高中数学直线与圆、圆与圆的位置关

直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 一 学习要点 一 学习要点 1 有关直线和圆的位置关系 一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定 2 当直线和圆相切时 求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径 求切线长一般 要用切线 半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形 与圆相交时 弦长的计算也要用弦 心距 半径及弦长的一半构成的直角三角形 3 有关圆的问题 注意圆心 半径及平面几何知识的应用 4 在确定点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系时 经常要用到距离 因此 两点间的 距离公式 点到直线的距离公式等应熟练掌握 灵活运用 二 例题分析 二 例题分析 1 设直线过点 其斜率为 1 且与圆相切 则的值为 0 a2 22 yxa 2 若直线始终平分圆的周长 则 0 0 022 babyax0142 22 yxyx 的最小值为 ba 11 3 圆与圆的位置关系是 0424 22 yxyx0266 22 yxyx 4 若圆 x 3 2 y 5 2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1 则半径 r 的范围是 5 设为圆上的动点 则点到直线的距离的最小值为 P 22 1xy P34100 xy 6 已知圆和直线 若圆与直线 没有公共 0 5 222 rryxC053 yxlCl 点 则的取值范围是 r 7 设直线与圆相交于 两点 且弦 的长为30axy 22 1 2 4xy ABAB 则 2 3a 8 过点 1 的直线 l 将圆 x 2 2 y2 4 分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直 2 线 l 的斜率 k 9 已知圆 1 求圆心的坐标及半径的大小 C0342 22 yxyxCr 2 若不过原点的直线 与圆相切 且在轴 轴上的截距相等 求直线 的方程 lCxyl 3 从圆外一点向圆引一条切线 切点为 为坐标原点 且 C yxPMO OPMP 求点的轨迹方程 P 10 已知直线与圆交于两点 为坐标原点 求mxy 02168 22 yxyxQP O 的值 OQOP 11 已知实数 x y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值和最小值 2 y x 的最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 x y 12 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1 l和 2 l 它们分别与 圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试 求所有满足条件的点 P 的坐标 四 直线与圆 圆与圆的位置关系参考答案 四 直线与圆 圆与圆的位置关系参考答案 三 例题分析 三 例题分析 二 填空题 11 1 12 0 13 0 14 k 10a 2 2 11 解析 圆心 0 0 到直线 3x 4y 10 0 的距离 d 2 5 10 再由 d r 2 1 1 知最小距离为 1 答案 1 12 解 由题意知 圆心 5 0 到直线 l 3x y 5 0 的距离 d 必须大于圆的半径 r 因为 d 所以 0 r 从而应填 0 10 13 50 5 3 22 1010 13 解析 设直线与圆相交于 两点 且弦30axy 22 1 2 4xy AB 的长为 则圆心 1 2 到直线的距离等于 1 0 AB2 3 2 23 1 1 a a a 14 数形结合 由图形可知点 A在圆的内部 圆心为 O 2 0 要使得 1 2 22 2 4xy 劣弧所对的圆心角最小 只能是直线 所以lOA 112 22 l OA k k 三 解答题 15 解 1 直线 AB 的方程是 则圆心到直线的距离是01 yx 0 0 O 2 2 d 由勾股定理15 2 1 822 22 drAB 2 当弦 AB 被点 P 平分时 有 则ABOP 2 11 OP AB k k 由直线方程的点斜式 可得直线 AB 的方程为 052 yx 16 解 1 圆的方程可化为 则圆心坐标为 半径2 2 1 22 yx 2 1 C 2 r 2 依题意 可设直线 的方程为 则由 l 0 kkyx2 2 21 k 得或 即直线 的方程为或3 k1 kl03 yx01 yx 3 因为与圆相切 切点为 则有 又PMCM 222 PCMCPM OPMP 故 即 222 PCMCOP 2222 2 1 2 yxyx 化简得 这就是点的轨迹方程0342 yxP 17 解 设 由 2211 mxxQmxxP 02168 22 yxyx mxy 得 则021 68 1 22 xmxm 2 21 2 21 1 21 1 86 m xx m m xx 故 即21 1 21 2 21 2 21 xxmxxmxxOQOP21 OQOP 18 解析 本小题主要考查直线与圆的方程 点到直线的距离公式 考查数学运算求解能力 综合分析问题的能力 满分 16 分 1 设直线l的方程为 4 yk x 即40kxyk 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4 1 2 d 结合点到直线距离公式 得 2 31 4 1 1 kk k 化简得 2 7 2470 0 24 kkkor k 求直线l的方程为 0y 或 7 4 24 yx 即0y 或724280 xy 2 设点 P 坐标为 m n 直线 1 l 2 l的方程分别为 w w w k s 5 u c o m 1 ynk xmynxm k 即 11 0 0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 两圆半径相等 由垂径定 理 得 圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等 故有 2 2 41 5 31 1 1 1 nm knkm kk k k 化简得 2 3 8 5mn kmnmnkmn 或 关于k的方程有无穷多解 有 20 30 mn mn m n 8 0 或 m n 5 0 w w w k s 5 u c o m 解之得 点 P 坐标为 3 13 2 2 或 51 22 19 解 1 方程 x2 y2 4x 1 0 表示以点 2 0 为圆心 以为半径的圆 3 设 k 即 y kx 由圆心 2 0 到 y kx 的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最 x y 大 最小值 由 解得 k2 3 所以 kmax kmin 1 02 2 k k 333 也可由平面几何知识 有 OC 2 OP POC 60 直线 OP 的倾斜角为 60 直3 线 OP 的倾斜角为 120 解之 2 设 y x b 则 y x b 仅当直线