高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（2）课件 新人教A版必修5.ppt

1 1 1正弦定理 二 第一章 1 1正弦定理和余弦定理 1 熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题 2 能根据条件 判断三角形解的个数 3 能利用正弦定理 三角变换解决较为复杂的三角形问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一正弦定理的常见变形 1 sina sinb sinc 3 a b c 4 sina sinb sinc a b c 2rsina 2rsinb 2rsinc 2r 思考1 知识点二判断三角形解的个数 在 abc中 a 9 b 10 a 60 判断三角形解的个数 答案 故对应的钝角b有90 b 120 也满足a b 180 故三角形有两解 已知三角形的两边及其中一边的对角 三角形解的个数并不一定唯一 例如在 abc中 已知a b及a的值 由正弦定理在由sinb求b时 如果a b 则有a b 所以b为锐角 此时b的值唯一 如果a b 则有a b 所以b为锐角或钝角 此时b的值有两个 梳理 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等 则这两个三角形全等 即三角形的两边及其夹角确定时 三角形的六个元素即可完全确定 故不必考虑解的个数的问题 思考2 答案 已知三角形的两边及其夹角 为什么不必考虑解的个数 解三角形4个基本类型 1 已知三边 2 已知两边及其夹角 3 已知两边及其一边对角 4 已知一边两角 其中只有类型 3 解的个数不确定 梳理 知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 可借助正弦定理把边化成角 2rsinacosb 2rsinbcosa 移项后就是一个三角恒等变换公式sinacosb cosasinb 0 思考1 答案 在 abc中 已知acosb bcosa 你能把其中的边a b化为用角表示吗 打算怎么用上述条件 梳理 一个公式就是一座桥梁 可以连接等号两端 正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系 所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来 简称边角互化 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系 但毕竟不是边等于对角正弦 这里还涉及到外接圆半径 故使用时要么能消掉外接圆半径 如思考1 要么已知外接圆半径 思考2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化 答案 题型探究 例1在 abc中 已知a 20cm b 28cm a 40 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 类型一判断三角形解的个数 解答 因为0 a b a 1 当b 64 时 c 180 a b 180 40 64 76 2 当b 116 时 c 180 a b 180 40 116 24 综上 b 64 c 76 c 30cm或b 116 c 24 c 13cm 引申探究例1中b 28cm a 40 不变 当边a在什么范围内取值时 abc有两解 范围中保留sin40 解答 如图 a 40 cd ad ac 28cm 以c为圆心 a为半径画圆弧 当cd a ac 即bsina a b 28sin40 a 28时 abc有两解 ab1c ab2c均满足题设 已知两边和其中一边的对角解三角形时 首先求出另一边的对角的正弦值 根据该正弦值求角时 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值 或者根据该正弦值 不等于1时 在0 180 范围内求角 一个锐角 一个钝角 只要不与三角形内角和定理矛盾 就是所求 反思与感悟 跟踪训练1已知一三角形中a b 6 a 30 判断三角形是否有解 若有解 解该三角形 解答 又因为bsina 6sin30 3 bsina a b 所以本题有解 且有两解 由正弦定理 得 因为b a b a b 0 180 所以b 60 或120 类型二利用正弦定理求最值或取值范围 例2在锐角 abc中 角a b c分别对应边a b c a 2bsina 求cosa sinc的取值范围 解答 a 2bsina 由正弦定理 得sina 2sinbsina 由锐角 abc知 反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题 1 先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素 2 将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数 三角函数 从而转化为函数的值域或最值问题 跟踪训练2在 abc中 若c 2b 求的取值范围 解答 因为a b c c 2b 例3已知 abc的三个内角a b c的对边分别为a b c 若a c 2b 2cos2b 8cosb 5 0 求角b的大小并判断 abc的形状 解答 类型三正弦定理与三角变换的综合 2cos2b 8cosb 5 0 2 2cos2b 1 8cosb 5 0 4cos2b 8cosb 3 0 即 2cosb 1 2cosb 3 0 a c 2b abc是等边三角形 反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化 转化为角的关系后 常利用三角变换公式进行变形 化简 确定角的大小或关系 继而判断三角形的形状 证明三角恒等式 跟踪训练3已知方程x2 bcosa x acosb 0的两根之积等于两根之和 其中a b为 abc的两边 a b为两内角 试判断这个三角形的形状 解答 设方程的两根为x1 x2 由根与系数的关系 得 bcosa acosb 由正弦定理 得sinbcosa sinacosb sinacosb cosasinb 0 sin a b 0 a b为 abc的内角 0 a 0 b a b a b 0 即a b 故 abc为等腰三角形 当堂训练 1 在 abc中 ac bc 2 b 60 则角c的值为a 45 b 30 c 75 d 90 答案 解析 1 2 3 a 45 c 75 1 2 3 2 在 abc中 若则 abc是a 直角三角形b 等边三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 tana tanb tanc 又 a b c 0 a b c 故三角形为等边三角形 1 2 3 3 在 abc中 若a b c 1 3 5 求的值 解答 规律与方法 1 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 这时三角形解的情况可能无解 也可能一解或两解 首先求出另一边的对角的正弦值 当正弦值大于1或小