2020届楚雄州高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2020届云南省楚雄州高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1若，则z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】因为，故，然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题.2设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】分别将集合和集合求出来，再求，最后求即可.【详解】，故.故选：B.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算，属于基础题.3已知，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，此类题常用中间值和进行比较，属于常考题.4在等差数列中，若，则（ ）A6B7C8D9【答案】D【解析】由，得，又因为，所以，再由，得出的值即可.【详解】，公差，又，所以，得.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.5函数在的图象大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.6某公司的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则（ ）A400B200C150D300【答案】D【解析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.7鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.孙子算经中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.【详解】由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.故选B.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ）A函数是奇函数B其图象关于直线对称C在上的值域为D在上是增函数【答案】C【解析】利用三角恒等变换化简，由题意求得，利用函数图象平移求得，再由型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】，因为的图象的相邻对称轴间的距离为，故的最小正周期为，所以，于是，所以，故为偶函数，并在上为减函数，所以A，D错误；，所以B错误；因为，所以，所以C正确.故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.9鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.10已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】设直线l：，由到l的距离大于a，得出的范围，再由计算即可.【详解】设过与渐近线平行的直线l为，由题知到直线l的距离，即，可得，所以离心率.故选：C.【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式可使计算变得简便，属于常考题.11已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ）ABCD【答案】B【解析】设正三棱锥的底面边长为2a，高为h，则圆柱高为，底面圆半径为，先利用勾股定理求出援圆柱外接球的半径，由题知，由题意画出图形，在中利用勾股定理计算即可.【详解】设正三棱锥的底面边长为2a，高为h，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，由，可求得，设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为，利用勾股定理得：，可得，故.故选：B.【点睛】本题考查几何体外接球的特征，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.12若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设曲线与的在公共点处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后利用两直线重合列出等式即可求得的值，然后利用导数来研究的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得【详解】设曲线与的公共点为，因为，所以，则，解得或3a，又，且，则.因为，所以，.设，所以，令，得.所以当时，；当时，.所以b的最大值为.故选：D.【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力，属于常考题.二、填空题13在（的展开式中，x的系数是 。（用数字作答）【答案】-56【解析】试题分析：（展开式的通项为，令，则，所以x的系数是。【考点】二项式定理点评：涉及到展开式中的问题，常用到二项式定理得通项：。14已知向量，的夹角为，且，则_.【答案】2【解析】由及，设，列出方程求得的值.【详解】因为已知向量，的夹角为，且，所以，设， 所以，即，解得或（舍去），故.故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量的模，考查运算求解能力，属于常考题.15抛物线的焦点为为抛物线上一点,若的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点),且外接圆的面积为,则_【答案】【解析】OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为9，圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，+=3，p=4故答案为416已知，设数列的前n项和为，则_.【答案】【解析】将变形为，由可得数列为等比数列，求出即可.【详解】由条件得，则，且，故数列是首项为，公比为的等比数列，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用数列的递推式求等比数列前项和，属于常考题.三、解答题17的内角，的对边分别为，已知，点为边的中点，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得； (2)由为的中线得，同时平方可得，与联立解出b，c的值，代入三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由，可得，由余弦定理可得，所以.（2）因为为的中线，两边同时平方可得，故.因为，所以，.所以的面积.【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题.18某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长人数2816842表2：女生时长人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生女生总计参考公式：，其中.参考数据：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】（1）；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有个基本事件，“运动达人”的可能结果为个，求得概率即可；（2）根据题意列出列联表，代入公式计算结果，然后判断即可.【详解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.可得下列列联表：每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生261440女生162440总计423880，所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题.19如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，.（1）证明：平面平面；（2）点在棱上，且，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，先证，再证，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法计算.【详解】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，因为是正三角形，所以，因为，所以.在中，所以，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可知，所以，设平面ABM的法向量为，所以，令，得.取平面ABC的一个法向量为，记二面角的平面角为，易知为锐角，所以二面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20设椭圆的离心率是，直线被椭圆C截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）直线l的方程为.【解析】（1）由已知可得，椭圆经过点，列出方程组，求得和的值即可；（2）设直线l的方程为，与椭圆联立得：，进而得到，又点M到AB的距离，故，当时，面积最大，求出直线方程即可.【详解】（1）由已知可得，椭圆经过点，由，解得，故椭圆C的方程为.（2）设直线l的方程为，A，B的坐标，由，得，则，所以.由，得.又点M到AB的距离，所以，当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若有两个极值点，证明：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，求出，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1）.当时，.当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.即函数只有一个极大值点，无极小值点.当时，令，得.当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.即函数有一个极大值点，有一个极小值点.当时，此时恒成立，即在上单调递增，无极值点.综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当时，没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，即，所以.令，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用函数的单调性证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.【答案】(1) ， (2) 或.【解析】（1）利用消去参数化曲线为普通方程，运用，即可化直线极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，因为，所以，直线的直角坐标方程为.（2）点的坐标为，设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），联立直线与曲线的方程得.设对应的参数分别为，则，所以，得，且满足，故直线的倾斜角为或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23已知函数.（1