仁华学校五升六考前集训（教师版）

第二讲复杂行程问题【例1】一天24小时内（0：00和24：00只算一个），钟面上的时针与分针共重合过_次；【例2】一天晚上11点多时，王老师准备睡觉，他发现钟面上分针与时针正好关于“12”左右对称，第二天早上6点多王老师起床，发现钟面上分针与时针还是关于“12”左右对称，那么王老师共睡了多长时间？【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，正常情况7小时后相遇在C点；如果甲车速不变，乙车每小时多行6千米，则相遇地点距C点18千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行6千米，则相遇地点距C点21千米；那么甲车和乙车的原来速度是多少？男女上坡32下坡53【例4】男、女两名运动员在长350米的斜坡AB（A为坡顶、B为坡底）上跑步，二人同时从坡顶出发，在AB间往返奔跑，已知速度如表中所示，那么两人第一次与第二次迎面相遇的相距_米；【例5】A、B两地相距40千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时相向出发，甲车每小时行36千米，出发40分后与乙相遇，又过6分钟后，与迎面而来的丙车相遇，而在丙C地追上乙；如果甲的速度减少一半，乙每小时多行18千米，则两车恰好在C地相遇，那么丙车每小时行_千米；【例6】甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步（遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）。已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙再次遇到丙时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走_米，甲下一次遇到丙时，甲、乙相距_米；【例7】某勘察队有两辆汽车，每天可行驶300千米，每辆汽车满载油料，可供12天使用，为了能够勘察较远的地点，并在完成任务后沿原路返回，其中一辆车开出一段路后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其它的油给另一辆车，那么勘察队能够勘察的最远距离是_米【例8】甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为5千米/小时，汽车载人速度是45千米/小时，先让甲班同学乘车，为使两班同学同时到达，那么汽车应该在开出多长时间后返回接乙班同学。今天学习了这么多类型的行程问题，大家感觉怎么样？是不是有些应接不暇了呢？行程问题可以变化出很多小的类型，但是万变不离其宗，“路程”、“时间”、“速度”之间的关系推演，是不变的定理。时钟问题：注意位置的变化，分针和时针的“路程差”或“路程和”。变速问题：注意运动过程之间的比较，分段演算与方程比较。多人问题：注意分解复杂运动过程。合理安排：注意在入手时通过试验或分析推出最佳状态。下面留几道题目供大家练习：1、 小明上了一节课，大约1小时左右，他发现下课时与上课时手表上的时针与分针的位置刚好对调，那么这一堂课上了多长时间？2、甲、乙分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车，12分钟后丙也骑车从A地出发去追甲。丙追上甲后立即按原速度沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到了乙，已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍，那么甲的速度是多少？3、甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动，但只有一辆汽车，且一次只能坐一个班的同学，已知学生步行速度相同为5千米/小时，汽车载人速度是45千米/小时，空车速度是75千米/小时。如果要使两班同学同时到达，且到达时间最短，那么这个最短时间是多少？第三讲应用题综合一【例1】甲、乙两个小朋友各有一袋糖，一袋多一袋少，每袋不到20粒，如果甲先生乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍，如果乙给甲一定数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍，那么，甲乙共有多少粒糖？【例2】甲班有42名学生，乙班有48名学生，已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高几分？【例3】三个班，小班人数最少，中班27人，大班比小班多6人，桔子25箱，每箱不少于50个，不超过60个，且桔子的总数个位是7；若每人分19个，则不够分；现在大班比中班每人多分一个，中班比小班每人多分一个，刚好分完，这时大班每人分得多少个？小班有几个人？【例4】一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰好占题目总数的四分之一，小亮答错题目5道，两人人都答错的题目占总题目数的六分之一。已知小明和小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，那么两个人都答对的题目有多少道？【例5】一次象棋比赛共有10位选手参加，它们分别来自甲、乙、丙三个队。每个人都与其余9个人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分；结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得分是多少？【例6】团体购买公园门票的票价如图：购票人数50人以下51至100人100人以上每人票价12元10元8元今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1142元，如果合在一起作为一个团体购票，总计只付门票费864元，那么两个旅游团各有多少人？【例7】巧克力每盒11块，软糖每盒13块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块；由于又来了1位小朋友，软糖就要增加1盒，这时两种糖的盒数就相同；现在又来了1位小朋友，巧克力还要增加1盒，那么原来有多少位小朋友？【例8】某人在10时15分由码头划出一条小船，他欲在13时回到码头。河水速度1.4千米/小时，船在静水中的速度3千米/小时，他每划30分钟就休息15分钟，中途不改变方向，只在某次休息后往回划。那么他最远能划离码头多远？希望同学们经过本讲的学习，能够在判断出一道题目是什么类型之后，看出哪些必需的条件没有明确地给出，或者是只给了一个大概的范围。题目中哪些是限制条件？哪些条件又是隐含在题目之中没有直接给出？只要能够在做题目之前对这些问题有了明确答案，那么接下来的解题过程就可以顺利进行了。课后练习： 1、小红有三本集邮册，全部邮票的五分之一在第一本中，第二本的邮票占总数的七分之几，剩下的26张在第三本中，那么小红共有邮票多少张？2、甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中最多的人比最少的人多出60多枚棋子，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的1/3平分给甲、丙；最后丙拿出自己的1/4平分给甲、乙，这时三人的棋子数正好相同，那么三人共有棋子多少枚？3、一小、二小两校春游的人数都是10的倍数，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满，现在知道两校都租用14个座位的旅行车，则两校共需这种车72辆，如果两校都租用19座的旅行车，则二小要比一小多租用这种车7辆；那么两校参加这次春游的人数分别为多少人？第十三讲比例应用题【例1】某小学男女生人数之比是16：13，后来有几位女生转学到这所学校，男女生人数之比变为6:5，此时全校学生共880人，转来的女生有_人。【例2】在一个小池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上。两个木棍露出水面部分的长度之比是7:3。如果现在水池中的水面向上涨70厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是7:2。那么原来这两根木棍露出水面部分的长度分别是多少厘米？【例3】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3。结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:5。未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4。那么报考的共有_人。【例4】一只狼发现前方100米处有一只野兔在跑，便追了上去，已知狼跑4步的路程相当于兔跑7步的路程，狼跑20步的时间相当于兔跑21步的时间，那么狼追上兔子时跑了_米。【例5】学校图书馆新买了3套书，分别是一套漫画书，一套学习参考书和一套历史名人传记，一共花了1128元。其中漫画书每本8元钱，学习参考书每本10元，历史名人传记每本12元。其中历史名人传记的本数是另外两套书总本数的1/4，学习参考书的本数是另外两套书总本数的3/7，那么这3套书分别各有多少本？【例6】三个同样大小的瓶子，分别装着不同浓度的酒精，其中第一个瓶子中酒精和水的体积比为4：1；第二个瓶子中酒精和水的体积比为3:1；第三个瓶子中酒精和水的体积比为5:1。如果把这3瓶酒精和水的混合液都倒入一个大的瓶子中，这时大瓶中酒精和水的体积比是多少？【例7】现在有大小两个瓶子，分别都装有酒精和水的混合液，大小瓶中装有的混合液的体积比为5:3。大瓶的混合液中酒精和水的体积比为5:1，小瓶的混合液中酒精和水的体积比为3:1。如果把这两瓶酒精和水的混合液都倒入一个大的瓶子中，这时大瓶子中酒精和水的体积比是多少？参赛过对前面几道例题的学习，大家初步的了解了一些和比例有关的题目的解法，由于比例本身可以用来表示两个或多个数量之间的大小比较关系，因此同分数应用题一样，它的类型是多种多样的，可以说任何类型的应用题，只要本身包含有多个数量之间的比较，都可以改造成比例应用题。无论题目的类型怎样变化，绝大数的题目都可以利用本讲的主要方法，通过将某一个数量设为“一份”，将题目的条件转化为整数的表达方式，由此将题目化简并解决。作业：1、张家与李家的收入钱数之比是8:5，开支的钱数比是8:3，结果张家结余560元，李家结余630元，每家收入为_、_元；2、甲、乙两车间原有人数的比是4:3，甲车间调55人到乙车间后，甲乙两车间人数的比变为3:5，那么甲车间原有_人,乙车间原有_人；3、一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长度比依次是1:2:3。小龙走各段路程所用时间之比依次是4:5:6。已知它上坡时速度为每小时5千米，路程全长48千米。小龙走完全程用_小时。第十四讲方程解题初步【例1】苹果和梨各有若干个，如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只。那么苹果和梨共有多少只？（盈亏问题）【例2】一批游客，甲、乙两种客车（一大一小），用3辆大车和4辆小车（每辆车都装满人）一共要跑5趟；如果用5辆大车和3辆小车（每辆车都装满人）一共要跑4趟，那么大车载客量是小车的多少倍？比例关系问题【例3】三班期末考试的平均分是78分，男生的总人数是女生的1.5倍，但是女生的总分加起来却只比男生的总分少4/10，那么男生的平均分比女生的平均分少多少？平均数问题【例4】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在途中某地相遇，如果甲每小时多走2千米，而乙提前半小时出发，则仍能在此相遇，如果甲延迟半小时出发，乙每小时少走2千米，也能在此相遇，那么A、B两地相距多少千米？行程问题【例5】上午8点多上课的时候小明看了一下教室里的钟，发现如果从6点到12点画一条线，时针和分针分别在这条线的两边，左右对称。到下一节课9点多的时候，小明又一次看钟上的时针和分针，再次发现，它们两个关于刚才画出的那条线对称。那么小明两次看钟之间相隔多少分钟？时钟问题【例6】箱子里有红、白两种球，红球是白球的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球；箱子里原来红球比白球多几只？和差倍问题【例7】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3。结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:5。未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4。那么报考的共有多少人？比例应用题大家通过对例题的学习可以发现，各种各样类型的题目都可以利用设立未知数，求解方程得到解决，最关键的就是开始设未知数和把题目条件写成算式，也就是列方程。必须在充分理解题目的基础上才能做好这些。如果已经把包含未知数的算式列出来了，那么剩下的解题过程通常并不复杂，只要按照规定的步骤：去括号；把带有未知数的全部挪到左边；然后计算，求出结果。最后不要忘记说明求出来的未知数究竟