高考数学一轮总复习名师精讲 第44讲空间距离课件.ppt

第四十四讲 第四十五讲 文 空间距离 回归课本1 七种常见的空间中的距离 1 两点间的距离 连结两点的线段的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 点和垂足间的长度 3 点到平面的距离 从点向平面引垂线 点和垂足间的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线 点和垂足间的长度 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度 6 直线平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从直线上任意一点向平面引垂线 点和垂足间的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度 2 求距离的常用方法与一般步骤 1 求距离的常用方法 直接法 即寻找或作出与该距离相对应的垂线段 此法的关键是确定垂足的位置 然后借助于直角三角形求解 等体积法 把所求的距离转化为三棱锥的高 再通过变换三棱锥的顶点 由同一棱锥的体积是不变的 求出相应的距离 2 求距离的一般步骤 一作 即先作出表示距离的线段 要符合作图规则 避免随意性 二证 即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段 证明要符合逻辑且推理正确 三计算 即将所求线段放置在三角形中 解三角形求取或利用等积法求取 考点陪练1 已知平面 平面 直线m 直线n 点a m 点b n 记点a b之间的距离为a 点a到直线n的距离为b 直线m和n的距离为c 则 a b c ab a c bc c a bd c b a 解析 答案 d 答案 b 解析 b1c1 bc 且b1c1 平面a1bcd1 bc 平面a1bcd1 b1c1 平面a1bcd1 答案 c 解析 设e f分别是nq及mp的中点 由于等腰三角形底边上的中线必垂直于底边 有me nq pe nq 故nq 平面mep 于是nq ef 另外 em ep ef mp 这样 ef就是mp与nq的公垂线段 答案 b 答案 d 类型一点到直线的距离解题准备 求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线 在垂足的位置不容易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理 先作出较容易的垂线 再进行证明即可 典例1 如图 已知四边形abcd是正方形 pd 平面abcd 若ab a pd a 求 1 p到正方形各顶点的距离 2 p到正方形各边的距离 3 p到两条对角线的距离 点评 1 求点到点的距离及点到直线的距离 关键是找到这个距离 两点间的距离较容易求 点到直线的距离则往往需要利用三垂线定理或其逆定理 2 求点a到直线l的距离时 一般有两种情形 能直接找到垂线段时 在某个三角形中求出它的长 当没有现成的垂线段时 一般地 可以过点a作直线l所在平面的垂线 过垂足m作直线l的垂线 得另一垂足n 连结an 由三垂线定理可得an l 则an的长就是点a到直线l的距离 探究1 菱形abcd中 bad 60 ab 10cm pa 平面abcd 且pa 5cm 求 1 点p到cd的距离 2 点p到bd的距离 3 点p到ad的距离 2 连结ac bd 交点为o ac bd po bd 线段po之长就是点p到bd的距离 易得po 10cm 3 pa 平面abcd ad 平面abcd pa ad 故线段pa之长就是点p到ad的距离 pa 5cm 点评 求点到直线的距离 除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外 三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法 类型二点到平面的距离解题准备 求点到平面的距离其方法有三种 1 用定义 直接作出这段距离 经论证再计算 2 用二面角的平面角性质 平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面 先作 点 所在平面与另一边所在平面组成的二面角 过 点 作平面角另一边的垂线 此垂线段长即为此 点 到 平面 的距离 3 转化为锥体的高 用三棱锥体积公式求点到平面的距离 典例2 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab1 bc1 ab cc1 a bc b 1 设e f分别为ab1 bc1的中点 求证 ef 平面abc 2 求证 a1c1 ab 3 求b1到平面abc1的距离 分析 1 线线平行或面面平行 线面平行 2 线面垂直 线线垂直 3 求垂线段长或用等积法 2 证明 连结a1b 三棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 aa1 ab 又ab cc1 aa1 abb1a1是正方形 从而ab1 a1b ab1 bc1 ab1 平面a1bc1 a1c1 ab1 而a1c1 aa1 a1c1 平面abb1a1 又ab 平面abb1a1 a1c1 ab 误区指津 求点到平面的距离 不能忽视运用两个平面垂直的判定定理及性质定理确定垂足位置 转化为平面几何中求点到直线的距离问题 如果垂足的位置不容易确定 可考虑用等积法 探究2 如图所示 已知三棱柱a1b1c1 abc的底面是边长为2的正三角形 侧棱a1a与ab ac均成45 角 且a1e b1b于e a1f cc1于f 1 求证 平面a1ef 平面b1bcc1 2 求点a1到平面b1bcc1的距离 3 当aa1多长时 点a1到平面abc与到平面b1bcc1的距离相等 解析 1 证明 由棱柱性质a1a b1b c1c 又a1e bb1 a1f cc1 aa1 平面a1ef 类型三线到平面 面到面的距离解题准备 1 求线面距离常用的方法如图 若a 作a的垂面 设垂足为a 找出 和 的交线l 则点a到直线l的距离就等于a和平面 的距离 2 求平行平面距离常用的方法 1 直接利用定义求证 或连 或作 某线段为距离 然后通过解三角形计算之 2 把面面平行距离转化为线面平行距离 再转化为线线平行距离 最后转化为点线 面 距离 通过解三角形或体积法求解之 典例3 在棱长为1的正方体abcd a b c d 中 1 求点a到平面bd 的距离 2 求点a 到平面ab d 的距离 3 求平面ab d 与平面bc d的距离 4 求直线ab与平面cda b 的距离 点评 1 求距离的一般步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它就是要求的距离 然后再计算 其中第二步的证明易被忽视 应引起重视 2 求距离问题体现了化归与转化的思想 一般情况下需要转化为解三角形 探究3 如图 在棱长为2的正方体ac1中 g是aa1的中点 求bd与平面gb1d1的距离 分析 线到面的距离转化为点到面的距离 解析 解法一 bd 平面b1d1g bd上任意一点到平面b1d1g的距离皆为所求 故可求底面中心