导数及其应用 (2).doc

导数及其应用1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知函数f(x)x3ax23x9在R上存在极值，则实数a的取值范围是_2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件3.直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b_.4.若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 【例1】 已知曲线f(x)x33x.(1) 求曲线在点P(1，2)处的切线方程；(2) 求过点Q(2，6)的曲线yf(x)的切线方程【例2】已知函数f(x)(xk)ex.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 求f(x)在区间0,1上的最小值【例3】(2009山东)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由【例4】(2011苏北四市三模)已知函数f(x)ax2lnx，f1(x)x2xlnx，f2(x)x22ax，aR.(1) 求证：函数f(x)在点(e，f(e)处的切线恒过定点，并求出定点坐标；(2) 若f(x)f2(x)在区间(1，)上恒成立，求a的取值范围；(3) 当a时，求证：在区间(1，)上，满足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个1. (2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为_2.(2009江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_. 3.(2010辽宁)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_4.(2011福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_5.(2011江西)设f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；(2) 当06.(2010辽宁)已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设a1)的单调递增区间；(3) 如果存在a3,9，使函数h(x)f(x)f(x)(x3，b)在x3处取得最大值，试求b的最大值解：(1) 设切点为T(x0，x03x02)，由f(x)3x22x及题意得3x022x01(2分)解得x01或x0，所以T(1,0)或T，所以切线方程为xy10或27x27y50，(4分)(2) 因为g(x)x2xaalnx(x1)，所以由g(x)2x10得2x2xa0(6分)令(x)2x2xa(x1)，因为(x)在(1，)递增，所以(x)(1)3a.当3a0，即a3时，g(x)的增区间为(1，)；(8分)当3a3时，因为(1)3a0，所以(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1，由(x)0得x11，从而(x)0(x1)的解集为即g(x)的增区间为.(10分)(3) h(x)x34x2(2a)xa，h(x)3x28x(2a)因为存在a(3,9，令h(x)0，得x1，x2，所以要使h(x)(x3，b)在x3处取得最大值，必有解得a5，即a5,9(13分)所以存在a5,9使h(x)(x3，b)在x3处取得最大值的充要条件为h(3)h(b)即存在a5,9使(b3)a(b34b22b3)0成立因为b30所以9(b3)(b34b22b3)0，即(b3)(b2b10)0，解得b，所以b的最大值为(16分)第6讲导数及其应用1. 函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【答案】(1,11)解析： f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得单调减区间为(1,11)亦可填写闭区间或半开半闭区间2. 已知函数f(x)ax3bx2x3，其中a，bR，a0.(1) 当a，b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2) 已知a0，且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用a