高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.5 独立性及二项分布课件 理 苏教版.ppt

12 5独立性及二项分布 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 条件概率及其性质 1 对于两个事件a和b 在已知事件b发生的条件下 事件a发生的概率叫 知识梳理 条件概率 p a b 做 用符号来表示 其公式为p a b p b 0 在古典概型中 若用n b 表示事件b中基本事件的个数 则p a b 2 条件概率具有的性质 如果b和c是两个互斥事件 则p b c a 0 p b a 1 p b a p c a 2 相互独立事件 1 设a b为两个事件 若p ab p a p b 则称事件a与事件b 2 若a与b相互独立 则p b a p ab p a p b a 3 若a与b相互独立 则 与也都相互独立 4 若p ab p a p b 则 相互独立 p b p a p b a与b相互独立 3 二项分布 1 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的 各次之间相互独立的一种试验 在这种试验中每一次试验只有种结果 即要么发生 要么不发生 且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p 则p x k 此时称随机变量x服从 记为 并称p为成功概率 两 二项分布 x b n p 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 条件概率一定不等于它的非条件概率 2 相互独立事件就是互斥事件 3 对于任意两个事件 公式p ab p a p b 都成立 4 二项分布是一个概率分布 其公式相当于 a b n二项展开式的通项公式 其中a p b 1 p 5 p b a 表示在事件a发生的条件下 事件b发生的概率 p ab 表示事件a b同时发生的概率 考点自测 1 袋中有3红5黑8个大小 形状相同的小球 从中依次摸出两个小球 则在第一次摸得红球的条件下 第二次仍是红球的概率为 答案 解析 2 教材改编 小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试3次 那么其中恰有1次获得通过的概率是 答案 解析 3 2015 课标全国 改编 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 答案 解析 0 648 4 2016 镇江模拟 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球 每次有放回地摸取一个球 定义数列 an an 如 答案 解析 果sn为数列 an 的前n项和 那么s7 3的概率为 用式子作答 由s7 3知 在前7次摸球中有2次摸取红球 5次摸取白球 5 教材改编 国庆节放假 甲去北京旅游的概率为 乙去北京旅游的概率为 假定二人的行动相互之间没有影响 那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一条件概率 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件a为 取到的2个数之和为偶数 事件b为 取到的2个数均为偶数 则p b a 答案 解析 2 如图所示 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 答案 解析 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 引申探究1 若将本例 1 中的事件b 取到的2个数均为偶数 改为 取到的2个数均为奇数 则结果如何 解答 2 在本例 2 的条件下 求p a b 解答 条件概率的求法 思维升华 跟踪训练1 2016 无锡模拟 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着 现需要一只卡口灯泡 电工师傅每次从中任取一只并不放回 则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下 第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 答案 解析 方法一设事件a为 第1次抽到的是螺口灯泡 事件b为 第2次抽到的是卡口灯泡 方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡 其中有7只卡口灯泡 故第2次抽到卡口灯泡的概率为 解答 题型二相互独立事件的概率 例2设某校新 老校区之间开车单程所需时间为t t只与道路畅通状况有关 对其容量为100的样本进行统计 结果如下 1 求t的概率分布 由统计结果可得t的频率分布为 以频率估计概率得t的概率分布为 解答 2 刘教授驾车从老校区出发 前往新校区做一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 2 设t1 t2分别表示往 返所需时间 t1 t2的取值相互独立 且与t的概率分布相同 设事件a表示 刘教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件a对应于 刘教授在路途中的时间不超过70分钟 方法一p a p t1 t2 70 p t1 25 t2 45 p t1 30 t2 40 p t1 35 t2 35 p t1 40 t2 30 0 2 1 0 3 1 0 4 0 9 0 1 0 5 0 91 方法二p p t1 t2 70 p t1 35 t2 40 p t1 40 t2 35 p t1 40 t2 40 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 09 故p a 1 p 0 91 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1 首先判断几个事件的发生是否相互独立 2 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时 可从其对立事件入手计算 思维升华 跟踪训练2 2016 宿迁模拟 为了分流地铁高峰的压力 某市发改委通过听众会 决定实施低峰优惠票价制度 不超过22千米的地铁票价如下表 1 求甲 乙两人所付乘车费用不相同的概率 解答 2 设甲 乙两人所付乘车费用之和为随机变量 求 的概率分布 解答 由题意可知 6 7 8 9 10 所以 的概率分布为 题型三独立重复试验与二项分布 命题点1根据独立重复试验求概率例3甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 解答 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分x的概率分布 解答 x的可能取值为0 1 2 3 故x的概率分布为 命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 1 设每盘游戏获得的分数为x 求x的概率分布 解答 x可能的取值为10 20 100 200 所以x的概率分布为 2 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 解答 设 第i盘游戏没有出现音乐 为事件ai i 1 2 3 所以 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 的概率为 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 1 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时 首先要确定好n和k的值 再准确利用公式求概率 2 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时 关键是理清事件与事件之间的关系 确定二项分布的试验次数n和变量的概率 求得概率 思维升华 跟踪训练3 2016 沈阳模拟 某学校举行联欢会 所有参演的节目都由甲 乙 丙三名专业老师投票决定是否获奖 甲 乙 丙三名老师都有 获奖 待定 淘汰 三类票各一张 每个节目投票时 甲 乙 丙三名老师必须且只能投一张票 每人投三类票中的任何一类票的概率都为 且三人投票相互没有影响 若投票结果中至少有两张 获奖 票 则决定该节目最终获一等奖 否则 该节目不能获一等奖 1 求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率 解答 设 某节目的投票结果是最终获一等奖 这一事件为a 则事件a包括 该节目可以获两张 获奖 票 或者获三张 获奖 票 2 求该节目投票结果中所含 获奖 和 待定 票票数之和x的概率分布 解答 所含 获奖 和 待定 票票数之和x的值为0 1 2 3 因此x的概率分布为 典例 1 中国乒乓球队甲 乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛 甲夺得冠军的概率是 乙夺得冠军的概率是 那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 2 某射手每次射击击中目标的概率都是 这名射手射击5次 有3次连续击中目标 另外两次未击中目标的概率是 独立事件与互斥事件 现场纠错系列16 错解展示 现场纠错 纠错心得 1 搞清事件之间的关系 不要混淆 互斥 与 独立 2 区分独立事件与n次独立重复试验 解析 1 设 甲夺得冠军 为事件a 乙夺得冠军 为事件b 返回 a b是互斥事件 2 设 第i次射击击中目标 为事件ai i 1 2 3 4 5 射手在5次射击中 有3次连续击中目标 另外2次未击中目标 为事件a 则 返回 课时作业 1 把一枚硬币连续抛两次 记 第一次出现正面 为事件a 第二次出现正面 为事件b 则p b a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 常州模拟 如果x b 15 则使p x k 取最大值的k值为 答案 解析 3或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知a b是两个相互独立事件 p a p b 分别表示它们发生的概率 则1 p a p b 是下列哪个事件的概率 事件a b同时发生 事件a b至少有一个发生 事件a b至多有一个发生 事件a b都不发生 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 p a p b 是指a b同时发生的概率 1 p a p b 是a b不同时发生的概率 即事件a b至多有一个发生的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 甲射击命中目标的概率是 乙命中目标的概率是 丙命中目标的概率是 现在三人同时射击目标 则目标被击中的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 甲命中目标 为事件a 乙命中目标 为事件b 丙命中目标 为事件c 则击中目标表示事件a b c中至少有一个发生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2017 南通质检 设随机变量x服从二项分布x b 5 则函数f x x2 4x x存在零点的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 无锡模拟 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0 9 服用这种新药的有甲 乙 丙3位病人 且各人之间互不影响 有下列结论 3位病人都被治愈的概率为0 93 3人中的甲被治愈的概率为0 9 3人中恰有2人被治愈的概率是2 0 92 0 1 3人中恰好有2人未被治愈的概率是3 0 9 0 12 3人中恰好有2人被治愈 且甲被治愈的概率是0 92 0 1 其中正确结论的序号是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设随机变量x b 2 p 随机变量y b 3 p 若p x 1 则p y 1 答案 解析 x b 2 p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 如图所示的电路有a b c三个开关 每个开关开或关的概率都是 且是相互独立的 则灯泡甲亮的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 灯泡甲亮满足的条件是a c两个开关都开 b开关必须断开 否则短路 设 a闭合 为事件a b闭合 为事件b c闭合 为事件c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 无锡模拟 高三毕业时 甲 乙 丙等五位同学站成一排合影留念 已知甲 乙二人相邻 则甲 丙二人相邻的概率是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 甲 乙二人相邻 为事件a 甲 丙二人相邻 为事件b 则所求概率为p b a ab表示事件 甲与乙 丙都相邻 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 苏州质检 把一枚硬币任意抛掷三次 事件a 至少一次出现反面 事件b 恰有一次出现正面 则p b a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 1 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 这4个人中恰有k人去参加甲游戏 为事件ak k 0 1 2 3 4 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 解答 设 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件b 则b a3 a4 由于a3与a4互斥 故 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 用x y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 x y 求随机变量 的概率分布 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 的所有可能取值为0 2 4 由于a1与a3互斥 a0与a4互斥 所以 的概率分布是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 在一块耕地上种植一种作物 每季种植成本为1000元 此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性 且互不影响 其具体情况如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 设x表示在这块地上种植1季此作物的利润 求x的概率分布 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a表示事件 作物产量为300kg b表示事件 作物市场价格为6元 kg 由题设知p a 0 5 p b 0 4 因为利润 产量 市场价格 成本 所以x所有可能的取值为500 10 1000 4000 500 6 1000 2000 300 10 1000 2000 300 6 1000 800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 5 0 4 0 5 1 0 4 0 5 p x 800 p a p b 0 5 0 4 0 2 故x的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若在这块地上连续3季种植此作物 求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设ci表示事件 第i季利润不少于2000元 i 1 2 3 由题意知c1 c2 c3相互独立 由 1 知 p ci p x 4000 p x 2000 0 3 0 5 0 8 i 1 2 3 3季的利润均不少于2000元的概率为p c1c2c3 p c1 p c2 p c3 0 83 0 51