高三数学一轮复习必备精品42：高考选作部分(4-1、4-4、4-5)备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全

1 第 42 讲 高考选做部分 高考选做部分 4 1 4 4 4 5 备注 备注 高三数学一轮复习必备精品高三数学一轮复习必备精品共共 4242 讲讲 全部免费全部免费 欢迎下载欢迎下载 2007 广东 理理 13 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 3 3 xt yt 参数 t R 圆 C 的参数方程为 cos 2sin2 x y 参数 0 2 则圆 C 的圆心坐标为 圆心到直 线 l 的距离为 答案 0 2 2 2 解析 直线的方程为 x y 6 0 d 26 2 2 2 14 不等式选讲选做题 设函数 21 3 f xxx 则 2 f 若 5f x 则 x 的取值范围是 答案 6 1 1 2 15 几何证明选讲选做题 如图所示 圆 的直径为 为圆 周上一点 过 作圆的切线 过 作 的垂线 垂足为 则 线段 AE 的长为 答案 6 3 解析 根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余 很容易得到答案 AE EC BC 3 2007广东 文文 14 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 直线l的方程为 sin 3 则点 2 6 到直线l的距离为 解析 法1 画出极坐标系易得答案2 法2 化成直角方程3y 及直角坐标 3 1 可得答案2 15 几何证明选讲选做题 如图4所示 圆O的直径AB 6 C为圆周上一点 BC 3过C作圆的切线l 过A 作l的垂线AD 垂足为D 则 DAC 解析 由某定理可知60DCAB 又ADl 故30DAC 2007 海南 宁夏 海南 宁夏 22 请考生在请考生在ABC 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时 用三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作答时 用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知AP是O 的切线 P为切点 AC是 O 的割线 与O 交于BC 两点 圆心O在PAC 的 内部 点M是BC的中点 证明APOM 四点共圆 l O D C B A A P O M C B 2 求OAMAPM 的大小 证明 连结OPOM 因为AP与O 相切于点P 所以OPAP 因为M是O 的弦BC的中点 所以OMBC 于是180OPAOMA 由圆心O在PAC 的内部 可知四边形APOM的对角 互补 所以APOM 四点共圆 解 由 得APOM 四点共圆 所以OAMOPM 由 得OPAP 由圆心O在PAC 的内部 可知90OPMAPM 所以90OAMAPM 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 1 O 和 2 O 的极坐标方程分别为4cos4sin 把 1 O 和 2 O 的极坐标方程化为直角坐标方程 求经过 1 O 2 O 交点的直线的直角坐标方程 解 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标系中取相同的长度单位 cosx siny 由4cos 得 2 4 cos 所以 22 4xyx 即 22 40 xyx 为 1 O 的直角坐标方程 同理 22 40 xyy 为 2 O 的直角坐标方程 由 22 22 40 40 xyx xyy 解得 1 1 0 0 x y 2 2 2 2 x y 即 1 O 2 O 交于点 0 0 和 22 过交点的直线的直角坐标方程为yx 22 本小题满分 10 分 选修45 不等式选讲 设函数 214f xxx I 解不等式 2f x II 求函数 yf x 的最小值 解 1 2 O 2y 4x y A P O M C B 3 令214yxx 则 1 5 2 1 334 2 54 xx yxx xx 3 分 作出函数214yxx 的图象 它与直线2y 的交点为 7 2 和 5 2 3 所以2142xx 的解集为 5 7 3 xx 由函数214yxx 的图像可知 当 1 2 x 时 214yxx 取得最小值 9 2 2008 广东 理理 13 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 CC 的极坐标方程分别为cos3 4cos0 0 2 则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 标准答案标准答案 2 3 6 试题解析试题解析 我们通过联立解方程组 cos3 0 0 4cos2 解得 2 3 6 即两曲线的交点为 2 3 6 高考考点高考考点 极坐标 极坐标方程 14 不等式选讲选做题 已知a R 若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa 有实根 则a的取值范 围是 标准答案标准答案 1 0 4 试题解析试题解析 关于x的二次方程的判别式 1 1 4 4 aa 方程有实根 那么 1 1 4 0 4 aa 4 即 11 44 aa 而 11 2 44 aaa 从而 11 2 44 a 解得 1 0 4 a 高考考点高考考点 不等式选讲 15 几何证明选讲选做题 已知PA是圆O的切线 切点为A 2PA AC是圆O的直径 PC与 圆O交于点B 1PB 则圆O的半径R 标准答案标准答案 3 试题解析试题解析 依题意 我们知道PBAPAC 由相似三角形的性质我们有 2 PAPB RAB 即 22 221 3 22 1 PA AB R PB 高考考点高考考点 几何证明选讲 2008 广东 文文 14 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 C C的极坐标方程分别为 cos3 4cos 0 0 2 则曲线 1 C 2 C交点的极坐标为 解析 我们通过联立解方程组 cos3 0 0 4cos2 解得 2 3 6 即两曲线的交点为 2 3 6 15 几何证明选讲选做题 已知 PA 是圆 O 的切点 切点为 A PA 2 AC 是圆 O 的直径 PC 与圆 O 交于 B 点 PB 1 则圆 O 的半径 R 解析 依题意 我们知道PBAPAC 由相似三角形的性质我们有 2 PAPB RAB 即 22 221 3 22 1 PA AB R PB 2008 海南 宁夏 海南 宁夏 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 过圆 O 外一点 M 作它的一条切线 切点为 A 过 A 作直线 AP 垂直直线 OM 垂足为 P 证明 OM OP OA2 N 为线段 AP 上一点 直线 NB 垂直直线 ON 且交 圆 O 于 B 点 过 B 点的切线交直线 ON 于 K 证明 OKM 90 试题解析 证明 因为MA是圆O的切线 所以OA AM 又因为AP OM 在Rt OAM 中 由射影定理 知 K B P A OM N 5 2 OAOM OP 证明 因为BK是圆O的切线 BN OK 同 有 2 OBON OK OB OA 所以OP OMON OK 即 ONOM OPOK 又 NOPMOK 所以 NOPMOK 故 90OKMOPN 高考考点高考考点 圆的有关知识及应用 易错点易错点 对有关知识掌握不到位而出错 21 世纪教育网备考提示世纪教育网备考提示 高考对平面几何的考查一直要求不高 故要重点掌握 它是我们的得分点 之一 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 sin cos y x 为参数 曲线 C2 2 2 2 2 2 y tx t 为参数 指出 C1 C2各是什么曲线 并说明 C1与 C2公共点的个数 若把 C1 C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半 分别得到曲线 12 C C 写出 12 C C 的参数 方程 1 C 与 2 C 公共点的个数和 C 21 C与公共点的个数是否相同 说明你的理由 试题解析 C1是圆 C2是直线 C1的普通方程是 22 1xy C2的普通方程是 20 xy 因为圆心C1到直线 20 xy 的距离是1 所以C1与C2只有一个公共点 压缩后的参数方程分别为 C1 cos 1 sin 2 x y 为参数 曲线 C2 2 2 2 2 4 xt t yt 为参数 化为普通方程为 1 C 22 41xy 2 C 12 22 yx 联立消元得 2 22 210 xx 6 其判别式 2 2 2 4 2 10 所以压缩后的直线 2 C与椭圆 1 C仍然只有一个公共点 和 C1与 C2的公共点的个数相同 高考考点高考考点 参数方程与普通方程的互化及应用 易错点易错点 对有关公式掌握不到位而出错 备考提示备考提示 高考对参数方程的考查要求也不高 故要重点掌握 它也是我们的得分点之一 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 4 8 xxxf 作出函数 xfy 的图像 解不等式2 4 8 xx 试题解析 令 214yxx 则 4 2128 4 x yf xxx x 4 4 8 3分 图象如图所示 不等式 8 42xx 即 2f x 由 2122x 得 5x 由函数 f x 图象可知 原不等式的解集为 5 高考考点高考考点 绝对值不等式的有关知识及应用本题主要考查参数方程与普通方程的互化 以及转化与化 归的思想 分析问题与解决问题的能力 易错点易错点 对绝对值不等式不会灵活分类而出错 备考提示备考提示 高考对绝对值不等式的考查要求不高 以中档题为主 故是我们的得分点之一 平时复 习时不要盲目加深 2008 江苏卷 附加题 21 从 A B C D 四个中只能选做 2 题 每小题 10 分 共计 20 分 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 2 EDEC EB 证明 如图 因为AE 是圆的切线 所以 ABCCAE 又因为AD是BAC 的平分线 所以 BADCAD 从而 ABCBADCAECAD 因为 ADEABCBAD DAECADCAE 7 所以 ADEDAE 故EAED 因为 EA是圆的切线 所以由切割线定理知 2 EAEC EB 而EAED 所以 2 EDEC EB B 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中 设椭圆 22 41xy 在矩阵 20 01 A 对应的变换作用下得到曲线 F 求 F 的方程 解 设 00 P xy是椭圆上任意一点 点 00 P xy在矩阵A对应的变换下变为点 00 P xy 则有 00 0 0 2 0 0 1 xx y y 即 00 00 2xx yy 所以 0 0 00 2 x x yy 又因为点P在椭圆上 故 22 00 41xy 从而 2 2 00 1xy 所以 曲线F的方程是 22 1xy C 选修 4 4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy中 点 P xy 是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一个动点 求Sxy 的最大值 解 因椭圆 2 2 1 3 x y 的参数方程为 3cos sin x y 为参数 故可设动点P的坐标为 3cos sin 其中02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当 6 时 S取得最大值 2 D 选修 4 5 不等式证明选讲 设 a b c 为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 证明 因为 a b c为正实数 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc 即 333 1113 abcabc 8 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc 所以 333 111 2 3abc abc 22 必做题 如图 设动点 P 是棱长为 1 的正方体 1111 ABCD ABC D的对角线 1 BD上一点 记 1 1 D P D B 当APC 为钝角时 求 的取值范围 解 由题设可知 以DA DC 1 DD 为单位正交基底 建立如 图所示的空间 直角坐标系Dxyz 则有 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D 由 1 1 1 1 D B 得 11 D PD B 所以 11 1 0 1 1 1 PAPDD A 11 0 1 1 1 1 PCPDDC 显然APC 不是平角 所以APC 为钝角等价于 coscos 0 PA PC APCPA PC PA PC 则等价于0PA PC 即 2 1 1 1 1 31 0 得 1 1 3 因此 的取值范围是 1 1 3 23 必做题 请先阅读 在等式 2 cos22cos1xx x R 的两边求导 得 2 cos2 2cos1 xx 由求导法则 得 sin2 24cos sin xxx 化简得等式 sin22cossinxxx 1 利用上题的想法 或者其他方法 试由等式 0122 1 CCCC nnn nnnn xxxx x R 正 整数2n 证明 11 2 1 1 C n nkk n k nxkx 2 对于正整数3n 求证 i 1 1 C0 n kk n k k ii 2 1 1 C0 n kk n k k iii 1 1 121 C 11 n n k n k kn 9 证明 1 在等式 0122 1 CCCC nnn nnnn xxxx 两边对x求导得 112121 1 2 1 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC x 移项得 11 2 1 1 n nkk n k nxkC x 2 i 在 式中 令1x 整理得 1 1 1 0 n kk n k kC 所以 1 1 0 n kk n k kC ii 由 1 知 112121 1 2 1 3 nnnnn nnnn nxCC xnCxnC xn 两边对x求导 得 2232 1 1 23 2 1 nnn nnn n nxCC xn nC x 在上式中 令1x 2322 023 2 1 1 1 n nnn CCn nC 即 2 2 1 1 0 n kk n k k kC 亦即 2 2 1 0 n kk n k kk C 又由 i 知 1 1 0 n kk n k kC 由 得 2 1 1 C0 n kk n k k iii 将等式 0122 1 CCCC nnn nnnn xxxx 两边在 0 1 上对x积分 11 0122 00 1 CCCC nnn nnnn xdxxxx dx 由微积分基本定理 得 1 111 00 0 11 1 11 n nkk n k xC x nk 所以 1 0 121 11 n n k n k C kn 2009 广东卷广东卷 10 13 坐标系与参数方程选做题 若直线 2 21 1 kty tx l t为参数 与直线 2 1 2 xs l ys s为参数 垂直 则k 解析 1 2 2 k 得1 k 14 不等式选讲选做题 不等式 1 1 2 x x 的实数解为 解析 1 1 2 x x 2 3 02 2 1 02 21 22 x x xx x xx 且2 x 15 几何证明选讲选做题 如图 4 点 A B C是圆O上的点 且 0 4 45ABACB 则圆O的面积等于 解析 解法一 连结OA OB 则 0 90 AOB 4 AB OBOA 22 OA 则 8 22 2 圆 S 解法二 2224 45sin 4 2 0 RR 则 8 22 2 圆 S 2009 江苏卷江苏卷 21 选做题选做题 在 A B C D 四小题中只能选做两题只能选做两题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域答题卡指定区域内 作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在四边形 ABCD 中 ABC BAD 求证 AB CD 解析 本小题主要考查四边形 全等三角形的有关知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 由 ABC BAD 得 ACB BDA 故 A B C D 四点共圆 从而 CBA CDB 再由 ABC BAD 得 CAB DBA 因此 DBA CDB 所以 AB CD B 选修 4 2 矩阵与变换 求矩阵 32 21 A 的逆矩阵 解析 本小题主要考查逆矩阵的求法 考查运算求解能力 满分 10 分 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 xy zw 则 3210 2101 xy zw 11 即 323210 2201 xzyw xzyw 故 321 320 20 21 xzyw xzyw 解得 1 2 2 3xzyw 从而 A 的逆矩阵为 1 12 23 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 解析 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 因为 2 1 2 xt t 所以 2 1 2 3 y xt t 故曲线 C 的普通方程为 2 360 xy D 选修 4 5 不等式选讲 设a b 0 求证 33 32ab 22 32a bab 解析 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法 考查代数式的变形能力 满分 10 分 证明 33222222 32 32 3 2 32 aba babaabb baabab 因为a b 0 所以ab 0 22 32ab 0 从而 22 32 abab 0 即 33 32ab 22 32a bab 2009 海南宁夏卷海南宁夏卷 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 已知 ABC 中的两条角平分线AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且 AEAF 1 证明 B D H E四点共圆 2 证明 CE 平分 DEF 22 解 在 ABC 中 因为 B 60 21 世纪教育网 12 所以 BAC BCA 120 因为 AD CE 是角平分线 所以 HAC HCA 60 21 世纪教育网 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因为 EBD EHD 180 所以 B D H E 四点共圆 连结 BH 则 BH 为ABC 的平分线 得HBD 30 w 由 知 B D H E 四点共圆 所以CEDHBD 30 又AHEEBD 60 由已知可得EFAD 可得CEF 30 所以 CE 平分DEF 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 23 解 22 22 12 4 3 1 1 649 xy CxyC 1 C为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 2 C为中心是坐标原点 焦点在x轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 当 2 t 时 4 4 8cos 3sin PQ 故 3 24cos 2sin 2 M 3 C为直线270 xy M 到 3 C的距离 5 4cos3sin13 5 d 13 从而当 43 cos sin 55 时 d取得最小值 8 5 5 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 如图 O为数轴的原点 A B M为数轴上三点 C为线段OM上的动点 设x表示C与原点的距离 y 表示C到A距离 4 倍与C到B距离的 6 倍的和 1 将y表示为x的函数 2 要使y的值不超过 70 x 应该在什么范围内取值 24 解 4 10 6 20 030yxxx 依题意 x满足 4 10 6 20 70 030 xx x 解不等式组 其解集为 9 23 所以 9 23 x 2009 辽宁理卷辽宁理卷 22 本小题满分 10 分 选修 4 l 几何证明选讲 己知 ABC 中 AB AC D 是 ABC 外接圆 劣弧 AC上的点 不与点 A C 重合 延长 BD 至 E 1 求证 AD 的延长线平分CDE 2 若 0 30BAC ABC 中 BC 边上的高23 求 ABC 外接圆的面积 22 解 1 如图 设 F 为 AD 延长线上一点 A B C D 四点共圆 CDF ABC 又 AB