中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第五章 基本图形（一）第19讲 等腰三角形课件.ppt

第19讲等腰三角形 1 了解等腰三角形的概念 等腰三角形的性质定理 底边上的高 中线及顶角平分线重合 2 掌握等腰三角形的判定定理 等边三角形的性质定理 以及等边三角形的判定定理 3 掌握线段垂直平分线的性质及判定 角平分线的性质及判定 4 能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题 1 等腰三角形的概念 性质 判定 在选择题 填空题 解答题中均有出现 2 等腰三角形 正三角形是最常见的图形之一 可单独成题 也常与平行四边形 圆 三角函数等渗透在综合题中 3 主要体现数形结合 化归 分类的思想 1 2016 枣庄 如图 在 abc中 ab ac a 30 e为bc延长线上一点 abc与 ace的平分线相交于点d 则 d等于 a 15 b 17 5 c 20 d 22 5 解析 在 abc中 ab ac abc acb 75 所以 ace 180 acb 180 75 105 d 180 dbc bcd 180 37 5 127 5 15 故选a a 3 2016 泰安 如图 在 pab中 pa pb m n k分别是pa pb ab上的点 且am bk bn ak 若 mkn 44 求 p的度数 等腰三角形的边 角 1 2017 预测 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4 则该等腰三角形的周长是 解析 根据任意两边之和大于第三边 知道等腰三角形的腰的长度是4 底边长2 即可求得周长 因为2 2 4 所以等腰三角形的腰的长度是4 底边长2 周长为4 4 2 10 10 2 如图 在 abc中 ab ac 点d在bc上 且bd ad dc ac 求 b的度数 解析 第1题由于未说明两边哪个是腰 哪个是底 故需分两种情况讨论 1 当等腰三角形的腰为2 2 当等腰三角形的腰为4 从而得到其周长 第2题设 b为x 分别表示出 adc cad 依据三角形内角和定理列出方程求解 解 ab ac b c 同理 b bad cad cda 设 b为x 则 c x bad x adc 2x cad 2x 在 adc中 c cad adc 180 x 2x 2x 180 x 36 b 36 1 等腰三角形是两边相等的特殊三角形 以顶角平分线所在的直线为对称轴 2 等腰三角形两 相等 简称为 等边对等角 答案 2 底角 3 原创题 如图 rt abc的斜边ab与量角器的直径恰好重合 b点与0刻度线的一端重合 abc 40 射线cd绕点c转动 与量角器外沿交于点d 若射线cd将 abc分割出以bc为边的等腰三角形 则点d在量角器上对应的度数是 a 40 b 70 c 70 或80 d 80 或140 解析 点o是ab中点 连结do 点d在量角器上对应的度数 dob 2 bcd 当射线cd将 abc分割出以bc为边的等腰三角形时 bcd 40 或70 点d在量角器上对应的度数 dob 2 bcd 80 或140 故选d d 4 2017 预测 如图 abc中 ab ac bc 12cm 点d在ac上 dc 4cm 将线段dc沿bc方向平移7cm得到线段ef 点e f分别落在ab bc上 则 ebf的周长是 cm 解析 cd沿cb平移7cm至ef ef cd cf 7 bf bc cf 5 ef cd 4 efb c ab ac b c eb ef 4 c ebf eb ef bf 4 4 5 13 13 5 已知等腰三角形的周长为10 若设腰长为x 则x的取值范围是 解析 等腰三角形周长为10 腰长为x 则2x 5且2x 10 即2 5 x 5 2 5 x 5 1 把 等边对等角 这一性质用在不同的等腰三角形中 必要时需利用方程思想转化为方程来解题 2 等腰三角形中 边若没有指出是腰还是底边 应分情况讨论 但一定要利用 三边之间的关系 来检验解的合理性 等腰三角形的性质与判定 6 如图 在 abc中 ab ac bd bc 等边 bef的顶点f在bc上 边ef交ad于点p 若be 10 bc 14 求pe的长 解析 利用等腰三角形的性质 有ad bc 在 dpf中先求出pf的值 解 4 7 如图 已知 abc 90 d是直线ab上的点 ad bc 1 如图1 过点a作af ab 并截取af bd 连结dc df cf 判断 cdf的形状并证明 2 如图2 e是直线bc上一点 且ce bd 直线ae cd相交于点p apd的度数是一个固定的值吗 若是 请求出它的度数 若不是 请说明理由 解析 7 1 证明 afd和 bdc全等 再利用全等三角形的性质 即可判断三角形的形状 2 作af ab于a 使af bd 连结df cf 利用sas证明 afd和 bdc全等 再利用全等三角形的性质得得出 apd度数 1 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称为 等角对等边 2 等腰三角形 和 互相重合 简称为 三线合一 答案 2 底边上的高 顶角平分线 底边的中线 8 2016 常州 如图 abc中 ab ac bd ce是高 bd与ce相交于点o 1 求证 ob oc 2 若 abc 50 求 boc的度数 解 1 ab ac abc acb bd ce是 abc的两条高线 abc ecb 90 acb dbc 90 dbc ecb ob oc 2 abc 50 ab ac a 180 2 50 80 boc 180 80 100 9 如图 已知 abc为等腰直角三角形 bac 90 be是 abc的平分线 de bc 垂足为d 1 写出图中所有的等腰三角形 不需证明 2 请你判断ad与be是否垂直 并说明理由 3 如果bc 12 求ab ae的长 解 1 abd ead cde abc 2 bae bde abe dbe be be abe dbe ab db 又 abe dbe ad be 3 c dec 45 cd de ae de dc ab ae bd dc bc 12 1 要证明一个三角形为等腰三角形 需证明这个三角形的两条边相等或两个角相等 这样往往就转化为证明两个三角形全等 2 等腰三角形的底边上的中线 底边上的高 顶角平分线 三线合一 这个性质应用广泛 在遇到等腰三角形的问题时 尝试作辅助线 一是可以把这些线段进行转化 二是构造了全等的三角形 等边三角形 10 2017 预测 如图 p是等边三角形abc内一点 将线段ap绕点a顺时针旋转60 得到线段aq 连结bq 若pa 6 pb 8 pc 10 求四边形apbq的面积 解析 连结pq 则可判断 apq为等边三角形 所以pq ap 6 证明 apc aqb得到pc qb 10 说明 pbq为直角三角形后 利用s四边形apbq s bpq s apq求得结果 1 等边三角形性质 1 等边三角形三条边都 三个内角都 且每个内角都等于 2 等边三角形有 条对称轴 2 等边三角形的判定 1 三边相等的三角形是等边三角形 2 三个角相等的三角形是等边三角形 3 有一个角为60 的等腰三角形是等边三角形 答案 1 1 相等 相等 60 2 三条 11 2016 青岛 如图 以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点 在各边上分别截取4cm长的六条线段 过截得的六个端点作所在边的垂线 形成三个有两个直角的四边形 把它们沿图中虚线剪掉 用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子 求它的容积 等边三角形是一种特殊的等腰三角形 利用等边三角形的轴对称性 构造含有30 的直角三角形 来计算解题 线段的垂直平分线 12 2017 预测 如图 线段ac的垂直平分线交线段ab于点d a 50 则 bdc a 50 b 100 c 120 d 130 解析 根据线段垂直平分线的性质得到da dc 根据等腰三角形的性质得到 dca a 根据三角形的外角的性质计算即可 de是线段ac的垂直平分线 da dc dca a 50 bdc dca a 100 故选b b 1 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 中垂线 2 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 13 如图 在等腰 abc中 ab ac dbc 15 ab的垂直平分线mn交ac于点d 则 a的度数是 解析 a dba 又ab ac abc acb a 2 dba 15 180 即3 a 30 180 a 50 50 14 直线cp是经过等腰直角三角形abc的直角顶点c 并且在三角形的外侧所作的直线 点a关于直线cp的对称点为e 连结be ce 其中be交直线cp于点f 1 若 pca 25 求 cbf的度数 2 连结af 设ac与be的交点为点m 请判断 afm的形状 3 求证 ef2 bf2 2bc2 解 1 由题意可知直线cp是线段ae的中垂线 pca 25 pce 25 bce 140 ca cb ce cb cbf 20 2 afm是直角三角形 直线cp是线段ae的中垂线 fa fe ce ca cf c