二次函数教学设计与反思

成就一个孩子 幸福一个家庭 二次函数教学设计与反思二次函数教学设计与反思 姚伟刚姚伟刚 一 教学内容分析一 教学内容分析 本节课的主要内容是函数零点的定义 函数零点存在性的判定方法 1 教学重点 函数零点的定义的理解 2 教学难点 正确理解函数零点的定义 了解函数零点的判定方法的不可逆 性 知识与技能目标知识与技能目标 理解函数零点的意义 了解函数的零点与方程根的关系 会求简单函数的 零点 能判断二次函数零点的存在性 并能对零点存在定理进行简单的应用 过程与方法目标过程与方法目标 引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题 提高数学知识的综合应 用能力 体验函数零点存在定理的形成过程 初步感受零点存在定理在解题中 的应用 情感态度与价值观目标情感态度与价值观目标 让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想 二 教学基本条件分析二 教学基本条件分析 1 学生条件 学生有较好的数学基础和数学理解能力 喜欢思考 乐于探究 2 前期内容准备 在学习一次函数和二次函数时 教师结合课后习题 对函 数 方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透 3 教学媒体条件 支持幻灯片展示 三 教学过程设计三 教学过程设计 一 开门见山 揭示课题 一 开门见山 揭示课题 引语 同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗 偶成 吗 幻灯片展示 幻灯片展示 函数方程显神通 集合语言奠基功 一次二次学方法 指对幂中活运用 成就一个孩子 幸福一个家庭 数形结合诚美妙 重要性质作沟通 因果变化多联系 物换星移运不穷 前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质 初步学习了研究函 数的一般方法 进一步体会了这首小诗的寓意 今天我们通过研究函数的另一 个重要性质 函数的零点来进一步感受函数与方程的联系 板书课题 板书课题 教师直接板书函数零点的定义 如果函数在实数 x0处的值等于零 即f x0 0 则 x0叫做这个函数的零点 设计意图 设计意图 因为对这个定义的直观理解不难 所以直接给出 意为锻炼学生的 数学阅读理解的能力 同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计 作铺垫 二 逐层深化 发现联系 二 逐层深化 发现联系 教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题 例 1 求出下列函数的零点 并能够作出函数的图象 1 y x2 x 6 2 y x2 2 x 1 3 y x 2 x 1 解 过程略 设计意图 设计意图 1 对于第 1 小题 学生根据自己对定义的理解 写出零点 有的学生可能 会将 函数的零点 误以为是点 让学生在充分暴露问题的基础上 加深对概 念的理解 2 对于第 2 小题 让学生知道二重零点的含义 3 对于第 3 小题 让学生感受到不是所有的函数都有零点 问题问题 1 1 幻灯片展示 例题中给出的三个函数都是一元二次函数 那么你能 总结出对于一般的一元二次函数y ax2 bx c a 0 它的零点的情况与什么有 关 能否具体解释 成就一个孩子 幸福一个家庭 预设答案 与方程的判别式有关 当 0 时 一元二次方程有两个不等的实 数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有两个交点 x1 0 x2 0 函数有两个零点x1 x2 当 0 时 一元二次方程有两个相等的实数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有一个交点 x1 0 函数有一个二重零点 x1 当 0 时 一元二次方程没有实数根 相应的二次函数的图象与x轴没有 交点 函数没有零点 设计意图 设计意图 让学生在总结二次函数零点情况的过程中 理清方程的根 函数图 象与 x 轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系 问题问题 2 2 对于一般的函数y f x 它与相应的方程 f x 0 的关系又是怎样的 呢 提示 若xf x 0 的实数根 对于函数 y f x 相应的表述都有什么 0是 方程 预设答案 xf x 0 的实数根 x0 0 是函数 y f x 的图象与 x f x 的零 点 轴的交点x0是函数 y 0是方程 问题问题 3 3 通过以上分析 你能总结出求函数零点的一般方法吗 预设答案 1 令 y 0 解方程 方程的根就是函数的零点 2 作出函数的图象 函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点 设计意图 设计意图 让学生从 数 和 形 两个角度理解函数的零点 问题问题 4 4 对于二次方程而言 如果方程有解 解方程的方法是什么 预设答案 因式分解或求根公式 设计意图 设计意图 为下一环节作铺垫 三 利用方程 研究函数 三 利用方程 研究函数 问题问题 1 1 在例 1 的第 1 题中 函数的零点将 x 轴分成三部分 请考察在函数 每个区间内函数值的符号 并完成下面的表格 幻灯片展示 1 y x2 x 6 成就一个孩子 幸福一个家庭 问题问题 2 2 请仔细观察两个表格 你能发现哪些规律 预设答案 1 零点两侧符号相反 2 最右侧区间函数值的符号都为正 问题问题 3 3 以上结果的出现是必然还是偶然 请给出理由 预设答案 将方程因式分解 在最右侧的区间内的自变量的每个取值使每个因式的符号都 为正 因此使得函数值大于 0 而每经过一个零点 就使得其中的一个因式改 变符号 所以零点左右函数值的符号相反 问题问题 4 4 是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗 预设答案 不是 譬如函数 y x2 2x 1 我们可以通过以上分析 作出函数 y x3 2x2 x 2 图象 草图 当然 要想更 加准确地作出函数图象 还要进一步研究函数的其他性质 成就一个孩子 幸福一个家庭 设计意图 设计意图 学生应用函数与方程的联系 通过方程研究函数的性质 做出 函数的草图 同时 研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺 垫 四 四 探究发现探究发现 零点存在定理零点存在定理 1 探究发现 前面我们通过研究函数的零点可以考察其两侧函数值的符号 那么反之 我们 能否通过研究函数值的符号特征来探寻零点呢 幻灯片展示 作出函数的图象 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 y x 3 2 0 和 4 0 2 y x2 x 6 4 0 1 4 4 4 和 1 1 根据以上判断 如果一个函数f x 在区间 a b 上存在零点 那么该区间端 点的函数值的符号可能有哪些情况 预设答案 f a f b 0 追问追问 1 1 对于上述的函数 f x 满足什么条件时 函数在区间 a b 上一定存 在零点 预设答案 f a f b 0 追问追问 2 2 对于任意的函数f x 如果在 a b 上满足f a f b 0 是否在区 间 a b 上一定存在零点 成就一个孩子 幸福一个家庭 预设答案 不是 反例 作出图象 所以函数的图象在 a b 上必须是连续不断的 追问追问 3 3 如果连续函数f x 满足f a f b 0 则在区间 a b 上存在唯一的 零点 这种说法对吗 预设答案 不对 反例 y x3 2x2 x 2 所以应表述为 至少存在一个 设计意图 设计意图 使学生在教师的指导和不断追问下 经历探究和发现的过程 通过 不断完善自己的思维过程 体会探究的乐趣 2 零点存在定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那么 函数 y f x 在区间 a b 内至少存在一个零点 即存在 ca bf c 0 使得 3 3 零点存在定理 的初步应用 例 2 已知函数f x x b 在 1 1 上存在零点 求 b 的取值范围 解 由题意 f 1 f 1 0 解得 b 1 1 变式变式 1 1 已知函数f x x2 bx在 1 1 上存在零点 求 b 的取值范围 变式变式 2 2 已知函数f x x2 2bx b 的两根分别在 1 0 和 0 1 内 求 b 的取值 范围 设计意图 设计意图 让学生初步感受零点存在定理在解题中的应用 通过变式教学使学 生的思维得到发散 提高学生的解题能力 五 总结升华 五 总结升华 问题 问题 通过本节课的学习 你在知识 数学思想方法等方面有哪些收获 设计意图 设计意图 通过小结 理清思路 归纳总结 更好的掌握知识技能 理解数学 思想方法 提高解决问题的经验 学生活动 教师进行简要的概括和升华 六六 作业作业 1 课本 P72 练习 A1 2 成就一个孩子 幸福一个家庭 2 思考题思考题 结合例 2 及其变式 1 含有参数 b 的函数 f x 在 1 1 上具有什 么性质时 求 b 的取值范围时的解决方法与例题相同 设计意图 设计意图 巩固本节课所学习的内容 七七 板书设计板书设计 八 八 课后反思课后反思 在设计这节课之前 我思考的主要问题有两个 一是如何引入 二是 零点存 在定理 如何呈现出来 首先得到解决的是第二个问题 探究式 的方向很快被确定下来 那么又怎 样探究呢 我查了相关资料 在借鉴同行做法的基础上 主要结合自己的教学 风格和学生的特点形成了教学设计中的处理方式 然后就是解决引入的问题 教学设计中的处理方式的形成主要基于以下三方面 的考虑 一 定义不难 且其要渗透的想法在前期教学中有所涉及 二 高考 题往往会出一些所谓信息题 考查学生的阅读理解能力 三 开门