江苏省邳州市高中数学 2.5 对数与对数函数课件 苏教版必修2.ppt

要点梳理1 对数的概念 1 对数的定义一般地 如果 那么数x叫做以a为底n的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 a n 2 5对数与对数函数 基础知识自主学习 ax n a 0且a 1 x logan 2 几种常见对数2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 logaan a 0且a 1 e lnn lgn logan 10 n n 2 对数的重要公式 换底公式 a b均大于零且不等于1 推广logab logbc logcd 3 对数的运算法则如果a 0且a 1 m 0 n 0 那么 loga mn logad logam logan logam logan logamn n r 3 对数函数的图象与性质 nlogam r 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 1 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 基础自测1 已知3a 5b a 且 则a的值是 解析 3a 5b a a log3a b log5a loga3 loga5 loga15 2 a2 15 2 已知log7 log3 log2x 0 那么 解析由条件知log3 log2x 1 log2x 3 x 8 3 若函数y loga x b a 0 且a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则a b 解析由题意得 2 2 4 若f x logax在 2 上恒有f x 1 则实数a的取值范围是 解析据题意a 1 f x 为增函数 当x 2 时 f x loga2 故要使f x 1恒成立 只需f x min loga2 1 1 a 2 1 2 例1 计算 1 log32 log92 log43 log83 2 利用对数定义求值 利用对数的运算性质 解 典型例题深度剖析 分析 跟踪练习1 2010 泰州调研 化简求值 1 2 lg2 2 lg2 lg50 lg25 解 2 原式 lg2 lg2 lg50 lg25 2lg2 lg25 lg100 2 例2 已知f x 2 log3x x 1 9 求y f x 2 f x2 的最大值及y取最大值时x的值 先求函数的定义域 再求中间变量t log3x的值域 利用二次函数的图象求其最大值即可 解 f x 2 log3x y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 6log3x 6 log3x 3 2 3 函数f x 的定义域为 1 9 分析 要使函数y f x 2 f x2 有意义 1 x 3 0 log3x 1 6 y log3x 3 2 3 13 当log3x 1 即x 3时 y 13 当x 3时 函数y f x 2 f x2 取最大值13 跟踪练习2求函数在2 x 4范围内的最值 解 2 x 4 2 t 1 当t 1时 即x 2时 ymax 当t 2时 即x 4时 ymin 2 例3 对于函数回答下列问题 1 若f x 的定义域为r 求实数a的取值范围 2 若f x 的值域为r 求实数a的取值范围 3 若函数f x 在 1 内有意义 求实数a的取值范围 4 若函数f x 的定义域为 1 3 求实数a的值 5 若函数f x 的值域为 1 求实数a的值 6 若函数f x 在 1 内为增函数 求实数a的取值范围 综合应用对数有关性质 分析 解设u g x x2 2ax 3 x a 2 3 a2 1 u 0对x r恒成立 umin 3 a2 0 2 f x 的值域为r u g x 的值域为 0 4a2 12 0 实数a的取值范围是 3 由函数f x 在 1 内有意义 知u x2 2ax 3 0对x 1 上恒成立 g x 的对称轴为x a 当a0即解得 20的解集为 x x3 x2 2ax 3 0时两根为1和3 2a 1 3即a 2 5 y f x 1 u g x 的值域为 2 3 a2 2即a 1 6 命题等价于即所求a的取值范围是 1 2 跟踪练习3已知函数f x log2 x2 ax a 在区间 上是单调递减函数 求实数a的取值范围 解令g x x2 ax a 由以上知g x 的图象关于直线对称且此抛物线开口向上 因为函数f x log2g x 的底数2 1 在区间 上是减函数 所以g x x2 ax a在区间 上也是单调减函数 且g x 0 答案错 例4 14分 已知函数f x logax a 0 a 1 如果对于任意x 3 都有 f x 1成立 试求a的取值范围 当x 3 时 必有 f x 1成立 可以理解为函数 f x 在区间 3 上的最小值不小于1 解题示范解当a 1时 对于任意x 3 都有f x 0 所以 f x f x 而f x logax在 3 上为增函数 分析 对于任意x 3 有f x loga3 4分 因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要loga3 1 logaa即可 1 a 3 6分 当0 a 1时 对于x 3 有f x 0 f x f x 8分 f x logax在 3 上为减函数 f x 在 3 上为增函数 对于任意x 3 都有 f x f x loga3 10分 因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要 loga3 1成立即可 12分 综上 使 f x 1对任意x 3 都成立的a的取值范围是 1 3 1 14分 跟踪练习4 2009 从化期中 已知函数f x log4 4x 1 kx k r 是偶函数 1 求k的值 2 设g x log4 a 2x a 若函数f x 与g x 的图象有且只有一个公共点 求实数a的取值范围 解 1 由函数f x 是偶函数可知f x f x log4 4x 1 kx log4 4 x 1 kx 即x 2kx对一切x r恒成立 k 2 函数f x 与g x 的图象有且只有一个公共点 即方程log4 4x 1 log4 a 2x a 有且只有一个实根 化简得 方程有且只有一个实根 令t 2x 0 则方程 a 1 t2 at 1 0有且只有一个正根 当a 1时 t 不合题意 当a 1 0时 a 或 3 若a 则t 2 不合题意 若a 3则t 一个正根与一个负根 即0 则a 1 综上 实数a的取值范围是 3 1 高考中常以填空题的形式考查对数 对数函数的图象与性质 往往也有以解答题形式出现的综合题 与导数结合考查单调性 极值 最值及某些参数的范围问题 思想方法感悟提高 高考动态展望 1 指数式ab n与对数式logan b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键 2 在运算性质logamn nlogam时 要特别注意条件 在无m 0的条件下应为logamn nloga m n n 且n为偶数 3 注意对数恒等式 对数换底公式及等式在解题中的灵活应用 方法规律总结 一 填空题1 2009 全国 改编 设则a b c的大小关系为 解析 a log3 1 b log23b a c b c a b c a b c 定时检测 2 2009 福建厦门模拟 函数y lgx lg x 1 的定义域为a y lg x2 x 的定义域为b 则a b的关系是 解析由已知得 a x x 1 由x2 x 0得x 1或x1或x 0 3 2009 广东改编 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 其图象经过点 a 则f x 解析由y ax得 x logay 即f x logax 4 2009 南京十三中三模 已知f x 是r上的减函数 那么a的取值范围是 解析由已知 5 2010 江苏泰州月考 函数的递增区间是 解析由x2 3x 2 0得x2 当x 1 时 f x x2 3x 2单调递减 而0 1 由复合函数单调性可知在 1 上是单调递增的 在 2 上是单调递减的 1 6 2010 泰州模拟 方程log3 x2 10 1 log3x的解是 解析log3 x2 10 log33x x2 10 3x x2 3x 10 0 x 2或x 5 检验知x 5适合 7 2009 辽宁改编 已知函数f x 满足 当x 4时 f x 当x4 故f 3 log23 5 8 2010 淮北调研 函数f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值和最小值之和为a 则a的值为 解析 y ax与y loga x 1 具有相同的单调性 f x ax loga x 1 在 0 1 上单调 f 0 f 1 a 即a0 loga1 a1 loga2 a 化简得1 loga2 0 解得 9 2009 广东五校联考 设a 0 a 1 函数f x 有最大值 则不等式loga x2 5x 7 0的解集为 解析设t lg x2 2x 3 lg x 1 2 2 当x 1时 tmin lg2 又函数y f x 有最大值 所以00 得0 x2 5x 7 1 解得2 x 3 故不等式解集为 x 2 x 3 2 3 二 解答题10 2010 江苏启东中学模拟 已知函数f x 在区间 上为增函数 求a的取值范围 解令g x x2 ax a f x 在 上为增函数 g x 应在 上为减函数且g x 0在 上恒成立 因此故实数a的取值范围是 1 a 11 2010 舟山调研 已知函数y 在 2 上是增函数 求a的取值范围 解因为 x x2 2ax 3在 a 上是减函数 在 a 上是增函数 要使y 在 2 上是增函数 首先必有0 a2 1 即0 a 1或 1 a 0 且有 12 2010 扬州模拟 已知函数f x loga x 1 a 1 若函数y g x 图象上任意一点p关于原点的对称点q的轨迹恰好是函数f x