内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《函数与方程》课件.ppt

第十四讲函数与方程 走进高考第一关考点关 回归教材1 函数的零点 1 对于函数y f x 使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程的根与函数零点的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c就是方程f x 0的根 2 用二分法求方程的近似解 1 二分法对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 求方程f x 0的近似解就是求函数f x 零点的近似值 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数f x 的零点 若f a f x1 0 则b x1 此时零点x0 a x1 若f x1 f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则函数零点的近似值为a 或b 否则重复第二步到第四步 用二分法求方程的近似解的计算量较大 因此往往借助计算器或计算机来完成 考点训练1 2009 广东模拟 关于x的方程mx2 2x 1 0至少有一个负根 则 a m 1b 0 m 1c m 1d 0 m 1或m 0 答案 a 2 下图的函数图象与x轴均有交点 但不宜用二分法求交点横坐标的是 答案 b 3 若函数f x ax b有一个零点为2 那么g x bx2 ax的零点是 答案 c 解析 由题意得2a b 0得b 2a 由bx2 ax 2ax2 ax ax 2x 1 0 得x 0或x 4 函数y lnx 6 2x的零点一定位于哪个区间 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 5 6 答案 b 解析 当x 2 3 lnx ln2 ln3 ln21 6 2x 0 2 当x 2时 y0 故x 2 3 解读高考第二关热点关 题型一求函数的零点例1求下列函数的零点 1 f x x3 2x2 x 2 2 f x x 3 解 1 由x3 2x2 x 2 0 得x2 x 2 x 2 0 即 x 1 x 1 x 2 0 得x 2或x 1或x 1 故函数f x 的零点是2 1 1 2 由x 3 0 得x2 3x 2 0 即 x 1 x 2 0 得x 1或x 2 函数f x 的零点为1 2 点评 求函数f x 的零点是通过转化求方程f x 0的根来实现的 变式1 函数f x x2 m2 2 x m在 1 1 上的零点的个数为 a 0b 1c 2d 不确定 答案 b 题型二方程根的个数问题例2 1 判断方程3x x2 0的负实数根的个数 2 已知定义域为r的偶函数f x 当x 0时 f x lnx ax a r 方程f x 0在r上恰有5个不同的实数解 求x 0时 函数f x 的解析式 求a的取值范围 解 1 设f x 3x x2 f 1 0 又 f x 的图象在 1 0 上是连续不断的 函数f x 在 1 0 内有零点 又 在 0 上 函数y 3x递增 y x2递 f x 在 0 上单调递增 故f x 在 1 0 内只有一个零点 即方程3x x2 0只有一个负实数根 2 设x0 f x 为偶函数 f x f x ln x ax f x 为偶函数 f x 0的根关于x 0对称 又f x 0恰有5个根 故有两正根两负根 分别互为相反数 一个零根 又当x 0时 f x a 当a 0时 f x lnx ax在 0 上单调递增 f x 0在 0 不可能有两个实根 当a 0时 令f x 0 x 当00 f x 单调递增 当x 时 f x 0 得0 a 由偶函数的对称性可知 当0 a 时 f x 在r上恰有5个不同的解 点评 方程的根或函数零点的存在性问题 可以依据区间端点处的函数值的正负来确定 但是要确定函数零点的个数还需进一步研究函数在这个区间上的单调性 在给定区间上如果是单调的 它至多有一个零点 如果不是单调的 可继续分出小的区间 再类似作出判断 如果y f x 在 a b 上的图象是连续不断的曲线 且x0是函数y f x 在 a b 上的一个零点 却不一定有f a f b 0 变式2 已知函数f x ax3 bx2 cx d的图象如图所示 则 a b 0 b b 0 1 c b 1 2 d b 2 答案 a 解析 由f 0 0得d 0 又 f 1 0 a b c 0 又f 1 0 a b c 0 得2b 0 即b 0 选a 题型三利用二分法求方程的近似解例3求方程2x3 3x 3 0的一个近似解 精确度0 1 解 设f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 30 所以函数在 0 1 内存在零点 即方程2x3 3x 3 0在 0 1 内有解 取 0 1 的中点0 5 经计算f 0 5 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 如此继续下去 得到方程的一个实数解所在的区间 如下表 至此 可以看出方程的根落在区间长度小于0 1的区间 0 6875 0 75 内 可以将区间端点0 6875作为函数f x 零点的近似值 因此0 7是方程2x3 3x 3 0精确到0 1的一个近似解 点评 用二分法求函数的零点时 最好是利用表格 将计算过程所得到各个区间 中点坐标 区间中点的函数值等置于表格中 可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程 有时也可利用数轴来表示这一过程 在确定方程近似解所在的区间时 转化为求方程对应函数的零点所在的区间 找出的区间 a b 长度尽可能小 且满足f a 5f b 0 求方程的近似解 所要求的精确度不同得到的结果也不同 精确度 是指在计算过程中得到某个区间 a b 后 直到 a b 时 可停止计算 其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数 结果不唯一 变式3 2009 江苏徐州测试题 关于方程3x x2 2x 1 0 下列说法正确的是 a 方程有两个不相等的负实根b 方程有两个不相等的正实根c 方程有一正实根 一零根d 方程有一负实根 一零根 答案 d 解析 令y1 3x y2 x2 2x 1 2 x 1 2 则方程的根即为两函数的交点的横坐标 在同一坐标系下 作出两函数的图象如下 观察图象可知方程一负实根 一零根 笑对高考第三关技巧关 1 函数f x 的零点就是方程f x 0的根 也就是函数的图象与x轴交点的横坐标 对于 判断二次函数f x 的零点个数 可转化为判断一元二次方程f x 0的实根个数 然后借助判别式 0 0 0来判断 对于二次函数在某个区间上零点的个数 要结合二次函数的图象 利用判别式 对称轴及区间端点处的函数值来判断 2 一元二次方程根的分布问题 此题型为方程的实根分布问题 解决此类问题一定要注意结合图象 从各个方面去考虑结论成立的所有条件 考虑的方面有 判别式 韦达定理 对称轴 函数值的大小 开口方向等 一元二次方程根的分布情况需满足的条件的常见情况 下面只讨论a 0的情况 a0的情况 典例若二次函数y x2 mx 1的图象与两端点为a 0 3 b 3 0 的线段ab有两个不同的交点 求m的取值范围 解 线段ab的方程为x y 3 0 x 3 由题意得方程组有两组实数解 代入 得x2 m 1 x 4 0 0 x 3 有两个实根 令f x x2 m 1 x 4 因此问题转化为二次函数f x x2 m 1 x 4在x 0 3 上有两个实根 故 解得3 m 故m的取值范围是 3 考向精测1 2009 福建 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对值不超过0 25 则f x 可以是 a f x 4x 1b f x x 1 2c f x ex 1d f x ln x 答案 a 解析 g 0 2 g 2 1 2 1 g x 的零点介于 0 之间 故选a 2 若方程2ax2 x 1 0在 0 1 内恰有一个解 则a 答案 1 解析 令f x 2ax2 x 1 由f 0 f 1 1 课时作业 十四 函数与方程 一 选择题 a 1b 0 2c 0 1 2d 0 1 答案 d 解析 由2x 2 0得x 1 由x2 2x 0 得x 0或x 2 由于此时x 1 故x 2舍去 故答案为d 2 2009 广东 函数f x lnx 的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 c 解析 在同一坐标下画出y lnx y 的图象 有两个交点 故函数f x 有两个零点 3 2009 宁夏石嘴山模拟 用二分法研究函数f x x5 8x3 1的零点时 第一次经过计算f 0 0 可知其中一个零点x0 第二次应计算 a 0 0 5 f 0 25 b 0 1 f 0 25 c 0 5 1 f 0 75 d 0 0 5 f 0 125 答案 a 解析 由二分法可知答案为a 4 2010 山东模拟 已知函数y f x 和y g x 的定义域及值域均为 a a 常数a 0 其图象如图所示 给出下列四个命题 1 函数y f g x 有且仅有6个零点 2 函数y g f x 有且仅有6个零点 3 函数y f f x 有且仅有9个零点 4 函数y g g x 有且仅有4个零点其中正确的命题是 a 1 2 3 4 b 1 2 4 c 2 3 d 1 4 答案 d 解析 由数形结合可知 5 a 0是方程ax2 2x 1 0至少有一个负数根的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 当a 0时 方程ax2 2x 1 0至少有一个负根 但当a 0时 方程也有一个负根 6 已知函数f x x2 2mx 2m 3的零点为x1 x2 则x12 x22的 a 7b 6c 2d 18 答案 c 解析 由 4m2 4 2m 3 0知m 3或m 1 又x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 4m2 4m 6 当m 1时 x12 x22取得最小值2 二 填空题7 2009 山东 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 答案 1 解析 函数f x 的零点个数就是函数y ax与y x a的交点个数 由函数的图象可知a 1时 两函数图象有两个交点 01 8 2009 江苏泰州模拟 若f x ax b 1 0 a 1 在 0 1 上有零点 则b 2a的最小值为 答案 2 答案 k 0或k 1或k 1 三 解答题10 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 4 f x x x 0 1 解 1 f 1 200 f 1 5f 8 0 f 1 5f 2 log22 1 0 f 3 log2 3 2 3 log28 3 0 f 1 5f 3 0 故f x log2 x 2 x在区间 1 3 上存在零点 4 画出f x x的图象如图所示 由图象可知 f x x在 0 1 内的图象与x轴没有交点 故f x x在区间 0 1 上不存在零点 11 已知函数f x 4x m 2x 1有且只有一个零点 求实数