为第六项 第七项 其系数为c115 c116 462 答案 462 4 1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 解析 t6 cn5 2x 5 t7 cn6 2x 6 依题意有cn525 cn626 解得n 8 所以 1 2x 8的展开式中 二项式系数最大的项为t5 c84 2x 4 1120 x4 设第r 1项系数最大 解得5 r 6 因为r 0 1 2 8 所以r 5或r 6 故系数最大的项为t6 1792x5 t7 1792x6 如图 在 杨辉三角 中 斜线ab的上方 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列 1 2 3 3 6 4 10 5 记其前n项和为sn 求s19的值 由图知 数列中的首项是c22 第2项是c21 第3项是c32 第4项是c31 第17项是c102 第18项是c101 第19项是c112 题后感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路为 1 如图所示 满足 第n行首尾两数均为n 表中的递推关系类似杨辉三角 则第n行 n 2 的第2个数是 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 策略点睛 4 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 由 2 3 即可得其值为2187 根据已知条件可求出n 再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项 列出不等关系解不等式组 可求系数最大的项 规范解答 令x 1 则展开式中各项系数和为 1 3 n 22n 又展开式中二项式系数和为2n 22n 2n 992 n 5 2分 1 n 5 展开式共6项 二项式系数最大的项为第三 四两项 题后感悟 1 求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式的方法求得 3 1 求 1 2x 7展开式中系数最大的项 2 求 1 2x 7展开式中系数最大的项 1 关于 杨辉三角 有关问题的解法与规律拓展 1 一般方法解决与 杨辉三角 有关问题的一般方法是 观察 分析 试验 猜想结论 证明 要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律 依靠观察能力 注意观察方法 横看 竖看 斜看 连续看 隔行看 从多角度观察 2 规律拓展 杨辉三角的第2n 1行各个数都是奇数 如图 1 第n条横线与第n 1条横线数字之和等于第n 2条横线上数字之和 如图 2 每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下 脚 的数字 2 对二项式系数性质的深层理解 1 对称性 源于组合数的性质 cnm cnn m 基础是cn0 cnn 1 然后从左右向中间靠拢 便有cn1 cnn 1 cn2 cnn 2 2 最大值 当n是偶数时 a b n的展开式共n 1项 n 1是奇数 这时展开式的形式是 特别提醒 系数最大的项不一定是二项式系数最大的项 只有当二项式系数与各项系数相等时 二者才一致 3 各二项式系数和 cn0 cn1 cn2 cnn 2n源于 a b n cn0an cn1an 1b cnnbn中令a 1 b 1 即得到cn0 cn1 cn2 cnn 2n 此种方法称为赋值法 用于求二项展开式系数和或部分系数和 已知 2x 1 n二项展开式中 奇次项系数的和比偶次项系数和小38 求cn1 cn2 cn3 cnn的值 错解 设 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 则奇次项的系数和为a0 a2 a4 偶次项的系数和为a1 a3 a5 令x 1 得 a0 a2 a4 a1 a3 a5 3 n 由已知可得 3 n 38 3 8 n 8 cn1 cn2 cn3 cnn 28 错因 错解有两处错误 一是误把奇次项 偶次项看成是奇数项 偶数项 二是把cn1 cn2 cn3 cnn看成二项展开式各项二项式系数和 忽略了cn0 解答本题应认真审题 搞清已知条件以及所要求的结论 避免失误 正解 设 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 且奇次项的系数和为a 偶次项的系数和为b 则 a a1 a3 a5 b a0 a2 a4 a