【毕业学位论文】（Word原稿）微分方程在经济中的应用

目 录 1绪论 . 1 2经济问题的边际分析 函数的绝对变化率 . 2 备知识 . 2 体应用 . 2 3. 经济问题的弹性分析 函数 的 相对变化率 . 4 备知识 . 4 体应用 . 5 4计算连续复利 . 6 备知识 . 6 体应用 . 6 5. 经济模型中的应用 . 9 辑斯谛 ( 程 . 9 备知识 . 9 体应用 . 10 格调整模型 . 11 备知识 . 11 体应用 . 12 它 . 13 才分配问题 . 13 民收入与国民债务问题 . 14 结束语 . 15 参考文献 . 16 致 谢 . 17 - 1 - 微分方程在经济中的应用 数学与 应用数学 专业 摘 要 随着全球信息化、经济化的快速发展 ,特别 是进入 知识经济时代 的二十一世纪 ,数学科学的地位发生了巨大的变化 ,在诸多领域中都有很广泛的应用 是不言而喻的 ,但是 大多数人对其认识甚微 ,因此 在本文中主要 就微分方程在经济中的应用做一些粗浅的探讨 边际分析 ,弹性分析 ,连续复利以及一些价格问题的建模等几个方面展开讨 论 ,深层次说明微分方程可以分析经 济问题 ,或者可以将一些经济问题抽 象 化 ,从而解决这些问题 . 关 键 词 微分方程 ;经济 ;边际 ;弹性 ;建模 1绪论 当今数学科学的发展 ,已经深入到各行各业各个领域 ,今日数学已不仅是一门科学 ,还是一种关键的普遍实施和广泛应用的技术 ,正如姜伯驹 院士所说 :“ 数学已从幕后走到台前 ,直接为社会创造价值 1.” 可以说当今世界 数学无处不在 渗透社会的各个行业 ,也深入人们的日常生活和工作 系实际 并应用于实际 的重要桥梁 微分方程 ,其所起的作用更是不言而喻 颇为广泛 ,比如在经济 学 、物理 学、管理科技学 等实际问题中 就其在经济中的一些应用做一些粗浅的讨论 . 首先让我们来了解下什么是微分方程 : 所谓 微分方程 ,就是含有自变量、 未知函数以及未知函数的 某些 导数 (或微分 )的等式 . 微分方程包括常微分方程与偏微分方程 函数 (即自变量只有一个 ),这种 微分方程称为 常微分方程 即自变量多于一个 )这种微分方程称为 偏微分方程 . 例如 ,以下各式都是微分方程 : (1) 22) )(22 - 2 - (3) )()( (4) 0s 经济问题的边际分析 函数的绝对 变化率 备知识 为了研究经济变量之 间的联系及其内在规律常常建立某一经济函数及其导数所满足的关系式 ,并由此确定所研究函数的形式 ,从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式 下面我们先 来看一下微 分方程在边际 分析中的应用 . 边际分析研究的是 经济函数的绝对改变量与 绝对变化率 ,它所分析的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少 ? 在经济分析中 ,描述一个经济变量 y 对于另一个经济变量 x 的变化通常要用到“平均 ” 和“边际”这两个概念 .“平均”表示自变量 x 在某一范围内取值 时函数 y 的变化 ,是区间内 y 的平均变化率；“边际”表示当自变量 x 的改变量 x 趋于 0 时 ,函数 y 的相应改变量 y 与 x 的比值的变化 ,即 :当自变量 x 在某一 给定值附近有微小变化时 ,函数 y 的瞬 时变化 . 设函数 )(可导 ,则称x )()(为“平均变化率” ,称x )()(0为 点 x 的变化率 “ 边际 ” “边际”就是微积分中的导数在经济分析中的代词 ( 对自变量 x 的一阶导数 )(称为 )( 的边际函数 ,记作 2. 边际函数 ） 的经济意义 :在自变量 x 水平上 ,当自变量改变一个单位时函数 )(改变量的近似值 随着经济变量 y 和 x 的具体含义不同 ,边际函数经济意义的具体含义也有所不同 体 应用 例 1 如果已知人们收入每增加一个单位 , 时 ,消费为 1 (单位 :亿元 ),试求消费函数 . - 3 - 解 :由 已知 得 31则得 321 直接积分得 3232 当 0x ,由已知 1y ,则 求得 1C 因此 132 则 132 的 消费函数 . 例 2 某种特定商品的消费 y 随收入 x 变化而变化的关系如下方程给定 ,式中 k 是常数 ,设当 0x 时 , ,求消费函数 . 解 : 是一阶 线 性 非齐次 微分方程 , 据求解公式可求得 )( x 由已知当 0x 时 , ,得 )( x 则 )( x 为所求消费函数 . 例 3 某汽车公司的小汽车运行成本 y 及小汽车的转卖值 s 均是时间 t 的函数 ,若已知, 1,且 0t 时 , 万元 /辆 )t 的函数关系 . 解 :由 1得 1 - 4 - 代入初始条件 得 . 于是 将上式代入方程得 194 解此方程 得 t 3134 代入初始条件 0t , 0y ,得 43C 于是 则小汽车的运行成本及转卖值各自与时间 t 的函数关系为 )1(34 31 3 经济问题的弹性分析 函数 的 相对变化率 备知识 边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率 但毕竟有局限性 它们的实际值依赖于所用的计量单位 ,无法在不同的产品之间进行比较等 我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率 弹性分析 的弹性函数定义为 xf .(注 :涉及弹性函数概念所建立的方程多半是微分方程 ) 在经济工作中 ,弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率 ,它所 分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几 ?它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度 析的应用也非常广泛 ,许多 现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分 - 5 - 析 3. 体应用 例 4 某商品的销售量 x 是价格 P 的函数 ,如果要使该商品的销售收入在价格变化的情况下保持不变 ,则销售量 x 对于价格 P 的函数关系满足什么样的微分方程 ?在这种情况下 ,该商品的需求量相对价格 P 的弹性是多少 ? 解 : 由题意得销售收入 )()( (常数 ),在上式两端对 P 求导 ,得到 )(满足的微分方程 0)()( 即 ()( 则销售量 x 对于价格 P 的函数关系为 ()( 且 1 的弹性是 例 5 已知某商品的需求价格弹性为 )1( 当 1P 时 ,需求量1Q . (1)求商品对价格的需求函数； (2)当 P 时 ,需求是否趋于稳定 . 解 :(1)由 )1( 得到 两端积分得 - 6 - 将初始条件 1P 时 , 1Q 代入上式得 0C 于是所求的需求函数为 (2)因为当 P 时 , 0Q ,即需求趋于稳定 . 4计算连续复利 备知识 设本金为0A,利率为 r ,期数为 t ,如果每期结算一次 ,则本利和 10 如果每期结算 m 次 、 t 期本利和 为 10 如果说上面是离散 (m 只取离散值 )复利的计算公式的话 ,那么 连续复利的计算公式是什么呢？我们设 连续复利的利息为 r ,且 A 是任何时刻的总金额 (本金加任何时刻所积累的利息 ),由于 任何时刻的总金额的变化率与总金额本身成正比 ,则 得 比例系数 为 r ,则 有 显然可知 其为 一可分离变量方程 ,解之得ln c ,或 意到本金 0A ,即 0t 时 0,因而 ,则其即为连续复利的计算公式 4. 注 :使用此公式不仅可以计算所谓的连续复利问题 ,此公式还反映了现实世界中一些事物增长和衰减的数量规律 人口的增长等 设有一机器原价值 10 万元 ,因逐年损耗 ,每年价值减少 %利用此公式可以知道 10年后，该机器的价值大约是 91393 元 5. 体应用 例 6 某银行帐户 ,以连续复利方式计息 ,年利率为 %5 ,希望连续 20 年以每年12000 元人民币的速率用 这一帐户支付职工工资 ,若 t 以年为单位 ,号上余额） 所满足的微分方程 ,且问当初始存入的数额 0B 为多少时 ,才能使 20 年后 - 7 - 帐户中的余额精确地减至 0 . 解 :显 然 ,银行余额的变化速率 =利息盈取速率工资支付速率 因为时间 t 以年为单位 ,银行余额的变化速率为 ,工资支付的速率为每年 12000 元 ,于是 有 1 2 0 利用分离变量法解此方程得 2 40 0 由00| BB t ,得 2400000 故 2 4 0 0 0 0)2 4 0 0 0 0( 由题意 ,令 20t 时 , 0B 即 2 4 0 0 0 0)2 4 0 0 0 0(0 0 由此得 10 240000240000 20 年后银行的余额为零 . 例 7 某篮球明星与一个篮球俱乐部签定一项合同 ,合同规定 ,俱乐部在 20 年内连续每年末支付给该明星 20 万 元人民币 ,假定银行存款以 %5 的年复利的方式计息 (1)问俱乐部老板在签约当天应在银行中存入多少钱 ,才能保证付清合同所规定的应付给该明星的钱呢？ (2)如果合同规定永不停止地向该明星及其后代每年支付 20 万元 ,那么老板应在银行中存入多少钱呢？ (3)如果合同规定第 n 年末支付 n 万元 ),2,1( n ,问老板又应在银 行中存入多少钱？ (4)若篮球明星要求第 n 年末支付 n) 万元 ,并且永不停止地支付下 去 - 8 - 老板能答应吗？为什么？ 解 :(1)设老板在银行中存入的本金为 A (单位为万元 ,以下同 )年利率 i ,则第一年末的本利和为 )1( ,第 n 年末的本利和应为 1( ,假定为第 n 年支付而存入的本金为第 n 年末的本利和应为 nn 1( )20,2,1( n,为保证每年末都能支付 20 万元 ,则每年末的本利和最少应等于 20 万元 , 即 )20,2,1(20)1( 因此老板 应存入的本金总数应等于 20121201201111)1(11120)1(120)1(20n 1( 1120 20将201)2120(14 00 20201n 万元 ) 注 :此题可利用 数按一定的精度要求计算 2020 )2111()2120( 的近似值 (2)由 (1)易见老板存入的本金总数应为 11 4001111120)1( 120元 ). (3)若规定第 n 年末支付 n 万元 ( ,2,1n ),则应在银行存入的本金总数为 : n 1()1(2111(211 ） 设幂级数 1和函数 )( - 9 - 21 11 1)( ）（ 故 2211)1 11(11)1 1(n将20120 万元 (4)若要求第 n 年末支付 n) 万元 ,则老板应在银行存入的本金总数为 1111)1()1(11由于该级数是发散的 ,本金总数为无穷大 ,因此老板不能答应 5. 经济模型中的应用 经济模型从状态上分一般有两类 ,静态模型和动态模型 性代数等 在动态模型中 ,时间或明显地成为一个变量 ,或隐含地成为滞后变量的形式 型的数学工具就是微分方程和差分方程 6 辑斯谛 ( 程 备知识 逻辑斯谛方程是一种在许多领域中 有着广泛应用的数学模型 ,其起源于人口研究 ,用于研究人口增长规律 ,但是为了便于理解 ,我们下面借助树的增长来建立该模型 . 一棵小树刚栽下去的时候长的比较慢 ,渐渐地小树长高了而且长的越来越快 ,几年不见 ,绿荫底下已经可以乘凉了 ,但长到某一高度后 ,它的生长速度趋于稳定 ,然后再慢慢降下来 如果假设树 的生长速度与它目前的高度成正比 ,则显然不符合两头尤其是后期的生长情形 ,因为树不可能越长越 快 ;但 如果假设树的生长速度正比于最大高 - 10 - 度与目前高度的差 ,则又明显不符合中间一段的生长过程 假设树的生长速度既与目前的高度呈正比 ,又与最大高度与目前高度的差成正比 . 数学建模 :设小树生长的最大高度为 )(在 t (年 )时 它 的高度为 )(则有 )()()( ,其中 0k 是比例常数 ,称此方程为 逻辑斯谛方程 .7 对 微分方程 )()()( 求解 : 分离变量得 )( 两边积分 ( 得 1) 整理得 k tH x 21 故逻辑斯谛方程的通解 为 : k 11)( 22(其中的 通解函数的图像称 为 )(说明树的增长有一个限制 ,因此也称为限制性模式 还应用于信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及商品的销售等等 . 体应用 例 8 在某池塘内养鱼 ,该池塘内最多能养 1000 尾 ,设在 t 时刻该池塘内鱼数 t 的函数 )(,其变化率与鱼数 y 及 y1000 的乘积成正比 ,比例常数为 0k 0 尾 ,3 个月后池塘内有鱼 250 尾 ,求放养七个月后池塘内鱼数 )(公式 ,放养 6 个月后有多少鱼？ - 11 - 解 :时间 t 以月为单位 ,依题意有 )1000( , 100| 0 250| 3 对方程分离变量且积分 ,得到 0001000 将 0t , 100y 代入 ,得 910 00911000 再将 3t , 250y 代入 ,得 30003ln放养 t 个月后池塘内的鱼数为 333931000)( (尾 ) 放养 6个月后池塘内的鱼数为 500)( 尾 ). 格调整模型 备知识 某商品在时刻 t 的售价为 p ,社会对该商品的需求量和供给量分别是 p 的函数 )( )(则在时刻 t 的价格 )(于时间 t 的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量 )()( 成正 比 ,即有微分方程 )()( 0k 在 )( )(定情况下 ,可以解出价格 )(时间 t 的函数关系 ,这就是商品的 价格调整模型 .8 - 12 - 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系 ,一般情况下 ,商品供给量 S 是价格 p 的单调递增函数 ,商品需求量 Q 是价格 p 的单调递减函数 ,为简单起见 ,该商品的 供给函数 与 需求函数 分别为 )( , )( (1) 其中 ,为常数 ,且 0b , 0 . 当供给量与需求量相等时 ,由式 (1)可得供求平衡时的价格 并称衡价格 当某种商品供不应求 ,即 时 ,该商品价格要升；当供大于求 ,即 时 ,该商品价格要降 假定 t 时刻的价格 )(变化率与超额需求量 成正比 ,则有方程 )()( ,其中 0k ,用来反映价格的调整速度 . 将 (1)代入方程可得 )( e (2) 其中常数 )( b ,方程 (2)的通解为 te )( 假设初始价格0)0( ,代入上式 ,得 )0(,于是上述价格的调整模型的解为 )()( 0 由于 0 知 , t 时 ,)(,说明随着时间不断延 ,实际价格 )(逐渐趋近均衡价格体应用 例 9 市场上某商品的需求和供给函数分别为 410)( 和 10522)( | 0 21| 0 那么在市场均衡条件下 ,该商品的价格为 ？ - 13 - 解 :由已知是 在市场均衡条件下 ,则 )()( 则 显然得 4333 这是 个 常系数二阶线性微分方程 ,能够求出该方程通解是 4)6 3s co s( 2121 t 考虑到当 0t 时 , 5p ,21确定 11c , 322 c 因此所求的该商品的价格为 4)6 3s co s( 2121 t . 它 才分配问题 每年大学生都要有一定比例的人员 被 分配 到 教育部们充实教育队伍 ,其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作 .设 t 年教师人数为 )(1 科学技术和管理人员人数为 )(2 又设 1 个教员每年平均培养 个毕业生 ,每年从教育、科技和经济管理岗位上退休、 死亡或调出人员的比率为 )10( , 表示每年大学毕业生中从事教师职业所占比率 )10( ,于是得到模型 (3),(4) 111 (3) 212 )1( (4) 上面所建立的模型称之为人才分配问题的模型 .9 方程 (3)的通解为 - 14 - (11 若设 101 )0( ,则 101 , 于是得到方程 (3)的一个特解 (101 将上式代入方程 (4),得 (1022 )1( 则方程 (4)的通解为 tt (1022 )1( 若设 )0(2 ,则 10202 )1( 从而得到上述方程 tt (1010202 )1()1( 上述两个特解分别表示在初始人数为 )0(1x 和 )0(2x 的情形 ,对应于 的取值 ,在 t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员的人数 如果 1 ,即毕业生全部留在教育界 ,则当 t 时 ,由于 ,必有 )(1 0)(2 说明教师队伍将迅速增加 ,而科技和经济管理队伍不断萎缩 ,势必要影响经济的发展 ； 反之也会影响教育的发展 接近于零 ,则 0)(1 同时也导致0)(2 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师队伍 ,将影响人才的培养最终会导致两支队伍全面的萎缩 ,因此选择好比率 ,将关系到两支队伍的建设 ,以及整个国民经济建设的大局 . 民收入与国民债务问 题 某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为101,国民债务的增长率为 - 15 - 国民收入的201,若 0t 时 ,国民收入为 5 (亿元 ),国民债务为 亿元 ),试求国民收入及国民债务与时间 t 的函数关系 .10 设国民收入函数为 )(由条件知 101 101 因为 0t 时 , 5y 得 5c 故国民收入函数 5101 设国民债务函数 )(由已知知 412001)5101(201201 414001 2 由 0t 时 , 得 1.0c 故国民债务函数为 1014140 01 2 结束语 本文写了 微分方程在经济中的 一些 应用 边际分析、弹性分析、连续复利、价格调整问题的模型 等 ,充分说明 经济工作与数学紧密相连 当然微分方程的经济应用还有很多 ,远不止这些 要想到利用微分方程来 进行分析 ,若遇到看似不能或者很难的问题时要能利用其将问题抽象化 ,以便让数学来为我们服务 .11 随着金融市场和现代企业制度的建立 ,数学越来越多地渗透到经济领域中 ,因此要很好的利用微分方程 ,使