2018-2019学年大庆市铁人中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1在ABC中，A60，a，则等于()A B C D 【答案】B【解析】由正弦定理及已知可得a=sinA，b=sinB，c=sinC，则=【详解】由正弦定理，=a=sinA，b=sinB，c=sinC则=故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题2在中，角，所对的边的长分别为，若，则的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D正三角形【答案】C【解析】利用正弦定理化简已知不等式，得到，利用余弦定理即可得出，可知为钝角，从而得出结论【详解】由正弦定理得：由余弦定理得： 为钝角，则为钝角三角形本题正确选项：【点睛】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理进行边角互化、余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键3在中，则B等于（ ）A或BCD以上答案都不对【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得，得，结合得，故选C【考点】正弦定理.4已知数列的前项和为，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据数列满足的性质即可求得通项公式.【详解】因为数列的前项和为,当时,代入可得而由,代入可得当时上式也成立综上可知故选:C【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,的应用,注意讨论是否满足所求的通项公式,属于基础题.5已知实数列成等比数列，则等于（ ）A4BCD【答案】C【解析】根据所给数列,先判断的符号.结合等比中项的定义即可求解.【详解】根据等比数列的通项公式,可知由等比中项定义可知所以 所以故选:C【点睛】本题考查了等比数列的性质,等比中项性质的应用,属于基础题.6一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（ ）A海里B海里C海里D海里【答案】A【解析】如图，在中，,则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10n mile【考点】解三角形7在中，则此三角形解的情况是( )A一解B两解C一解或两解D无解【答案】B【解析】由题意知，如图：，此三角形的解的情况有2种，故选B8在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )A2BCD4【答案】A【解析】由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案【详解】在中，因为,且，由正弦定理得，因为，则，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故选A【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9在各项均为正数的等比数列中，则的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，得到解得：，即，故选D10设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论错误的是（ ）ABCD和均为的最大值【答案】C【解析】根据前n项和的不等式,可得的符号及相关性,进而可判断选项.【详解】是等差数列,且前项和满足由,可知,由,可知,所以B正确;由,可知,根据等差数列性质可知,所以A正确;因为,所以,而,可得则,所以C错误;由,和可知,和均为的最大值,所以D正确.综上可知,错误的为C故选:C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和的关系,等差数列基本量的计算,对各项的关系要理解清楚,属于中档题.11在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：方程的两根为，由等比数列的性质得：，.故选B.【考点】一元二次方程的根；等比数列的性质.12ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c+bc-a=0.则A-BC-D【答案】B【解析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的大小，然后表示出B的大小，将原式利用正弦定理和两角差的正弦公式即可求出结果【详解】，在ABC中，由余弦定理的推论得，又，由题意及正弦定理得故选B【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是进行合理的角的变换和对式子的变形，考查变换能力和计算能力二、填空题13在中，角的对边分别为，则_【答案】【解析】试题分析：由正弦定理得，即，则，又，所以，即为锐角，所以【考点】正弦定理14中，、成等差数列，B=30， ，那么b =_.【答案】【解析】a、b、c成等差数列，2b=a+c，4b2=a2+c2+2ac， ，ac=6由得.15已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】根据数列的单调性及定义域的取值情况,即可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的取值范围.【详解】数列满足,且数列是单调递增数列所以为单调递增函数则满足,解不等式组可得 即当时数列是单调递增数列故答案为:【点睛】本题考查了数列的单调性应用,分段函数与数列的综合应用,注意数列自变量取值为正整数这一特征,属于中档题.16若数列的前项和为，点（）在直线上，则_.【答案】.【解析】根据点在直线上,代入可得与的关系,结合首项即可证明数列为等比数列.求得数列的表达式,再根据即可求得数列的通项公式.【详解】因为点在直线上代入可得,即.由可知数列是首项为,公比为的等比数列.所以由代入可得而不符合上式所以故答案为: 【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,数列递推公式的应用,注意讨论首项是否符合求得的通项公式,属于易错题.三、解答题17在中，角的对边分别是，.(1)求的值；(2)求及的面积.【答案】（1）;（2），.【解析】(1)根据条件计算出的值，然后利用正弦定理求解出的值；(2)利用条件求解出的值，然后根据面积公式求解出三角形面积.【详解】(1)因为，所以，又因为，所以；(2)因为，所以，又因为，所以【点睛】本题考查解三角形中正弦定理以及三角形面积公式的简单应用，难度较易.(1)解三角形的问题中，注意隐含条件的应用；(2)利用三角形的面积公式计算三角形面积时，注意选用合适的公式（两边及夹角）.18已知等比数列中，.（）求数列的通项公式；（）若，分别是等差数列的第8项和第20项，试求数列的通项公式及前项和.【答案】（）；（），.【解析】（）根据等比数列的通项公式,代入即可求得公比,进而得数列的通项公式；（）代入等比数列,先求得,.由等差数列的通项公式,可得关于首项与公差的方程组,解方程组即可求得数列的通项公式.由等差数列的前n项和公式即可求得.【详解】（）设等比数列的公比为则,解得所以由等比数列的通项公式可得数列的通项公式为（）设等差数列的公差为,依题意可得,两式相减可得解得,又,所以所以数列的通项公式,由等差数列的求和公式可得前项和公式【点睛】本题考查了等差数列及等比数列的综合应用,等比数列与等差数列通项公式的求法,等差数列前n项和公式的求法,属于基础题.19数列满足，（1）设，证明是等差数列；（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由an22an1an2，得an2an1an1an2，即可证得；（2）由（1）得bn12(n1)2n1，即an1an2n1，进而利用累加求通项公式即可.试题解析：（1）证明由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列（2）解由（1）得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以ann22n2,经检验，此式对n=1亦成立，所以，an的通项公式为ann22n2.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.20如图所示，某海滨城市位于海岸处，在城市的南偏西20方向有一个海面观测站，现测得与处相距31海里的处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向城市直线航行，30分钟后到达处，此时测得、间的距离为21海里.（）求的值；（）试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市？【答案】（）；（）（分钟）.【解析】（）由题意可先求得,在中应用余弦定理求得,再由同角三角函数关系式即可求得的值;（）由题意可得的度数,进而由可利用正弦的差角公式求得.结合正弦定理求得,即可求得游轮到达城市时所需时间.【详解】（）由已知,.在中,据余弦定理,有.所以由同角三角函数关系式可得.（）由已知可得,所以.在中,根据正弦定理,有,又,则.所以（分钟）.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用,同角三角函数关系式的应用,正弦和角公式的用法,属于中档题.21在锐角中，角，的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的最大值【答案】（1）；（2）4.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由三角形为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值试题解析：（1）由及正弦定理，得.所以，因为是锐角三角形，所以.（2）因为，所以由余弦定理，得，即.所以，即.所以，当且仅当取“=”.故的最大值是4.22正项数列的前项和为，且.（）试求数列的通项公式；（）设，求的前项和为.（）在（）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）；（）.【解析】（）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.（）由（）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.（）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.【详解】