高考数学(理)压轴集锦——导数及其应用.doc

高考数学（理）压轴集锦导数及其应用1（2016河东区一模）已知函数f（x）=lnxax2bx（）当a=1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f（x0）02（2016湖南模拟）已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2，3（2016新余校级一模）设函数f（x）=ax（）若a=0，求f（x）的单调增区间；（）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）4（2016北海一模）已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（）当a=1且kz时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值5（2016石嘴山校级一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y2=0（）求y=f（x）的单调区间；（）若任意实数x，1，使得对任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围6（2016太原校级模拟）设函数f（x）=xmlnx（）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围7（2016衡阳一模）已知函数（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）k（x+2）+2若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围8（2016成都模拟）已知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围9（2016淮北一模）对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数； 当f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数f（x）的“Z区间”对于函数f（x）=（a0）（） 若a=1，求函数f（x）在（e，1e）处的切线方程；（） 若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围10（2016银川校级二模）设函数f（x）=x2mlnx，g（x）=x2（m+1）x，m0（）求函数f（x）的单调区间；（）当m1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数11（2016荆州一模）已知函数f（x）满足对于任意x0，都有f（x）+2f（）=logax+（a0，a1）（）求f（x）的极值；（）设f（x）的导函数为f（x），试比较f（x）与f（x）的大小，并说明理由12（2016上饶一模）若f（x）=其中aR（）当a=2时，求函数y（x）在区间e，e2上的最大值；（）当a0，时，若x1，+），f（x）a恒成立，求a的取值范围13（2016广西一模）设函数f（x）=x3+ax2+bx（x0）的图象与x轴相切于M（3，0）（）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（）是否存在两个不等正数s，t（xt），当xs，t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是s，t，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由14（2016平度市一模）已知函数，（）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（）若p2p0，且至少存在一点x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数p的取值范围15（2016安徽校级一模）已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（）求f（x）的单调区间；（）若kZ，且f（x1）+xk（1）对任意x1恒成立，求k的最大值；（）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e1x02成立？请说明理由16（2016山东三模）已知函数f（x）=（x0）（）试判断函数f（x）在（0，+）上单调性并证明你的结论；（）若f（x）恒成立，求整数k的最大值；（）求证：（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n317（2016湖南模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（其中a0）（）求函数f（x）=f1（x）f2（x）的极值；（）若函数g（x）=f1（x）f2（x）+（a1）x在区间（，e）内有两个零点，求正实数a取值范围；（）求证：当x0时，lnx+0（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828）18（2016通辽一模）已知函数f（x）=（a0）（）若a，且曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为，求函数f（x）的单调区间；（）求证：当x1时，f（x）19（2016鹰潭校级模拟）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（2016红桥区一模）设函数f（x）=ax2lnx（aR）（）若f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为，求a的值；（）当a0时，求f（x）的单调区间；（）若g（x）=axex，求证：在x0时，f（x）g（x）21（2016天津一模）已知函数f（x）=lnx（）若曲线g（x）=f（x）+在x=2处的切线与直线x+4y=0平行，求a的值；（）求证：函数（x）=f（x）在（0，+）上为单调增函数；（）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于A、B两点，点M（x0，y0）为线段AB的中点，求证：kx0122（2016南昌校级二模）已知函数f（x）=a（x1）（exa）（常数aR且a0）（）证明：当a0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0f（x1）且0f（x2）23（2016岳阳校级一模）已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aR（）若函数F（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（）设an=sin，求证：ln224（2016吉林三模）设，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2x+y+1=0垂直（）求a的值；（）若x1，+），f（x）m（x1）恒成立，求m的范围（）求证：25（2016汕头模拟）已知函数f（x）=lnx（1+a）x2x（）讨论 函数f（x）的单调性；（）当a1时，证明：对任意的x（0，+），有f（x）（1+a）x2a+126（2016遂宁模拟）已知函数f（x）=mexx1（其中e为自然对数的数）（）若曲线y=f（x）过点P（0，1），求曲线y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程（）若f（x）的两个零点为x1，x2且x1x2，求y=（ee）（m）的值域（）若f（x）0恒成立，试比较em1与me1的大小，并说明理由27（2016太原校级二模）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=x1（）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（）是否存在kZ，使得kxf（x）+2对任意x0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由28（2016眉山模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828（）若函数（x）=f（x），求函数（x）的单调区间；（）若x0，g（x）kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切29（2016佛山模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nN*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围30（2016日照一模）已知函数（）记函数，求函数F（x）的最大值；（）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合高考数学（理）压轴集锦导数及其应用参考答案与试题解析1（2016河东区一模）已知函数f（x）=lnxax2bx（I）当a=1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f（x0）0【考点】函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用菁【专题】计算题；综合题；转化思想【分析】（I）将f（x）在（0，+）上递增，转化成f（x）0对x（0，+）恒成立，即b+2x对x（0，+）恒成立，只需b即可，根据基本不等式可求出 ；（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论【解答】解：（）依题意：f（x）=lnx+x2bxf（x）在（0，+）上递增，f（x）=+2xb0对x（0，+）恒成立即b+2x对x（0，+）恒成立，只需bx0，+2x2 当且仅当x=时取“=”，b2 ，b的取值范围为（，2 ；（II）证明：由已知得，即，两式相减，得：，由f（x）=2axb及2x0=x1+x2，得f（x0）=2ax0b=，令t=（0，1），且（t）=，（t）=，（t）是（0，1）上的减函数，（t）（1）=0，又x1x2，f（x0）0【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题2（2016湖南模拟）已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】（I）利用导数的运算法则可得f（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）利用此结论即可证明【解答】解：（）求导得f（x）=，x0若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；若a0，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递减（）由（）知，若a0，f（x）在（0，+）上递增，又f（1）=0，故f（x）0不恒成立若a2，当x（，1）时，f（x）递减，f（x）f（1）=0，不合题意若0a2，当x（1，）时，f（x）递增，f（x）f（1）=0，不合题意若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，f（x）f（1）=0，合题意故a=2，且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）当0x1x2时，f（x2）f（x1）=2ln2（x2x1）2（1）2（x2x1）=2（1）（x2x1），2（1）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键.3（2016新余校级一模）设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】（1）求f（x）=的定义域，再求导f（x）=b，从而讨论确定函数的单调性；（2）当b=1时，f（x）=ax，f（x）=a，从而可得当x2=e2时，f（x2）+a有最大值，从而只需使存在x1e，e2，使f（x1）0，从而可得a，从而解得【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=的定义域为（0，1）（1，+），f（x）=b，当b0时，x（e，+）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（e，+）；当b0时，x（0，1）（1，e）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（0，1），（1，e）；（2）当b=1时，f（x）=ax，f（x）=a，故f（x2）+a=（）2+，故当x2=e2时，f（x2）+a有最大值，故只需使存在x1e，e2，使f（x1），故ax1，即a，令g（x）=，g（x）=；故g（x）=在e，e2上是减函数，g（e）=1，g（e2）=；故只需使a；故实数a的最小值为【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的化简与应用4（2016北海一模）已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）若函数f（x）在区间e，+）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且kz时，不等式k（x1）f（x）在x（1，+）上恒成立，求k的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】（1）易求f（x）=a+1+lnx，依题意知，当xe时，a+1+lnx0恒成立，即xe时，a（1lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x1恒成立，令则，再令h（x）=xlnx2（x1），易知h（x）在（1，+）上单增，从而可求得g（x）min=x0（3，4），而kz，从而可得k的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间e，+）上为增函数，当xe时，a+1+lnx0恒成立，a（1lnx）max=1lne=2，即a的取值范围为2，+）；（2）当x1时，x10，故不等式k（x1）f（x）k，即对任意x1恒成立令则，令h（x）=xlnx2（x1），则在（1，+）上单增h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即当1xx0时，h（x）0，即g（x）0，当xx0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，=x0（3，4），kg（x）min=x0且kZ，即kmax=3【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题5（2016石嘴山校级一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y2=0（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x，1，使得对任意的t，2上恒有f（x）t3t22at+2成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】（1）利用导数的几何意义，求出函数的解析式，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）可知，f（x）在，1上单调递减，f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2at2t+对任意的t，2恒成立，令g（t）=t2t+，利用导数求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得结论【解答】解：（1）f（x）=+nlnx定义域为（0，+），f（x）=+，f（1）=+n=1，把x=1代入x+y2=0可得y=1，f（1）=1，m=2，n=，f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的递减区间是（0，+），无递增区间（2）由（1）可知，f（x）在，1上单调递减，f（x）在，1上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2at2t+对任意的t，2恒成立，令g（t）=t2t+则g（t）=2t1=，t，2，2t3t21=（t1）（2t2+t+1），在t，1上g（t）单调递减，在1，2上g（t）单调递增，又g（）=，g（2）=，g（t）在，2上的最大值是，只需2a，即a，实数a的取值范围是，+）【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于难题6（2016太原校级模拟）设函数f（x）=xmlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成立，求m的范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）f（x）=1+=，转化为x2mx+10，在x0时恒成立，根据对钩函数求解即可（2）根据导数判断单调性得出f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1，把问题转化为f（x）的最大值h（x）的最小值，求解即可【解答】解：函数f（x）=xmlnx（1）定义域上为（0，+），f（x）=1+=，函数f（x）在定义域上为增函数，x2mx+10，在x0时恒成立即xm在x0时恒成立，根据对钩函数得出m2，故m的范围为：m2（2）函数h（x）=xlnx，x1，x21，e使得f（x1）h（x2）成，即f（x）的最大值h（x）的最小值，f（x）的最大值=f（e）=em，h（x）=10，x1，e，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1，可以转化为em1，即me1，m的范围为：me1【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题7（2016衡阳一模）已知函数（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）k（x+2）+2若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（）求出f（x）的导数，对a讨论，0a1，a=1，a1，判断单调性，即可得到所求递减区间；（）g（x）=x2xlnxk（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根令函数求出导数，判断单调性，即可得到所求范围【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）的导数为f（x）=ax+1+a=（a0），当a（0，1）时，由f（x）0，得或x1当x（0，1），时，f（x）单调递减f（x）的单调递减区间为（0，1），；当a=1时，恒有f（x）0，f（x）单调递减f（x）的单调递减区间为（0，+）；当a（1，+）时，由f（x）0，得x1或当，x（1，+）时，f（x）单调递减f（x）的单调递减区间为，（1，+）综上，当a（0，1）时，f（x）的单调递减区间为（0，1），；当a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+）；当a（1，+）时，f（x）的单调递减区间为，（1，+）（）g（x）=x2xlnxk（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根令函数则令函数则在上有p（x）0故p（x）在上单调递增p（1）=0，当时，有p（x）0即h（x）0h（x）单调递减；当x（1，+）时，有p（x）0即h（x）0，h（x）单调递增，h（1）=1，k的取值范围为【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数的方法，同时考查函数的零点的问题的解法，注意运用转化思想，属于中档题8（2016成都模拟）已知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用【分析】（）对f（x）进行求导，讨论a=1，a1.0a1，利用导数为负，求函数的减区间；（）要求存在区间，使f（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，将其转化为g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围【解答】解：（）当a0时，函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx的导数为f（x）=ax+1+a=，（x0），当a=1时，f（x）0，f（x）递减；当a1时，1，f（x）0，可得x1或0x；当0a1时，1，f（x）0，可得0x1或x综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+）；a1时，f（x）的减区间为（1，+），（0，）；0a1时，f（x）的减区间为（，+），（0，1）；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x2xlnx，令g（x）=2xlnx+1（x0），则g（x）=2=，（x0），当x时，g（x）0，g（x）为增函数；g（x）在区间m，n，+）递增，g（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，所以g（m）=k（m+2）2，g（n）=k（n+2）2，mn，则g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有两个不同的正根，k=，令F（x）=，求导得，F（x）=（x），令G（x）=x2+3x2lnx4（x）则G（x）=2x+3=，所以G（x）在，+）递增，G（）0，G（1）=0，当x，1时，G（x）0，F（x）0，当x1，+时，G（x）0，F（x）0，所以F（x）在，1）上递减，在（1，+）上递增，F（1）kF（），k（1，【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了分类讨论和转化的思想，此题是一道中档题9（2016淮北一模）对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数；当f（x）的定义域为m，n时，值域也是m，n，则称区间m，n是函数f（x）的“Z区间”对于函数f（x）=（a0）（） 若a=1，求函数f（x）在（e，1e）处的切线方程；（） 若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】综合题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用【分析】（） 若a=1，则f（x）=lnxx，f（x）=，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；（） 结合函数f（x）存在“Z区间”的定义，分类讨论满足条件的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案【解答】解：（）若a=1，x=e，则f（x）=lnxx，f（x）=，则切点坐标为（e，1e），切线斜率k=f（e）=1，函数f（x）在（e，1e）处的切线方程为y（1e）=（1）（xe），即（e1）x+ey=0（）f（x）=（a0）f（x）=（a0）列表如下x（，0）（0，a）a（a，+）f（x）0f（x）减增极大值减设函数f（x）存在“Z区间”是m，n，（1）当0mn时，由f（x）0得：0，解得0xa，即0xa时函数f（x）为增函数，当x=n时，取得最大值，当x=m时，取最小值，即，即方程alnxx=x有两个解，即方程a=有两个解，做出y=的图象，由图象以及函数的导数可知，当x1时，y=在x=e处取得最小值2e，在x=a时，y=，故方程a=有两个解，由a得：ae2，此时正数a的取值范围是（2e，e2由f（x）0得：0，解得xa，即xa时，函数f（x）为单调减函数，则当x=m时，取得最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnmalnn=0，即m=n，不符合；当x0时，函数f（x）为减函数，则当x=m时取最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到+=1，回代到方程组的第一个式子得到1a=n，整理得到1n=a，由图象可知，方程由两个解，则a（，1，综上正数a的取值范围是（，1（2e，e2【点评】本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程，新定义，分类讨论思想，难度稍大，中档偏上10（2016银川校级二模）设函数f（x）=x2mlnx，g（x）=x2（m+1）x，m0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为求函数h（x）=f（x）g（x）=x2mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数h（x）的单调区间，求出h（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），m0，f（x）=，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）f（x）与g（x）图象的交点个数，即函数h（x）=f（x）g（x）=x2mlnx+（m+1）x的零点个数问题，h（x）=，令h（x）0，解得：1xm，令h（x）0，解得：xm或x1，h（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+）递减，h（x）极小值=h（1）=m+0，h（x）和x轴有1个交点，即函数f（x）与g（x）图象的交点个数是1个【点评】本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题11（2016荆州一模）已知函数f（x）满足对于任意x0，都有f（x）+2f（）=logax+（a0，a1）（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f（x），试比较f（x）与f（x）的大小，并说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用【分析】（1）先利用方程组思想，求出f（x）的解析式，再利用导数，求f（x）的极值；（2）构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论【解答】解：（1）f（x）+2f（）=logax+f（）+2f（x）=logax+，由可得f（x）=logax+，f（x）=+=0，x=1，a1时，x=1取得极小值；0a1时，x=1取得极大值；（2）设h（x）=logax+，则h（x）=+=，a1时，x=取得极小值，h（x）h（）0，f（x）f（x）；0a1时，x=取得极大值，h（x）h（）0，f（x）f（x）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题12（2016上饶一模）若f（x）=其中aR（1）当a=2时，求函数y（x）在区间e，e2上的最大值；（2）当a0，时，若x1，+），f（x）a恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（1）当a=2，xe，e2时，f（x）=x22lnx+2，求其导数可判函数在e，e2上单调递增，进而可得其最大值；（2）分类讨论可得函数y=f（x）在1，+）上的最小值为，分段令其，解之可得a的取值范围【解答】解：（1）当a=2，xe，e2时，f（x）=x22lnx+2，（1分），当xe，e2时，f（x）0，（2分）函数f（x）=x22lnx+2在e，e2上单调递增，（3分）故+2=e42（4分）（2）当xe时，f（x）=x2+alnxa，a0，f（x）0，f（x）在e，+）上单调递增，（5分）故当x=e时，； （6分）当1xe时，f（x）=x2alnx+a，f（x）=2x=（x+）（x），（7分）（i）当1，即0a2时，f（x）在区间1，e）上为增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1+a，且此时f（1）f（e）=e2； （8分）（ii）当，即2a2e2时，f（x）在区间上为减函数，在区间上为增函数，（9分）故当x=时，且此时f（）f（e）=e2；（10分）（iii）当，即a2e2时，f（x）=x2alnx+a在区间1，e上为减函数，故当x=e时，（11分）综上所述，函数y=f（x）在1，+）上的最小值为（12分）由得0a2；由得无解；由得无解； （13分）故所求a的取值范围是（0，2 （14分）【点评】本题考查利用导数求闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，属难题13（2016广西一模）设函数f（x）=x3+ax2+bx（x0）的图象与x轴相切于M（3，0）（1）求f（x）的解析式，并求y=+4lnx的单调减区间；（2）是否存在两个不等正数s，t（xt），当xs，t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域也是s，t，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】分类讨论；函数思想；转化法；导数的概念及应用【分析】（1）由已知得f（x）=3x2+2ax+b依题意f（3）=0，f（3）=0，解方程即可求出f（x）=x36x2+9x （2）由函数的定义域是正数知，s0，故极值点x=3不在区间s，t上，由此利用分类讨论思想能求出不存在正数s，t满足要求【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f（x）=3x2+2ax+b依题意则有f（3）=0，f（3）=0，即27+9a+3b=0，27+6a+b=0，解得a=6，b=9，f（x）=x36x2+9x 则y=+4lnx=x26x+9+4lnx，x0，y=2x6+=，由y0得1x2，即y=+4lnx的单调减区间为（1，2）（2）f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），由f（x）=0，得x=1或x=3列表讨论，得：x（，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+00+f（x）增函数4减函数0增函数函数f（x）=x36x2+9x极大值是4，极小值是0（7分）由函数的定义域是正数知，s0，故极值点x=3不在区间s，t上，若极值点1s，t，此时0s1t3，在此区间上f（x）的最大值是4，不可能等于t，故在区间s，t上没有极值点；若f（x）=x36x2+9x在s，t上单调增，即0st1或3st，则，即，解得不合要求（3）若f（x）=x36x2+9x在s，t上单调减，即1st3，则，两式相减并除st，得：（s+t）26（s+t）st+10=0，两式相除并开方，得s（s3）2=t（t3）2，即s（3s）=t（3t），整理，并除以st，得：s+t=3，则、得，即s，t是方程x23x+1=0的两根，即s=，t= 不合要求；综上，不存在正数s，t满足要求（14分）【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的极值的求法，考查满足条件的正数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用14（2016平度市一模）已知函数，（）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（）若p2p0，且至少存在一点x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数p的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（）先函数的导函数，然后求出f（1）的值即为切线的斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；（）先求导函数，令h（x）=px22x+p，要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需h（x）0，然后利用参数分离法求解恒成立问题即可；（）利用导数研究函数f（x）与g（x）在1，e上的单调性，求出最值，只需f（x）maxg（x）min，x1，e成立，求出p的取值范围即可【解答】解：（）当p=2时，函数，（2分）曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为f（1）=2+22=2从而曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0=2（x1），即y=2x2（4分）（）令h（x）=px22x+p，要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需h（x）0（6分）即，故正实数p的取值范围是1，+）（8分）（）在1，e上是减函数，x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）2，2e，（10分）当p0时，h（x）=px22x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）0，所以f（x）在x1，e内是减函数当p=0时，h（x）=2x，因为x1，e，所以，此时，f（x）在x1，e内是减函数故当p0时，f（x）在1，e上单调递减f（x）max=f（1）=02，不合题意；（12分）当p1时，由（2）知f（x）在1，e上是增函数，f（1）=02，又g（x）在1，e上是减函数，故只需f（x）maxg（x）min，x1，e，而，即，解得，所以实数p的取值范围是（14分）【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题15（2016安徽校级一模）已知函数f（x）=ln（x+1）x（x1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若kZ，且f（x1）+xk（1）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e1x02成立？请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）求导f（x）=1=，从而判断函数的单调区间；（2）化简可得xlnx+xkx+3k0，令g（x）=xlnx+xkx+3k，求导g（x）=lnx+1+1k=lnx+2k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值；（3）假设存在这样的x0满足题意，从而化简可得x02+10，令h（x）=x2+1，取x0=lna，从而可得hmin（x）=h（x0）=（lna）2+alna+a1，再令p（a）=（lna）2+alna+a1，从而解得【解答】解：（1）f（x）=ln（x+1）x，f（x）=1=，当x（1，0）时，f（x）0；当x（0，+）时，f（x）0；故f（x）的单调增区间为（1，0），单调减区间为（0，+）；（2）f（x1）+xk（1），lnx（x1）+xk（1），lnx+1k（1），即xlnx+xkx+3k0，令g（x）=xlnx+xkx+3k，则g（x）=lnx+1+1k=lnx+2k，x1，lnx0，若k2，g（x）0恒成立，即g（x）在（1，+）上递增；g（1）=1+2k0，解得，k；故k2，故k的最大值为2；若k2，由lnx+2k0解得xek2，故g（x）在（1，ek2）上单调递减，在（ek2，+）上单调递增；gmin（x）=g（ek2）=3kek2，令h（k）=3kek2，h（k）=3ek2，h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+）上单调递减；h（2+ln3）=3+3ln30，h（4）=12e20，h（5）=15e30；k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4（3）假设存在这样的x0满足题意，e1x02，x02+10，令h（x）=x2+1，h（x）=x（a），令h（x）=x（a）=0得ex=，故x=lna，取x0=lna，在0xx0时，h（x）0，当xx0时，h（x）0；hmin（x）=h（x0）=（lna）2+alna+a1，在a（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a1，则p（a）=（lna）20，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）p（1）=0，即当x0=lna时符合题意【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题16（2016山东三模）已知函数f（x）=（x0）（1）试判断函数f（x）在（0，+）上单调性并证明你的结论；（2）若f（x）恒成立，求整数k的最大值；（3）求证：（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题