高中数学 1.2.1任意角的三角函数（二）课件 新人教A版必修4.ppt

1 2 1任意角的三角函数 二 有向线段及三角函数线1 有向线段 1 定义 带有 的线段 2 表示 用大写字母表示起点 终点 如有向线段om mp 方向 2 三角函数线 mp om at 判断 正确的打 错误的打 1 三角函数线的长度等于三角函数值 2 三角函数线的方向表示三角函数值的正负 3 若角 的正弦线的长度为1 则sin 1 4 若角 的余弦线的长度为0 则此时角 的终边在x轴上 提示 1 错误 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 2 正确 凡是与x轴或y轴正向同向的为正值 反向的为负值 3 错误 没有指明正弦线的方向 故sin 1 4 错误 此时角 的终边在y轴上 答案 1 2 3 4 知识点拨 对三角函数线的三点说明 1 三角函数线的意义正弦线 余弦线 正切线分别是正弦 余弦 正切函数的几何表示 凡与x轴或y轴正向同向的为正值 反向的为负值 三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来 使得问题更形象直观 为从几何途径解决问题提供了方便 2 三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线 余弦线 正切线 同时也给出了角 的三角函数线的画法 即先找到p m t点 再画出mp om at 3 三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小 同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础 类型一比较三角函数值的大小 典型例题 1 sin1 cos1 0 填 或 2 比较下列各组数的大小 解题探究 1 的正弦线和余弦线的大小关系如何 2 比较三角函数值的大小应分几步 探究提示 1 的正弦线和余弦线的大小相等 2 分三步 1 角的位置要 对号入座 2 比较三角函数线的有向线段的长度 3 确定有向线段的正负 解析 1 因为如图所示 由三角函数线可得sin1 cos1 故sin1 cos1 0 答案 2 1 如图所示 在单位圆中作出的余弦线om2和om1 因为om1 om2 所以 2 如图所示 分别作出的正弦线和正切线 因为at mp 所以 拓展提升 三角函数线比较大小的注意点 1 三角函数线是一个角的三角函数值的体现 从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负 其长度是三角函数值的绝对值 2 比较两个三角函数值的大小 不仅要看其长度 还要看其方向 变式训练 如图 已知角 的终边是op 角 的终边是oq 试利用 的三角函数线判断大小 1 sin sin 2 cos cos 3 tan tan 解析 如图所示 sin mp sin nq mp nq 故sin sin cos om cos on om on 故cos cos tan ac tan ab ac ab 故tan tan 答案 1 2 3 类型二解不等式 典型例题 1 解不等式的解集为 2 求下列函数的定义域 解题探究 1 正弦值等于的角应是什么 2 如何应用三角函数线作f m 1 m 1 的三角函数中角的终边 探究提示 1 若sin 则2 1 先作出直线y m或x m与单位圆的交点 2 将原点与交点连接 所得射线即为所求角的终边 解析 1 如图 作出正弦值等于的角x的终边 则正弦值大于的角x的终边与单位圆的交点在劣弧上 所以所求角x的取值范围是答案 2 1 因为2cosx 1 0 所以如图 所以定义域为 2 因为3 4sin2x 0 所以如图 所以所以即定义域为 互动探究 若题1改为 求不等式的解集 又如何求解 解析 如图 作出正弦值等于的角x的终边 则正弦值小于或等于的角x的终边与单位圆的交点在优弧上 所以所求角x的取值范围是答案 拓展提升 解形如f m或f m m 1 的三角不等式的方法 1 在直角坐标系及单位圆中 标出满足f m的两个角的终边 若f为sin 则角的终边是直线y m与单位圆的两个交点与原点的连线 若f为cos 则角的终边是直线x m与单位圆的两个交点与原点的连线 2 根据三角函数值的大小 找出 在0 2 内的取值 再加上k 2 k z 变式训练 若 0 2 且则 的取值范围是 解析 如图 om为 0 2 内的角的余弦线 欲使角 的余弦大于等于om 当om伸长时 op与oq扫过的部分为扇形poq 所以答案 类型三三角函数线的综合应用 典型例题 1 若 是三角形的内角 且则这个三角形是 a 等边三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 钝角三角形2 若证明sin tan 解题探究 1 当 是锐角时 sin cos 的值与1的大小关系如何 若 是钝角呢 2 题2若利用三角函数线证明 角 的几何意义是什么 探究提示 1 当 是锐角时 sin cos 1 当 是钝角时 sin cos 1 2 角 的几何意义是其所对应的圆弧长 解析 1 选d 当时 由单位圆中的三角函数线知 sin cos 1 而所以 必为钝角 2 如图所示 连接ap 设 oap的面积为s1 扇形oap的面积为s2 oat的面积为s 弧长ap为l 因为s1 s2 s 所以又oa 1 故mp l at 即sin tan 拓展提升 1 利用三角函数线证明不等式的步骤 1 在直角坐标系中 利用单位圆 作出角 所需要的三角函数线 2 根据图形 利用相关三角形及扇形的面积 构造不等关系 3 利用三角函数的几何意义 即证得结论 2 求解角的范围的方法准确应用单位圆中的三角函数线来求解角的范围 熟记并充分应用以下几种情形 变式训练 已知点p sin cos tan 在第一象限 在 0 2 内 的取值范围为 解析 由题意如图 由三角函数线可得所以答案 易错误区 三角函数线的解题误区 典例 2013 天水高一检测 已知角 的余弦线是长度为单位长度的有向线段 那么角 的终边在 a x轴的非负半轴上b x轴的非正半轴上c x轴上d y轴上 解析 选c 由角 的余弦线是长度为单位长度的有向线段 得cos 1 故角 的终边在x轴上 误区警示 防范措施 1 正确理解有向线段有向线段是既有长度又有方向的 解题时要注意 如本例中长度为单位长度的有向线段应为 1 2 准确把握三角函数线正确理解正弦线 余弦线和正切线 注意三者的区别 如本例中不要把正弦线和余弦线混淆 类题试解 已知角 的正切线是长度为单位长度的有向线段 则角 的终边在直线 上 解析 由角 的正切线是长度为单位长度的有向线段 得tan 1 故角 的终边在直线y x或直线y x上 答案 y x或y x 1 以下说法中正确的个数为 正弦线 余弦线 正切线 三条有向线段中有两条在单位圆内 一条在单位圆外 正弦线由垂足指向 终边与单位圆的交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点指向切线与 终边 或终边的反向延长线 的交点 a 1b 2c 3d 4 解析 选d 由正弦 余弦及正切的三角函数线定义知 均正确 2 利用正弦线比较sin1 sin1 2 sin1 5的大小关系是 a sin1 sin1 2 sin1 5b sin1 sin1 5 sin1 2c sin1 5 sin1 2 sin1d sin1 2 sin1 sin1 5 解析 选c 如图所示 m1p1 m2p2 m3p3分别是1 1 2 1 5对应的正弦线 数形结合可知 c正确 3 比较大小 sin1155 sin 1654 填 或 解析 sin 3 360 75 sin75 sin 5 360 146 sin146 在单位圆中 分别作出sin75 和sin146 的正弦线m2p2