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2 3 3向量数量积的坐标运算与度量公式 1 掌握向量数量积的坐标表示 能进行向量数量积的坐标运算 2 能运用数量积表示两个向量的夹角 计算向量的长度 会判断两个向量的垂直关系 课前自主学案 1 向量的数量积公式 2 常用性质 a b a b a b 2 3 平面内两点间距离公式 设p1 x1 y1 p2 x2 y2 则 p1p2 a b a b cos a b a2 a 2 a2 b2 a2 2a b b2 1 向量的数量积 内积 的坐标运算已知a a1 a2 b b1 b2 则a b 2 向量垂直的坐标表示已知a a1 a2 b b1 b2 则a b a1b1 a2b2 a1 a2 b2 b1 a1b1 a2b2 0 3 向量的长度 设a x y 则 a 用语言表述为 4 平面上两点间距离公式 设a x1 y1 b x2 y2 则 5 两个向量夹角余弦值的坐标表达式为cos a b 向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 思考感悟1 与向量a a1 a2 同向的单位向量的坐标如何表示 2 如何利用数量积求两向量夹角 课堂互动讲练 熟练掌握数量积的坐标公式是解决这类问题的关键 尤其是相关的模长公式和夹角公式 解 分别以向量m n的方向为x轴 y轴的正方向建立平面直角坐标系 图略 m 2 n 1 m 2 0 n 0 1 a 8 1 b 2 2 c 4 3 a2 3 a b 2 b c 1 65 3 14 2 2 1 104 点评 解题的关键是借助两向量垂直 建立平面直角坐标系 进而把向量坐标化 利用向量的坐标运算求解 变式训练1已知a与b同向 b 1 2 a b 10 1 求a的坐标 2 若c 2 1 求 b c a及b c a 解 1 设a b 2 0 则a b 4 10 2 a 2 4 2 b c 1 2 2 1 2 2 0 b c a 0 同理c a 0 b c a 0 已知两向量的坐标 根据平面向量的数量积的定义和性质 可以求其数量积 两向量的长度和它们的夹角 此外 求解数量积的有关综合问题 应该注意函数思想与方程思想的运用 已知a 2 1 b 1 若a与b的夹角 为钝角 求 的取值范围 点评 通过对本题的归纳可得下面结论 变式训练2设向量a与b的夹角为 且a 3 3 2b a 1 1 求cos 向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0 点评 使用向量的知识解决问题时 有向量式和坐标两种形式的思路 可以先把向量式展开 再把模长 内积等量代入求解 也可以先求出坐标 然后求解 变式训练3已知两个向量a 3 4 b 2 1 求当a xb与a b垂直时 求x的值 1 向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算 由于有关长度 角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决 因此我们可以利用向量的直角坐标求
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