高三数学第一轮复习 第4编 1向量的线性运算课件 新人教B版.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 返回目录 考向预测 主要考查向量的有关概念 运算法则 线线平行的条件和基本定理 以选择题和填空题出现的可能性较大 对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大 返回目录 返回目录 1 向量的基本概念 1 具有和的量称为向量 2 向量的表示方法 3 相等向量 且的有向线段表示 或相等向量 大小 方向 几何表示法字母表示法 同向等长 同一向量 返回目录 4 如果ab a 那么ab的长度 叫做a的 记作或 ab 5 长度为的向量 叫做零向量 记作 零向量的方向 6 与向量a同方向且长度等于的向量 叫做a的单位向量 若a的单位向量为a0 则a0与a的关系是a0 7 通过有向线段ab的直线 叫做向量ab的 8 如果向量的基线互相平行或重合 则称这些向量或 模 a 零 0 不确定 非零 1 基线 平行共线 返回目录 2 向量的运算 1 向量的加法 已知向量a b 在平面上任取一点a 作ab a bc b 再作向量ac 则向量ac叫做 记作 向量加法满足交换律 a b 结合律 a b c 向量加法可以使用法则 法则 即首尾相接 连首尾 2 向量的减法 相反向量 与a方向且的向量叫做a的相反向量 记作 a与b的和 或和向量 a b b a a b c 平行四边形 三角形 相反等长 a 返回目录 把两个向量的起点放在一起 则两向量的差是以的终点为起点 的终点为终点的向量 若共同起点是坐标原点 则差可简记为 向量减向量 如图 3 向量数乘实数 和向量a的乘积是个向量 记作 的长 a a a 0 的方向当 0时 与a同方向当 0时 与a反方向 当 0或a 0时 0a 0或 0 0 如图 减向量 被减向量 终点 起点 一 a a a a中的实数 叫做 向量数乘的几何意义就是 实数与向量的积的运算律 设 r a b是向量 则 a a a b 提醒 1 两个向量的和仍是向量 2 实数与向量不能进行加减法运算 如 a无法运算 返回目录 向量a的系数 把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小 a a a a b 返回目录 3 向量共线的条件平行向量基本定理 如果 则a b 反之 如果a b 且b 0 则一定存在唯一一个实数 使 ba b a 下列命题中 有向线段就是向量 向量就是有向线段 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 向量ab与向量cd共线 则a b c d四点共线 如果a b b c 那么a c 正确的个数为 a 1b 2c 3d 0 考点1向量的有关概念 返回目录 分析 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题只要举出一个反例即可 解析 不正确 向量可以用有向线段表示 但向量不是有向线段 不正确 若a与b中有一个为零向量时 零向量的方向是不确定的 故两向量方向不一定相同或相反 不正确 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 不正确 如b 0时 则a与c不一定共线 故应选d 返回目录 1 向量是区别于数量的一种量 既有大小 又有方向 任意两个向量不能比较大小 只可以判断它们是否相等 但它们的模可以比较大小 2 由向量相等的定义可知 对于一个向量 只要不改变它的大小和方向 它是可以任意平行移动的 因此用有向线段表示向量时 可以任意选取有向线段的起点 由此也可得到 任意一组平行向量都可以移到同一条直线上 返回目录 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 若向量a与b同向 且 a b 则a b 2 若向量 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 3 对于任意向量 a b 且a与b的方向相同 则a b 4 由于0方向不确定 故0不能与任意向量平行 5 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 返回目录 解析 1 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 故 1 不正确 2 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 3 正确 a b 且a与b同向 由两向量相等的条件可得a b 4 不正确 由零向量性质可得0与任一向量平行 可知 4 不正确 5 正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可以任意平行移动的 返回目录 分析 利用角平分线的性质可解出ad与db的关系 再利用向量的线性运算求解 考点2向量的线性表示 返回目录 返回目录 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是 观察各向量的位置 寻找相应的三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果 返回目录 如图4 1 2 以向量oa a ob b为边作 oadb bm bc cn cd 用a b表示om on mn 返回目录 ba oa ob a b bm ba a b om ob bm b a b a b 又od a b on oc cd od od od a b mn on om a b a b a b 即有om a b on a b mn a b 返回目录 设两个非零向量a与b不共线 1 若ab a b bc 2a 8b cd 3 a b 求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 分析 解决点共线或向量共线问题 就要根据两向量共线的条件a b b 0 考点3向量的共线问题 返回目录 解析 1 证明 ab a b bc 2a 8b cd 3 a b bd bc cd 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5ab ab bd共线 又 它们有公共点b a b d三点共线 2 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 返回目录 1 由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数 使两向量能互相表示 2 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 3 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 返回目录 设两个非零向量e1和e2不共线 1 如果ab e1 e2 bc 3e1 2e2 cd 8e1 2e2 求证 a c d三点共线 2 如果ab e1 e2 bc 2e1 3e2 cd 2e1 ke2 且a c d三点共线 求k的值 返回目录 1 ab e1 e2 bc 3e1 2e2 cd 8e1 2e2 ac ab bc 4e1 e2 8e1 2e2 cd ac与cd共线 又 ac与cd有公共点c a c d三点共线 2 ac ab bc e1 e2 2e1 3e2 3e1 2e2 a c d三点共线 ac与cd共线 从而存在实数 使得ac cd 即3e1 2e2 2e1 ke2 由平面向量基本定理 得3 2 2 k 解得 k 返回目录 如图4 1 3所示 在 abo中 oc oa od ob ad与bc相交于点m 设oa a ob b 试用a和b表示向量om 分析 从题设及图中可以看出 直接寻找om与a b之间的关系是很难行得通的 因此可先设om ma nb 利用共线向量的知识及待定系数法求出m n即可 考点4向量知识的综合应用 返回目录 解析 设om ma nb 则am om oa ma nb a m 1 a nb ad od oa ob oa a b 又 a m d三点共线 am与ad共线 存在实数t 使得am tad 即 m 1 a nb t a b m 1 a nb ta tb m 1 tn 消去t得m 1 2n 返回目录 即m 2n 1 又 cm om oc ma nb a m a nb cb ob oc b a a b 又 c m b三点共线 cm与cb共线 存在实数t1 使得cm t1cb m a nb t1 a b m t1n t1 消去t1得4m n 1 由 得m n om a b 返回目录 在求一个向量用另外两个向量线性表示时 一般有以下几种方法 1 根据图形 由加减法的定义 可直接得出结论 2 如果不易找出它们间的关系 可先设该向量可用另外两个向量来线性表示 再利用共线向量定理 用待定系数法求出它们的系数 即可得出结论 返回目录 由 可得ap o是平面上一定点 a b c是平面上不共线的三个点 动点p满足 0 则p点的轨迹一定通过 abc的 a 外心b 内心c 重心d 垂心 b 如图 作向量ap 由向量加法知op oa ap 由已知可得 b 返回目录 式中都是单位向量 以这两个向量为一组邻边作ab1p1c1 这时 ab1