陕西西安市高二数学《排列组合的应用》课件.ppt

知识回顾 排列定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数公式 n m n m n 一般地说 从n个不同元素中 任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数公式 组合数的两个性质 组合定义 例14名学生和4名教师站成一排 要求学生甲不在两端 共有多少种不同的排法 解法一 特殊位置法 先排两端 后排中间 共有种排法 解法二 特殊元素法 甲只排在中间6个位置 其余7人无限制共有种排法 解法三 排除法 先全排列 共有种排法 甲在两端共有种 所以共有40320 10080 30240种 优先法 对于 在 与 不在 等类似有限制条件的排列问题 常常使用 直接法 主要为 特殊位置法 和 特殊元素法 或者 排除法 即优先考虑限制条件 这种方法就是优先法 用0 1 2 9这10个数字 1 可以组成多少个5位数 2 可以组成多少个没有重复数字的5位数 3 可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的5位数 变式练习1 变式练习2 把英语单词success的各个字母作各种排列 共有多少种排法 例2七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 若三个女孩要站在一起 有多少种不同的排法 解 将三个女孩看作一人与四个男孩排队 有种排法 而三个女孩之间有种排法 所以不同的排法共有 种 捆绑法 若三个女孩要站在一起 四个男孩也要站在一起 有多少种不同的排法 说一说 相邻 例2七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 捆绑法 对于相邻问题 常常先将要相邻的元素捆绑在一起 视作为一个元素 与其余元素全排列 再松绑后它们之间进行全排列 这种方法就是捆绑法 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 解 先把四个男孩排成一排有种排法 在每一排列中有五个空格 包括两端 再把三个女孩插入空格中有种方法 所以共有 种 排法 插空法 例2七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 男生 女生相间排列 有多少种不同的排法 解 先把四个男孩排成一排有种排法 在每一排列中有三个空格 不包括两端 再把三个女孩插入空格中有种方法 所以共有 种 排法 插空法 例2七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 甲 乙两人的两边必须有其他人 有多少种不同的排法 解 先把其余五人排成一排有种排法 在每一排列中有四个空格 不包括两端 再把甲 乙插入空格中有种方法 所以共有 种 排法 插空法 例2七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 插空法 对于不相邻问题 先将其余元素全排列 再将这些不相邻的元素插入空格中 这种方法就是插空法 例3有6本不同的书按下列方式分配 问共有多少种不同的分配方式 1 分成1本 2本 3本三组 2 分给甲 乙 丙三人 其中一个人1本 一个人2本 一个人3本 3 分成每组都是2本的三个组 4 分给甲 乙 丙三人 每个人2本 1 分成1本 2本 3本三组 解分三步 先选1本有种选法 再从余下5本中选2本有种选法 最后余下的3本全选有1种选法 由分步乘法计数原理知 分配方式共有种方法 2 分给甲 乙 丙三人 其中一个人1本 一个人2本 一个人3本 解由于甲 乙 丙是不同的三个人 在 1 的基础上 还应考虑再分配问题 因此分配方式共有种 3 分成每组都是2本的三个组 解先分三步 则应是种方法 但是这里面出现了重复 不妨记6本书为a b c d e f 若第一步取了ab 第二步取了cd 第三步取了ef 记该种分法为 ab cd ef 则种分法中还有 ab ef cd cd ab ef cd ef ab ef ab cd ef cd ab 共种情况 而且这种情况仅是ab cd ef的顺序不同 因此 只能作为一种分法 故分配方式有种 4 分给甲 乙 丙三人 每个人2本 解法一 先分组后分配 在问题 3 的基础上再分配即可 共有分配方式 种 注释均匀分组问题 一般来说 km个不同的元素分成k组 每组m个 则不同的分法有 种 解法二 乘法原理 先分给甲两本 有种方法 再分给乙两本 有种方法 剩余两本分给丙 有种方法 共有种方法 课堂小结 基本的解题方法 有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优先法 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入空挡 这种方法称为 插空法 对于分组问题 要观察是否均匀分配 以及是否进行再分配 课堂练习 1 4个学生和3个老师排成一排照相 老师不能排两端 且老师必须排在一起的不同排法种数是 a b c d d 2 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 那么不同的陈列方式有 b 3 将12个人分成2 2 2 3 3的5个组 则