2019-2020学年福建省三明市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省三明市高一上学期期末数学试题一、单选题1函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据真数大于零可得定义域.【详解】要使函数有意义，则有，即，所以函数的定义域为.故选：D.【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，对数函数一般要求真数大于零，侧重考查数学运算的核心素养.2用二分法求解方程近似解的过程中，设，经计算得部分函数值近似值如下表：11.251.522.250.985.398.24据此可以判断方程的根所在区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据零点存在定理可得，只需要找到函数值异号的区间即可.【详解】因为根据零点存在定理可得，则至少存在一个零点，故选：B.【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的确定，根据零点存在定理可得，则至少存在一个零点.3设向量与向量垂直，则实数的值是（ ）ABC3D12【答案】A【解析】利用向量垂直的坐标表示可得，从而可求实数的值.【详解】因为向量与向量垂直，所以，即.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，向量垂直则得向量的数量积为0，侧重考查数学运算的核心素养.4已知幂函数的图象经过点（2，8），则实数的值是（ ）ABC2D3【答案】C【解析】利用幂函数的图象经过点（2，8），可得实数的值.【详解】因为幂函数的图象经过点（2，8），所以，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，函数图象经过某点，则该点坐标一定适合解析式，侧重考查数学运算的核心素养.5已知函数，则（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】先求，再把代入可得.【详解】因为所以.故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数的求值要注意”对号入座”，侧重考查数学运算的核心素养.6在平面直角坐标系中，已知是以原点为圆心，半径长为2的圆.设角的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与的交点为，则点的纵坐标关于的函数解析式为（ ）ABCD【答案】D【解析】设出点的坐标，结合三角函数的定义可求.【详解】设，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据角终边上一点的坐标可得定义式，侧重考查数学抽象的核心素养.7如图，在中，分别是的中点，是该平面上任意一点，设，则（ ）ABC2D4【答案】A【解析】由三角形中位线性质可得,结合可得，从而可求.【详解】因为分别是的中点，所以，即；因为，所以解得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的基底表示，选择合适的基底是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.8设函数，若对任意，总存在，使得，则实数的最大值是（ ）AB2C4D16【答案】C【解析】先求的值域，根据题意的值域应该是的值域的子集，对分类讨论可得.【详解】因为对任意，所以根据题意可知的值域包含.当时，符合题意；当时，解得；显然当时，不符合题意；所以实数的最大值是4.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的值域问题，二次型函数的值域要关注二次项系数的影响，侧重考查数学抽象的核心素养.二、多选题9下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A与B与C与D与【答案】BC【解析】逐项考查每两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.【详解】对于选项A，与对应法则不同，所以两者不是同一函数；对于选项B，与定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项C，与定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项D，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一函数；故选：BC.【点睛】本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件：一是定义域要相同；二是对应法则要一致.侧重考查数学抽象的核心素养.10已知函数，则下列关于的判断正确的是（ ）A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于直线成轴对称D图象关于点成中心对称【答案】ABD【解析】逐个选项进行验证，结合正切型函数的性质进行判断可得.【详解】对于选项A，时，此时为增函数；对于选项B，的最小正周期为；对于选项C，因为，所以图象不是关于直线成轴对称；对于选项D，令，得，令得，所以图象关于点成中心对称.故选：ABD.【点睛】本题主要考查正切型函数的性质，熟记性质的求解方法是解决本题的关键.侧重考查逻辑推理的核心素养.11设是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A若，则存在实数使得B若，则C若，则在方向上的投影为D若存在实数使得，则【答案】AB【解析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选项B，若，则，,可得；对于选项C，若，则同向，在方向上的投影为;对于选项D，若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.12已知函数方程，则下列判断正确的是（ ）A函数的图象关于直线对称B函数在区间上单调递增C当时，方程有2个不同的实数根D当时，方程有3个不同的实数根【答案】BC【解析】先作出函数的图象，然后依据图象可得.【详解】对于选项A，显然函数的图象不关于直线对称；对于选项B，的图象是开口向上的抛物线，所以函数在区间上单调递增；作出函数的图象，如图，当时，结合图形可知方程有2个不同的实数根；当时，结合图形可知方程有4个不同的实数根；故选：BC.【点睛】本题主要考查分段函数的图象及性质，数形结合是求解这类问题的常用方法.侧重考查直观想象和数学抽象的核心素养.三、填空题13已知，则_.【答案】3【解析】结合解析式的特点，令可得.【详解】因为，所以令可得.故答案为：3.【点睛】本题主要考查函数值的求解，题目较为简单，直接代入求解即可，侧重考查数学运算的核心素养.14计算_.【答案】【解析】利用对数的运算性质可求.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15已知函数，则图象的一条对称轴方程是_；当时，的值域为_.【答案】 【解析】的对称轴可由求得，由可得的范围，结合图象可求值域.【详解】令，得，令可得图象的一条对称轴方程是，此处答案不是惟一的；因为，所以，结合图象可得，所以的值域为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查正弦型函数的对称性和值域，对称性的求解一般是利用整体代换意识，值域的求解一般是利用换元法，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.16使不等式成立的的取值范围是_.【答案】【解析】在同一个坐标系中分别作出三个函数的图象，结合图象可得.【详解】如图，分别作出的图象，结合图象可知恒成立，当时，；当时，；当时，；所以不等式成立的的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数图象的应用，利用图象求解不等式的关键是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养.四、解答题17已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，求出集合,然后求解；（2）由可得，结合集合的范围可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，不等式可化为，则，即，所以.（2）因为，所以，由（1）知，又，所以解得.则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合的运算，把集合化简为最简形式是求解的前提，根据子集关系求解参数范围时，常常借助数轴来进行，侧重考查数学运算的核心素养.18已知函数.（1）若实数满足，求的值；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先根据求出，然后可求；（2）利用换元法，结合复合函数的单调性可得实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，则，解得，所以，因此.（2）令，则，而是上的增函数，要使在上单调递减，则问题等价于在区间上单调递减，且在区间上恒成立，所以解得.【点睛】本题主要考查对数型函数的求值及单调性问题，复合函数的单调性一般是拆分内层函数和外层函数，结合内外层函数的单调性，遵循同增异减的规则.19在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）在角的终边上任取一点，结合正切函数的定义可求； （2）先化简，结合正切值可求.【详解】解法一：（1）在直线上任取一点，由已知角的终边在直线上，所以.（2），由（1）知，所以，即，所以，又，从而求得，.所以.解法二：（1）同解法一.（2），又，所以，由（1）知，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的定义和同角的基本关系，诱导公式化简代数式时注意符号问题，侧重考查数学运算的核心素养.20在中，点是的中点，点在线段上，且，设，.（1）若，且与的夹角为，求；（2）若向量与共线，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据向量的模长和夹角可以得到，然后可求；（2）先利用基底向量，表示出，结合共线定理可得实数的值.【详解】（1）因为，与的夹角为，所以，则.（2）由已知，因为， 则，又因为与共线，所以存在实数使得，即，所以，因为与不共线，所以解得所以实数的值为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及共线定理，用合适的基底表示向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用定义法判定的单调性，然后结合单调性可得值域；（2）结合函数的奇偶性和单调性把不等式转化为二次不等式，然后结合恒成立问题可得.【详解】设，则，因为，所以，即，又，所以，所以在上是增函数.（1）由上可知在区间上是增函数，所以在区间上最小值为，最大值为，因此的值域是.（2）因为，所以在是上奇函数，所以不等式对于任意恒成立，等价于不等式对于任意恒成立，因为在上是增函数，所以问题等价于不等式对于任意恒成立，即对于任意恒成立，设，则的最小值为，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的值域求解和性质的综合应用，奇偶性和单调性的结合，可以使复杂的不等式问题转化为熟悉的不等式问题，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.22已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）求函数与的解析式；（2）设函数，试判断在内的零点个数.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】（1）先根据周期和对称中心可以求得，结合图象变换可得的解析式；（2）先把的表达式求出，结合的取值讨论零点个数.【详解】（1）因为的周期为2，所以，又因为的图象的一个对称中心为，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，设，因为