2020年中考数学二轮复习 压轴专题 二次函数（含解析）

二次函数1如图，平面直角坐标系中，点a、点b在x轴上（点a在点b的左侧），点c在第一象限，满足acb为直角，且恰使ocaobc，抛物线yax28ax+12a（a0）经过a、b、c三点（1）求线段ob、oc的长（2）求点c的坐标及该抛物线的函数关系式；（3）在x轴上是否存在点p，使bcp为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的p点的坐标：若不存在，请说明理由解：（1）yax28ax+12aa（x6）（x2），故oa2，ob6，ocaobc，则，即：oc2oaob，解得：co2；（2）过点c作cdx轴于点d，ocaobc，则，设ac2x，则bc2x，而ab4，故16（2x）2+（2x）2，解得：x1，故ac2，bc2，sabcabcdacbc，解得：cd，故od3，故点c（3，）；将点c的坐标代入抛物线表达式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x4；（3）设点p（m，0），而点b、c的坐标分别为：（6，0）、（3，）；则bc212，pb2（m6）2，pc2（m3）2+3，当bcpb时，12（m6）2，解得：m6；当bcpc时，同理可得：m6（舍去）或0；当pbpc时，同理可得：m4，综上点p的坐标为：（6，0）或（0，0）或（4，0）2直线yx+2与x轴交于点a，与y轴交于点b，抛物线yx2+bx+c经过a、b两点（1）求这个二次函数的表达式；（2）若p是直线ab上方抛物线上一点；当pba的面积最大时，求点p的坐标；在的条件下，点p关于抛物线对称轴的对称点为q，在直线ab上是否存在点m，使得直线qm与直线ba的夹角是qab的两倍？若存在，直接写出点m的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线yx+2与x轴交于点a，与y轴交于点b，则点a、b的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点a、b的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）过点p作y轴的平行线交bc于点n，设p（m，m2+m+2），点n（m，m+2），则：pba的面积spnoa4（m2+m+2+m2）m2+4m，当m2时，s最大，此时，点p（2，5）；点p（2，5），则点q（，5），设点m（a，a+2）；（）若：qm1b2qam1，则qm1am1，则（a）2+（a3）2（a4）2+（a+2）2，解得：a，故点m1（，）；（）若qm2b2qam1，则qm2bqm1b，qm1qm2，作qhab于h，bq的延长线交x轴于点n，则tanbao，则tanqna2，故直线qh表达式中的k为2，设直线qh的表达式为：y2x+b，将点q的坐标代入上式并解得：b2，故直线qh的表达式为：y2x+2，故h（0，2）与b重合，m2、m1关于b对称，m2（，）；综上，点m的坐标为：（，）或（，）3如图已知直线yx+与抛物线yax2+bx+c相交于a（1，0），b（4，m）两点，抛物线yax2+bx+c交y轴于点c（0，），交x轴正半轴于d点，抛物线的顶点为m（1）求抛物线的解析式；（2）设点p为直线ab下方的抛物线上一动点，当pab的面积最大时，求pab的面积及点p的坐标；（3）若点q为x轴上一动点，点n在抛物线上且位于其对称轴右侧，当qmn与mad相似时，求n点的坐标解：（1）将点b（4，m）代入yx+，m，将点a（1，0），b（4，），c（0，）代入yax2+bx+c，解得a，b1，c，函数解析式为yx2x；（2）设p（n， n2n），则经过点p且与直线yx+垂直的直线解析式为y2x+n2+n，直线yx+与其垂线的交点g（n2+n， n2+n+），gp（n2+3n+4），当n时，gp最大，此时pab的面积最大，p（，），ab，pg，pab的面积；（3）m（1，2），a（1，0），d（3，0），am2，ab4，md2，mad是等腰直角三角形，qmn与mad相似，qmn是等腰直角三角形，设n（t， t2t）如图1，当mqqn时，n（3，0）；如图2，当qnmn时，过点n作nrx轴，过点m作msrn交于点s，qnmn，qnm90，mnsnms（aas）t1t2+t+，t，t1，t，n（，1）；如图3，当qnmq时，过点q作x轴的垂线，过点n作nsx轴，过点n作nrx轴，与过m点的垂线分别交于点s、r；qnmq，mqn90，mqrqns（aas），sqqr2，t+21+t2t，t5，n（5，6）；如图4，当mnnq时，过点m作mrx轴，过点q作qsx轴，过点n作x轴的平行线，与两垂线交于点r、s；qnmn，mnq90，mnrnqs（aas），sqrn，t2tt1，t2，t1，t2+，n（2+，1+）；综上所述：n（3，0）或n（2+，1+）或n（5，6）或n（，1）4如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b（4，0）、c（8，0）、d（8，8）抛物线的解析式为yax2+bx（1）如图1，若抛物线经过a，d两点，直接写出a点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（2）如图2：若抛物线经过a、c两点，求抛物线的表达式若点p为线段ab上一动点，过点p作peab交ac于点e，过点e作efad于点f交抛物线于点g当线段eg最长时，求点e的坐标；（3）若a1，且抛物线与矩形abcd没有公共点，直接写出b的取值范围解：（1）点a的坐标为：（4，8）；函数的对称轴为：x（4+8）6；故答案为：（4，8）；6；（2）将点a、c的坐标代入抛物线表达式并解得：a，b4，故抛物线的表达式为：yx2+4x；由点a、c的坐标得，直线ac的表达式为：y2x+16；设点e（x，2x+16），则点g（x，x2+4x），egx2+4x（2x+16）x2+6x16，当x6时，eg由最大值为：2，此时点e（2，4）；（3）若a1，则抛物线的表达式为：yx2+bx，当抛物线过点b和点d时，抛物线与矩形有一个交点，将点b的坐标代入抛物线表达式得：016+4b，解得：b4，将点d的坐标代入抛物线表达式并解得：b9，故b的取值范围为：b4或b95如图，直线yx1与抛物线yx2+6x5相交于a、d两点抛物线的顶点为c，连结ac（1）求a，d两点的坐标；（2）点p为该抛物线上一动点（与点a、d不重合），连接pa、pd当点p的横坐标为2时，求pad的面积；当pdacad时，直接写出点p的坐标解：（1）联立方程组，解得，a（1，0），d（4，3），（2）过p作pex轴，与ad相交于点e，点p的横坐标为2，p（2，3），e（2，1），pe312，3；过点d作dpac，与抛物线交于点p，则pdacad，yx2+6x5（x3）2+4，c（3，4），设ac的解析式为：ykx+b（k0），a（1，0），ac的解析式为：y2x2，设de的解析式为：y2x+n，把d（4，3）代入，得38+n，n5，de的解析式为：y2x5，联立方程组，解得，此时p（0，5），当p点在直线ad上方时，延长dp，与y轴交于点f，过f作fgac，fg与ad交于点g，则fgdcadpda，fgfd，设f（0，m），ac的解析式为：y2x2，fg的解析式为：y2x+m，联立方程组，解得，g（m1，m2），fg，fd，fgfd，m5或1，f在ad上方，m1，m1，f（0，1），设df的解析式为：yqx+1（q0），把d（4，3）代入，得4q+13，q，df的解析式为：yx+1，联立方程组，此时p点的坐标为，综上，p点的坐标为（0，5）或6综合与探究如图，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点a、b、c，已知点c（0，4），aoccob，且，点p为抛物线上一点（异于a，b）（1）求抛物线和直线ac的表达式（2）若点p是直线ac上方抛物线上的点，过点p作pfab，与ac交于点e，垂足为f当peef时，求点p的坐标（3）若点m为x轴上一动点，是否存在点p，使得由b，c，p，m四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1），则oa4oc8，故点a（8，0）；aoccob，则abc为直角三角形，则co2oaob，解得：ob2，故点b（2，0）；则抛物线的表达式为：ya（x2）（x+8），将点c的坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+4；由点a、c的坐标可得直线ac的表达式为：yx+4；（2）设点p（x，x2x+4），则点e（x， x+4），peef，即x2x+4x4x+4；解得：x8（舍去）或2，故点p（2，6）；（3）设点p（m，n），nm2m+4，点m（s，0），而点b、c的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；当bc是边时，点b向左平移2个单位向上平移4个单位得到c，同样点p（m）向左平移2个单位向上平移4个单位得到m（p），即m2s，n+40或m+2s，n40，解得：m6或3，故点p的坐标为：（6，4）或（3，4）或（3，4）；当bc是对角线时，由中点公式得：2m+s，n4，故点p（6，4）；综上，点p的坐标为：（6，4）或（3，4）或（3，4）7如图1，抛物线yx2+mx+4m与x轴交于点a（x1，0）和点b（x2，0），与y轴交于点c，且x1，x2满足x12+x2220，若对称轴在y轴的右侧（1）求抛物线的解析式（2）如图2，若点p为线段ab上的一动点（不与a、b重合），分别以ap、bp为斜边，在直线ab的同侧作等腰直角三角形apm和bpn，试确定mpn最大时p点的坐标（3）若p（x1，y1），q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x2时，均有y1y2，求a的取值范围解：（1）x1+x22m，x1x28m，则x12+x22（x1+x2）22x1x220，即（2m）216m20，解得：m5（舍去）或1；故抛物线的表达式为：yx2x4；（2）令y0，则x2或4，故点a、b的坐标分别为：（2，0）、（4，0），则ab6；设：apa，则pn6a，mpn180mpanpb90；smpnpnpma（6a）a（6a）（a3）2+；当a3时，smpn最大，此时op1，故点p（1，0）；（3）函数的对称轴为x1，如图，x2.5和x关于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看，a且a+2，解得：a8如图，在平面直角坐标系中，矩形abcd的顶点b，c，d的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以a为顶点的抛物线yax2+bx+c过点c动点p从点a出发，以每秒个单位的速度沿线段ad向点d匀速运动，过点p作pex轴，交对角线ac于点n设点p运动的时间为t（秒）（1）求抛物线的解析式；（2）若pn分acd的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点p从a出发的同时，点q从c出发，以每秒1个单位的速度沿线段cd向点d匀速运动，点h为线段pe上一点若以c，q，n，h为顶点的四边形为菱形，求t的值解：（1）四边形abcd为矩形，且b（1，0），c（3，0），d（3，4），a（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）2+4，将c（3，0）代入ya（x1）2+4，得04a+4，解得a1，抛物线的解析式为y（x1）2+4x2+2x+3；（2）pex轴，dcx轴，pedc，apnadc，pn分acd的面积为1：2的两部分，或，当时，ad2，ap，t的值为2；当时，ad2，ap，t的值为2，综上所述，t的值为或；（3）如图21，当cn为菱形的对角线时，点p，n的横坐标均为，设直线ac的解析式为ykx+b，将a（1，4），c（3，0）代入ykx+b，得，解得，直线ac的表达式为y2x+6，将点n的横坐标代入y2x+6，得，即en4t，由菱形cqnh可得，cqnhtch，可得eh（4t）t42t，在rtche中，ce2+eh2ch2，解得，t1，t24（舍）；如图22，当cn为菱形的边时，由菱形cqhn可得，cqcnt，在rtcne中，ne2+ce2cn2，（4t）2+（2t）2t2，解得，t1208，t220+8（舍）；综上所述，t的值为或9如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点a，抛物线顶点c的坐标为，其对称轴交x轴于点b（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点d为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使acd面积最大时点d的坐标；（3）在对称轴上是否存在点p，使得点a关于直线op的对称点a满足以点o、a、c、a为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线解析式为ya（xh）2+k，（a0）顶点，又图象过原点，解出：，即；（2）令y0，即，解得：x10，x24，a（4，0），设直线ac的解析式为ykx+b，将点a（4，0），代入，得，解得，直线ac的解析式为yx+4，过点d作dfy轴交ac于点f，设，则，当m3时，sacd有最大值，当m3时，；（3）cbocba90，obab2，oaocac4，aoc为等边三角形，如图31，当点p在c时，oaaccaoa，四边形acao是菱形，；作点c关于x轴的对称点c，当点a与点c重合时，ocacaaoa，四边形ocaa是菱形，点p是aoa的角平分线与对称轴的交点，记为p2，obp290，ob2，op22bp2，obp290，ob2，op22bp2，设bp2x，op22x，又，（2x）222+x2，解得或，；综上所述，点p的坐标为或10已知二次函数与x轴交于a、b（a在b的左侧）与y轴交于点c，连接ac、bc（1）如图1，点p是直线bc上方抛物线上一点，当pbc面积最大时，点m、n分别为x、y轴上的动点，连接pm、pn、mn，求pmn的周长最小值；（2）如图2，点c关于x轴的对称点为点e，将抛物线沿射线ae的方向平移得到新的拋物线y，使得y交x轴于点h、b（h在b的左侧）将chb绕点h顺时针旋转90至chb抛物线y的对称轴上有一动点s，坐标系内是否存在一点k，使得以o、c、k、s为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点k的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）如图1，a（2，0），b（8，0），c（0，4），直线bc的解析式为，过点p作y轴平行线，交线段bc于点q，设，0m8，p（4，6）作p点关于y轴的对称点p1，p点关于x轴的对称点p2，连接p1p2交x轴、y轴分别为m，n，此时pmn的周长最小，其周长等于线段p1p2的长；p1（4，6），p2（4，6），（2）如图2中，e（0，4），平移后的抛物线经过e，b，抛物线的解析式为yx2+bx4，把b（8，0）代入得到b4，平移后的抛物线的解析式为yx+4x4（x2）（x8），令y0，得到x2或8，h（2，0），chb绕点h顺时针旋转90至chb，c（6，2），当occs时，可得菱形ocs1k1，菱形ocs2k2，occs2，可得s1（5，2），s2（5，2+），点c向左平移一个单位，向下平移得到s1，点o向左平移一个单位，向下平移个单位得到k1，k1（1，），同法可得k2（1，），当ocos时，可得菱形ock3s3，菱形ock4s4，同法可得k3（11，2），k4（11，2+），当oc是菱形的对角线时，设s5（5，m），则有52+m212+（2m）2，解得m5，s5（5，5），点o向右平移5个单位，向下平移5个单位得到s5，c向上平移5个单位，向左平移5个单位得到k5，k5（1，7），综上所述，满足条件的点k的坐标为（1，）或（1，）或（11，2）或（11，2+）或（1，7）11如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点，与y轴交于点c（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，若点d是抛物线上一个动点，设点d的横坐标为m（0m3），连接cd、bd、bc、ac，当bcd的面积等于aoc面积的2倍时，求m的值；（3）若点n为抛物线对称轴上一点，请在图中探究抛物线上是否存在点m，使得以b，c，m，n为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把a（1，0），b（3，0）代入yax2+bx+2中，得：，解得：，抛物线解析式为；（2）过点d作y轴平行线交bc于点e，把x0代入中，得：y2，c点坐标是（0，2），又b（3，0）直线bc的解析式为，由sbcd2saoc得：，整理得：m23m+20解得：m11，m220m3m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点m的坐标为：（m，n），nx2+x+2，点n（1，s），点b（3，0）、c（0，2），当bc是平行四边形的边时，当点c向右平移3个单位，向下平移2个单位得到b，同样点m（n）向右平移3个单位，向下平移2个单位n（m），故：m+31，n2s或m31，n+2s，解得：m2或4，故点m坐标为：（2，）或（4，）；当bc为对角线时，由中点公式得：m+13，n+32，解得：m2，故点m（2，2）；综上，m的坐标为：（2，2）或（2，）或（4，）12已知抛物线yax22ax+3与x轴交于点a、b（a左b右），且ab4，与y轴交于c点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点p（0，b）（b3），存在过点p的一条直线交抛物线于m、n两点，使得pmmn成立；（3）将该抛物线在0x4间的部分记为图象g，将图象g在直线yt上方的部分沿yt翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若mn6，求t的取值范围解：（1）抛物线yax22ax+3的对称轴为x1，又ab4，由对称性得a（1，0）、b（3，0） 把a（1，0）代入yax22ax+3，得a+2a+30，a1抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）如图，过m作ghx轴，pgx轴，nhx轴，由pmmn，则pmgnmh（aas），pgnh，mgmh设m（m，m2+2m+3），则n（2m，4m2+4m+3），p（0，b），gmmh，yg+yh2ym，即b+（4m2+4m+3）2（m2+2m+3），2m2b3，b3，关于m的方程总有两个不相等的实数根，此即说明了点m、n存在，并使得pmmn证毕；（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为d（1，4）、d（1，2t4）当d在点h（4，5）上方时，2t45，t，此时，mt，n5，mn6，t+56，t1，t1；当点d在点h（4，5）下方时，同理可得：t，mt，n2t4，由mn6，得t（2t4）6，t2，2t综上所述，t的取值范围为：2t113如图，抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，点a的坐标为（2，0），点p为抛物线上的一个动点，过点p作pdx轴于点d，交直线bc于点e（1）求抛物线解析式；（2）若点p在第一象限内，当od4pe时：求点d、p、e的坐标；求四边形pobe的面积（3）在（2）的条件下，若点m为直线bc上一点，点n为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点m和点n，使得以点b，d，m，n为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点n的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，a（2，0）在抛物线上，x1，解得：a，b，抛物线解析式为yx2x2；（2）令yx2x20，（x4）（x+2）0，解得：x12，x24，当x0时，y2，由b（4，0），c（0，2），得，直线bc的表达式为：yx2设d（m，0），dpy轴，e（m， m2），p（m， m2m2），od4pe，m4（m2m2m+2），m5，m0（舍去），d（5，0），p（5，），e（5，），四边形pobe的面积sopdsebd51；（3）存在，设m（n， n2），以bd为对角线，如图1，四边形bndm是菱形，mn垂直平分bd，n4+，m（，），m，n关于x轴对称，n（，）；以bd为边，如图2，四边形bdmn是菱形，mnbd，mnbdmd1，过m作mhx轴于h，mh2+dh2dm2，即（n2）2+（n5）212，n14（不合题意），n25.6，n（4.6，），同理（n2）2+（4n）21，n14+（不合题意，舍去），n24，n（5，），以bd为边，如图3，过m作mhx轴于h，mh2+bh2bm2，即（n2）2+（n4）212，n14+，n24（不合题意，舍去），n（5+，），综上所述，点n坐标为：（）或 （，）或（5，）或 （5+，）14如图，矩形oabc中，o为原点，点a在y轴上，点c在x轴上，点b的坐标为（4，3），抛物线yx2+bx+c与y轴交于点a，与直线ab交于点d，与x轴交于c，e两点（1）求抛物线的表达式；（2）点p从点c出发，在线段cb上以每秒1个单位长度的速度向点b运动，与此同时，点q从点a出发，在线段ac上以每秒个单位长度的速度向点c运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动连接dp、dq、pq，设运动时间为t（秒）当t为何值时，dpq的面积最小？是否存在某一时刻t，使dpq为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）点a（0，3），点c（4，0），将点a、c的坐标代入抛物线表