中国剩余定理.doc

中国剩余定理在中国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在中国公元四世纪的数学著作孙子算经中。孙子算经卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。孙子算经所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是孙子算经并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：N=702+213+1522105。这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，孙子算经给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，孙子算经术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么孙子算经相当于给出公式N=70R1+21R2+15R3P105（p是整数）。孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的孙子歌中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。孙子算经没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=357=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a，而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=357)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。即题目的答案为 702+213+152=140+63+30=233233-2105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，573余数为2，取35；375余数为1，要使余数为3，只需将37扩大3倍变成63即可；同样357的余数为1，要使余数为2，则将35扩大2倍，变成30。中国剩余定理”算理及其应用：为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来中国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。然后，401+452+364=274，因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。使21被8除余1，用215=105；然后，1122+1204+1055=1229，因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。为了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。然后，1764+3853+3202=2499，因为，2499440，所以，24994405=299，就是所求的数。例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，2805+2251+1262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，2806+2252+1263=2508，因为，2508315，所以，25083157=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下. 所以：一共有5个 187 367 547 727 907此题的初等解法四川省三台县工商局王志成的初等解法，简单、方便、可以永远的延续下去。条件1、三三数之余二 ，条件2、五五数之余三 ，条件3、七七数之余二，条件4、十一十一数之余七，条件5、十三十三数之余五，条件6、十七十七数之余七，满足条件1为等差数列：3N+2。将等差列3N+2取5项有：2，5，8，11，14，必然有一项满足条件2，五五数之余三，结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。将等差列15N+8取7项有：8，23，38，53，68，83，98，必然有一项满足条件3，七七数之余二，结果为23，同时满足条件1，2，3的为等差数列：23+ 105N。将等差列23+ 105N取11项有：23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，必然有一项满足条件4，十一十一数之余七，结果为128，同时满足条件1，2，3，4的为等差数列：128+1155N。将等差列128+1155N取13项有：128，1283，2438，3593，4748，5903，7058，8213，9368，10523，11678，12833，13988，必然有一项满足条件5，十三十三数之余五，结果为3593，同时满足条件1，2，3，4，5的为等差数列：3593+15015N。将等差列3593+15015N N取17项有：3593，18608，33623，48638，63653，78668，93683，108698，123713，138728，153743，168758，183773，198788，213803，228818，243833，必然有一项满足条件6，十七十七数之余七，结果为198788，同时满足条件1，2，3，4，5，6的为等差数列：198788+255255N。数列化简当等差数列的首项及公差较大时，对于求任何素因子的余数，都可以先进行化简计算。如在该问题的基础上,增加十九十九数余5，如果对198788+255255N取19项再寻找每一项的余数，用笔算是相当的不方便，我们用首项和公差分别除以19的余数，得新的等差数列：10+9N，取19项之内有：10，0(当满或超过19时减去19再算)，9，18，8，17，7，16，6，15，5，当出现与余数相同的数后,就可以不再计算了。因该数列第11项除以19余5。即原数列的第11项除以19必然余5，198788+255255*（11-1）=2751338，得等差数列2751338+4849845N的数,为满足上面七个条件的数。如何判别错题？在计算余数问题上，很容易出现错题，正确的题有解，错误的题是无解的。什么是错题？题意自相矛盾的题是错题。判断标准：一个数除以一个素因子只有一个余数；除以合数时，要看它与合数的素因子的余数是否有矛盾。素因子的重复。即M/A余C，式中的M与A都是固定的，那么，余数C只能有一个。除以同一个素因子可以在题中出现多次，但余数必须相同，否则，就是错题。如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以3余2，问该数为多少？这里的除以3余1与除以3余2自相矛盾，为错题。单个素因子组成的合数。如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以9余8，问该数为多少？因为，9是由素因子3组成的，既然前面明示除以3余1，那么，这里的除以9必须服从该条件。因8/3余2与除以3余1矛盾，该题为错题。满足除以3余1的在9之内只有1+3N为：除9余1，余4，余7。除以9余2，3，5，6，8，0都属于错题。多个素因子组成的合数。如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以15余8，问该数为多少？因为，这里的除以15余8，8/3余2与前面的除以3余1矛盾，8/5余3与前面的除以5余2矛盾，该题为错题。同时满足除以3余1，除以5余2有：7+15N，即除以15只能余7，对于除以15余0，1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14都属于错题。除以多个素因子组成的合数时，必须与题中所出现的素因子不产生矛盾，不产生矛盾的标准是除以多个素因子组成的合数，必须是同时满足题中所出现（合数所包含的）的素因子的数。同余的解法当你看了在上面的初等解法后，对同余的解法就简单了。例某数为M，有M/3余2，M/5余3，M/7余2，M/11余3，M/13余2，求M=？这里有M除以3，7，13都余2，因3*7*13=273，即2+273N为满足除以3，7，13都余2的等差数列；同理，M除以5，11余3，因5*11=55，即3+55Z等差数列的数为满足除以5和11都余3的等差数列。于是这里出现了两个等差数列：2+273N和3+55Z，是在2+273N数列取55项寻找除以55余3的数呢？还是在3+55Z数列取273项，寻找除以273余2的数呢？最好是：在2+273N取11项：2，275，548，821，1094，1367，1640，1913，2186，2459，2732，有136