最大公因数最小公倍数习题

公约数 公倍数问题 是指用求几个数的 最大 公约数或 最小 公倍数的方法来解答的 应用题 这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数 要通过对已知条件的仔细分析 才能发现解题方法 解答公约数或公倍数问题的关键是 从约数和倍数的意义入手来分析 把原题归结为求几个数的公约数问题 例如 1 有一个长方体的木头 长 3 25 米 宽 1 75 米 厚 0 75 米 如果把这块木头截成许多相 等的小立方体 并使每个小立方体尽可能大 小立方体的棱长及个数各是多少 解 根据题意 小立方体一条棱长应是长方体长 宽 厚各数的最大公约数 即 325 175 75 25 厘米 因为 325 25 13 175 25 7 75 25 3 所以 13 7 3 273 个 答 能分为小立方体 273 个 小立方体的每条棱长为 25 厘米 2 有一个两位数 除 50 余 2 除 63 余 3 除 73 余 1 求这个两位数是 多少 解 这个两位数除 50 余 2 则用他除 48 52 2 恰好整除 也就是说 这个两位数是 48 的约数 同理 这个两位数也是 60 72 的约数 所以 这个两位数只可能是 48 60 72 的 公约数 1 2 3 4 6 12 而满足条件的只有公约数 12 即 48 60 72 12 答 这个两位数是 12 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 几 个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数 应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题 叫做公约数与公倍数问题 解题的关键是 先求出几个数的最大公因数或最小公倍数 然后按题意解答要求的问题 三 考点分析 最大公因数和最小公倍数的性质 1 两个数分别除以它们的最大公因数 所得的商一定是互质数 2 两个数的最大公因数的因数 都是这两个数的公因数 3 两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 四 典型例题 例 1 有三根铁丝 一根长 18 米 一根长 24 米 一根长 30 米 现在要把它们截成同样长 的小段 每段最长可以有几米 一共可以截成多少段 分析与解 截成的小段一定是 18 24 30 的最大公因数 先求这三个数的最大公因数 再求一共可以 截成多少段 解答 18 24 30 6 18 24 30 6 12 段 答 每段最长可以有 6 米 一共可以截成 12 段 例 2 一张长方形纸 长 60 厘米 宽 36 厘米 要把它截成同样大小的长方形 并使它们的 面积尽可能大 截完后又正好没有剩余 正方形的边长可以是多少厘米 能截多少个正方形 分析与解 要使截成的正方形面积尽可能大 也就是说 正方形的边长要尽可能大 截完后又正好没有 剩余 这样正方形边长一定是 60 和 36 的最大公因数 解答 36 60 12 60 12 36 12 15 个 答 正方形的边长可以是 12 厘米 能截 15 个正方形 例 3 用 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做花束 若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同 白 玫瑰花的朵数也相同 最多可以做多少个花束 每个花束里至少要有几朵花 分析与解 要把 96 朵红玫瑰花和 72 朵白玫瑰花做成花束 每束花里的红白花朵数同样多 那么做成花 束的个数一定是 96 和 72 的公因数 又要求花束的个数要最多 所以花束的个数应是 96 和 72 的最大公因数 解答 1 最多可以做多少个花束 96 72 24 2 每个花束里有几朵红玫瑰花 96 24 4 朵 3 每个花束里有几朵白玫瑰花 72 24 3 朵 4 每个花束里最少有几朵花 4 3 7 朵 例 4 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方 第一路车每隔 5 分钟发车一次 第二路车每 隔 10 分钟发车一次 第三路车每隔 6 分钟发车一次 三路汽车在同一时间发车以后 最少 过多少分钟再同时发车 分析与解 这个时间一定是 5 的倍数 10 的倍数 6 的倍数 也就是说是 5 10 和 6 的公倍数 最少 多少时间 那么 一定是 5 10 6 的最小公倍数 解答 5 10 6 30 答 最少过 30 分钟再同时发车 例 5 某厂加工一种零件要经过三道工序 第一道工序每个工人每小时可完成 3 个 第二道 工序每个工人每小时可完成 12 个 第三道工序每个工人每小时可完成 5 个 要使流水线能 正常生产 各道工序每小时至少安排几个工人最合理 分析与解 安排每道工序人力时 应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数 这个零件个数 一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数 至少安排的人数 一定是每道工序每人 每小时完成零件个数的最小公倍数 解答 1 在相同的时间内 每道工序完成相等的零件个数至少是多少 3 12 5 60 2 第一道工序应安排多少人 60 3 20 人 3 第二道工序应安排多少人 60 12 5 人 4 第三道工序应安排多少人 60 5 12 人 例 6 有一批机器零件 每 12 个放一盒 就多出 11 个 每 18 个放一盒 就少 1 个 每 15 个放一盒 就有 7 盒各多 2 个 这些零件总数在 300 至 400 之间 这批零件共有多少个 分析与解 每 12 个放一盒 就多出 11 个 就是说 这批零件的个数被 12 除少 1 个 每 18 个放一盒 就少 1 个 就是说 这批零件的个数被 18 除少 1 每 15 个放一盒 就有 7 盒各多 2 个 多 了 2 7 14 个 应是少 1 个 也就是说 这批零件的个数被 15 除也少 1 个 解答 如果这批零件的个数增加 1 恰好是 12 18 和 15 的公倍数 1 刚好能 12 个 18 个或 15 个放一盒的零件最少是多少个 12 18 15 180 2 在 300 至 400 之间的 180 的倍数是多少 180 2 360 3 这批零件共有多少个 360 1 359 个 例 7 公路上一排电线杆 共 25 根 每相邻两根间的距离原来都是 45 米 现在要改成 60 米 可以有几根不需要移动 分析与解 不需要移动的电线杆 一定既是 45 的倍数又是 60 的倍数 要先求 45 和 60 的最小公倍数和 这条公路的全长 再求可以有几根不需要移动 解答 1 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动 45 60 180 米 2 公路全长多少米 45 25 1 1080 米 3 可以有几根不需要移动 1080 180 1 7 根 例 8 两个数的最大公因数是 4 最小公倍数是 252 其中一个数是 28 另一个数是多少 分析与解 根据 两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 先求出 4 与 252 的乘积 再用积去除以 28 即可 4 252 28 1008 28 36 模拟试题 1 24 的因数共有多少个 36 的因数共有多少个 24 和 36 的公因数是哪几个 其中最大的 一个是 2 一个长方形的面积是 323 平方厘米 这个长方形的长和宽各是多少厘米 长和宽都是 素数 3 两个自然数的乘积是 420 它们的最大公因数是 12 求它们的最小公倍数 4 两个自然数相乘的积是 960 它们的最大公因数是 8 这两个数各是多少 5 两个数的最小公倍数是 126 最大公因数是 6 已知两个数中的一个数是 18 求另一个 数 6 有一种长 51 厘米 宽 39 厘米的水泥板 用这种水泥板铺成一块正方形地 至少需要多 少块水泥板 7 有三根铁丝长度分别为 120 厘米 90 厘米 150 厘米 现在要把它们截成相等的小段 每根无剩余 每段最长多少厘米 一共可以截成多少段 8 有两个不同的自然数 它们的和是 48 它们的最大公因数是 6 求这两个数 9 同学们参加野餐活动准备了若干个碗 如果每人分得 3 个碗或 4 个碗或 5 个碗 都正好 分完 这些碗最少有多少个 10 有 A B 两个两位数 它们的最大公因数是 6 最小公倍数是 90 则 A B 两个自然数的 和是多少 试题答案 1 24 的因数共有多少个 36 的因数共有多少个 24 和 36 的公因数是哪几个 其中最大的 一个是 答 24 的因数共有 8 个 36 的因数共有 9 个 24 和 36 的公因数是 1 2 3 4 6 12 其 中最大的一个是 12 2 一个长方形的面积是 323 平方厘米 这个长方形的长和宽各是多少厘米 长和宽都是 素数 答 长方形的长是 19 厘米 宽是 17 厘米 3 两个自然数的乘积是 420 它们的最大公因数是 12 求它们的最小公倍数 答 它们的最小公倍数是 35 4 两个自然数相乘的积是 960 它们的最大公因数是 8 这两个数各是多少 答 这两个数分别是 24 和 40 5 两个数的最小公倍数是 126 最大公因数是 6 已知两个数中的一个数是 18 求另一个 数 答 另一个数是 42 6 有一种长 51 厘米 宽 39 厘米的水泥板 用这种水泥板铺成一块正方形地 至少需要多 少块水泥板 答 至少需要 221 块水泥板 7 有三根铁丝长度分别为 120 厘米 90 厘米 150 厘米 现在要把它们截成相等的小段 每根无剩余 每段最长多少厘米 一共可以截成多少段 答 每段最长 30 厘米 一共可以截成 12 段 8 有两个不同