高考数学 第三章 第四节 函数y=Asin（ωx φ）的图象及三角函数的应用课件 理 苏教版.ppt

第四节函数y asin x 的图象及三角函数的应用 1 用 五点法 作函数y asin x a 0 0 的图象的一般步骤 1 定点 如表 0 a 0 a 0 2 作图 在坐标系中描出这五个关键点 用 顺次连结这些点 就得到y asin x 在一个周期内的图象 3 扩展 将所得图象 按周期向两侧扩展可得y asin x 在r上的图象 平滑的曲线 2 由函数y sinx的图象变换得到y asin x a 0 0 的图象的步骤 3 函数y asin x a 0 0 x 0 的物理意义 1 振幅为 2 周期t 3 频率 4 相位是 5 初相是 a x 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 利用五点法作函数y sin x 在一个周期内的图象时 利用的五点是 0 0 1 0 1 2 0 这五个点 2 利用图象变换作图时 先平移 后伸缩 与 先伸缩 后平移 中平移的单位长度一致 3 将y 3sin2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y 3sin 2x 4 y sin x 的图象是由y sin x 的图象向右移个单位得到的 解析 1 错误 五点应为 2 错误 先平移 后伸缩 的平移单位长度为 而 先伸缩 后平移 的平移单位长度为 故当 1时平移的单位长度不相等 3 错误 左移个单位后解析式应为y 3sin2 x 3sin 2x 4 正确 将y sin x 的图象右移个单位后得答案 1 2 3 4 1 y 2sin x 的振幅a 频率f 初相 解析 由解析式可得 a 2 t 2 答案 2 函数y cosx x r 的图象向左平移个单位后 得到函数y g x 的图象 则g x 的解析式应为g x 解析 将y cosx图象左移后得 y g x cos x sinx 答案 sinx 3 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 解析 设最小正周期为t 由图象可知 答案 4 将函数y sin 2x 左移个单位后图象的对称轴是 解析 将y sin 2x 左移个单位后得y sin 2x 令2x k k z得 答案 5 已知简谐运动f x asin x a 0 的部分图象如图所示 则该简谐运动的解析式f x 解析 由图象可知 t 6 令x 1 则 故a 2 答案 考向1函数y asin x 的图象及其图象变换 典例1 1 函数y cos 2x 的图象是由y cos2x的图象向左平移 个单位得到的 2 将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 所得图象的函数解析式是 3 设函数f x cos x 0 0 的最小正周期为 且 求 和 的值 在给定坐标系中作出函数f x 在 0 上的图象 思路点拨 1 将函数解析式y cos 2x 化为y cos 2 x 即可得到结果 2 利用图象平移和伸缩变换的步骤逐步变换可得解析式 3 由周期得 由f 得 采用五点法作图 注意定义域 0 即可 规范解答 1 y cos 2x cos 2 x 故只需将y cos2x的图象左移个单位即可得到y cos 2x 的图象 答案 2 将y sinx图象右移个单位得y sin x 的图象 再将横坐标伸长到原来的2倍得y sin 的图象 答案 y sin 3 最小正周期t 2 由 得f x cos 2x 列表 图象如图 互动探究 若将本例 1 改为 要得到y sin2x的图象只需将y cos 2x 的图象向右平移 个单位得到 解析 由y sin2x cos 2x cos 2x cos 2 x 故只需将y cos 2x 的图象向右平移个单位即可得到y sin2x的图象 答案 拓展提升 函数y asin x a 0 0 的图象的两种作法 1 五点法 用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 设z x 由z取来求出相应的x 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象 2 图象变换法 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 提醒 五点作图取值要准确 一般取一个周期之内的 函数图象变换要注意顺序 平移时两种平移的单位长度不同 变式备选 画出函数y 3sin 2x x r的简图 解析 方法一 五点法 由得t 列表 描点画图 将所得图象按周期向两侧扩展可得y 3sin 2x 在r上的图象 方法二 图象变换法 y sinxy sin x 将所得图象按周期向两侧扩展可得y 3sin 2x 在r上的图象 考向2由图象求解析式 典例2 1 2013 苏州模拟 函数f x asin x a 0 0 0 的部分图象如图所示 则其解析式为f x 2 如图为函数y asin x c a 0 0 0 2 图象的一部分 求函数的解析式 此函数的图象可由函数y sinx的图象经过怎样的变换得到 思路点拨 1 先由图象确定a 后定周期t 从而得 利用特殊点求 2 根据函数图象可知函数的振幅求得a 根据最大值与最小值求得c 根据最大值和最小值的距离求得t 进而求得 最后把 12 4 代入求得 根据函数图象变换法则求解 规范解答 1 由图象可得故t 2 由图象可知即2 0 得 故f x sin 2x 答案 sin 2x 2 由图象可知 y 3sin x 1 12 4 在函数图象上 4 3sin 12 1 即sin 1 0 2 此时k 1 函数解析式为 先将函数的图象向左平移个单位 然后横坐标不变 纵坐标变为原来的3倍 再纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 最后向上平移1个单位 互动探究 若将本例 1 的图象改为如图所示的图象 其他条件不变 又将如何求解函数的解析式 解析 由图象知a t 4 所以t 16 则由6 2k k z 得 所以函数的解析式为 拓展提升 确定y asin x b a 0 0 的步骤及相应的方法 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则 2 求 确定函数的最小正周期t 则可得 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一个点为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 时 x 0 第二点 即图象的 峰点 时 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 时 x 第四点 即图象的 谷点 时 x 第五点 时 x 2 提醒 在求 时要注意题目中所给的 的范围 变式训练 函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 1 求 2 求函数的图象的对称轴和对称中心 解析 1 由图象知a 1 t 2 由得 2k k z 2 由 1 知f x sin 2x 由得 函数f x 的对称轴为又由得故函数f x 的对称中心为 考向3三角函数性质的应用 典例3 2012 潍坊模拟 已知函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 1 求f x 的解析式 2 当x 0 时 求f x 的值域 3 求f x 的单调区间 思路点拨 1 由函数的图象分别求a 利用特殊点求 可解 2 由函数的解析式结合给定区间与正弦函数的单调性求解 规范解答 1 由图象可知a 2 解得 2 将 0 代入f x 2sin 2x 结合 的取值范围得 f x 2sin 2x 2 由x 0 得 sin 2x 1 2sin 2x 2 故f x 在x 0 上的值域为 2 3 由得由得故函数f x 的单调增区间为单调减区间为 拓展提升 函数y asin x a 0 0 的性质 1 奇偶性 k 时 函数y asin x 为奇函数 k k z 时 函数y asin x 为偶函数 2 周期性 y asin x 存在周期性 其最小正周期为 3 单调性 根据y sint和t x 的单调性来研究 由得单调增区间 由得单调减区间 4 对称性 利用y sinx的对称中心为 k 0 k z 求解 令 x k k z 求得x 利用y sinx的对称轴为x k k z 求解 令 x k k z 得其对称轴 变式训练 已知函数f x asin x a 0 0 的图象与y轴的交点为 0 1 它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 x0 2 和 x0 2 2 1 求f x 的解析式及x0的值 2 求f x 的单调增区间 3 若x 求f x 的值域 解析 1 由题意作出f x 的简图如图 由图象知a 2 由 2 得t 4 所以 f x 2sin x f 0 2sin 1 又 由又 x0 2 是y轴右侧的第一个最高点 2 由得 所以f x 的单调增区间为 3 所以所以 f x 2 所以f x 的值域为 满分指导 解答函数f x asin x 的综合问题 典例 14分 2012 湖南高考 已知函数f x asin x x r 0 0 的部分图象如图所示 1 求函数f x 的解析式 2 求函数g x f x f x 的单调增区间 思路点拨 规范解答 1 由题设图象知 周期 3分因为点 0 在函数图象上 结合y sinx图象可知 0 对应于正弦函数图象 0 点 故2 得 满足0 5分又点 0 1 在函数图象上 所以asin 1 所以a 2 故函数f x 的解析式为f x 2sin 2x 7分 2 g x 2sin2x 2sin 2x 9分 2sin2x 2 sin2x cos2x sin2x cos2x 2sin 2x 12分由 得 g x 的单调增区间是 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 无锡模拟 要得到g x cos 2x 的图象 只要将f x sin 2x 的图象向右至少平移 个单位 解析 cos 2x sin2x 要得到的图象 只需将f x sin 2x sin2 x 的图象右移即可 sin2x sin2 x 需将f x sin 2x 的图象右移至少个单位 答案 2 2013 徐州模拟 将函数y sin 2x 的图象向左平移至少 个单位 可得一个偶函数的图象 解析 设向左平移 个单位 0 则由题意y sin 2x 左移 个单位后得y sin 2x 2 由于这个函数是偶函数 故2 k k z 得 k z 故当k 1时 答案 3 2013 连云港模拟 函数y asin x 0 x r 的部分图象如图所示 则函数的表达式为 解析 由图象可知a 4 t 6 2 8 t 16 由图象知 6 0 得 函数的表达式是y 4sin 答案 y 4sin 4 2012 陕西高考 函数f x asin x 1 a 0 0 的最大值为3 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 1 求函数f x 的解析式 2 设 0 则f 2 求 的值 解析 1 函数f x 的最大值为3 a 1 3 即a 2 函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 最小正周期t 2 故函数f x 的解析式为f x 2sin 2x 1 2 即又 故 1 已知函数f x asin x a 0 0 的图象如图所示 则f 的值是 解析 由图象可知 且a 2 当x 时f x 0 结合 的取值范围可得3 0 答案 2 2