高中数学复数讲义.教师版

高中数学 复数Page 1 of 17 知识内容 一 复数的概念 1 虚数单位 i 1 它的平方等于 即 1 2 1i 2 实数可以与它进行四则运算 进行四则运算时 原有加 乘运算律仍然成立 3 i 与 1 的关系 i 就是的一个平方根 即方程的一个根 方程的另一个根是 i 1 2 1x 2 1x 4 i 的周期性 41n ii 42 1 n i 43n ii 4 1 n i 2 数系的扩充 复数 0 ii 0 i 0 i 0 a b abb a ab b ab a 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 3 复数的定义 形如的数叫复数 叫复数的实部 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做i ab a b R ab 复数集 用字母表示C 4 复数的代数形式 通常用字母表示 即 把复数表示成的形式 叫做复数的代数形式 z zabi a bR abi 5 复数与实数 虚数 纯虚数及的关系 0 对于复数 当且仅当时 复数是实数 当时 复数 abi a bR 0b abi a bR a0b 叫做虚数 当且时 叫做纯虚数 当且仅当时 就是实数zabi 0a 0b zbi 0ab z 0 复数 高中数学 复数Page 2 of 17 6 复数集与其它数集之间的关系 NZQRC 7 两个复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 这就是说 如果 a 那么 a b d cd Riiabcd ac bd 二 复数的几何意义 1 复平面 实轴 虚轴 复数与有序实数对是一一对应关系 建立一一对应的关系 点的横i zab a b R a b Z 坐标是 纵坐标是 复数可用点表示 这个建立了直角坐标系来abi zab a b R Z a b 表示复数的平面叫做复平面 也叫高斯平面 轴叫做实轴 轴叫做虚轴 实轴上的点都表xy 示实数 2 对于虚轴上的点要除原点外 因为原点对应的有序实数对为 它所确定的复数是 0 0 表示是实数 00i0z 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 3 复数复平面内的点zabi 一一对应 Z a b 这就是复数的一种几何意义 也就是复数的另一种表示方法 即几何表示方法 三 复数的四则运算 1 复数与的和的定义 1 z 2 z 12 zz iiabcd iacbd 2 复数与的差的定义 1 z 2 z 12 zz iiabcd iacbd 3 复数的加法运算满足交换律 1221 zzzz 4 复数的加法运算满足结合律 123123 zzzzzz 5 乘法运算规则 高中数学 复数Page 3 of 17 设 是任意两个复数 1 izab 2 izcd abcd R 那么它们的积 12 iiiz zabcdacbdbcad 其实就是把两个复数相乘 类似两个多项式相乘 在所得的结果中把换成 并且把实部与 2 i1 虚部分别合并 两个复数的积仍然是一个复数 6 乘法运算律 1 123123 zz zz zz 2 123123 zzzzzz 3 123121 3 zzzz zz z 7 复数除法定义 满足的复数 叫复数除以复数的商 记为 iiicdxyab xyi xy Rabi cdi 或者 abicdi abi cdi 8 除法运算规则 设复数 除以 其商为 iab ab Ricd cd Rixy xy R 即 i iiabcdxy xyicdicxdydxcy i iicxdydxcyab 由复数相等定义可知解这个方程组 得 cxdya dxcyb 22 22 acbd x cd bcad y cd 于是有 i iabcd 2222 acbdbcad i cdcd 利用于是将的分母有理化得 22 iicdcdcd i i ab cd 原式 22 i i i i i i i i i ababcdacbdbcad cdcdcdcd 222222 i i acbdbcadacbdbcad cdcdcd i iabcd 2222 i acbdbcad cdcd 点评 是常规方法 是利用初中我们学习的化简无理分式时 都是采用的分母有理化思想方 法 而复数与复数 相当于我们初中学习的的对偶式 它们之积icd icd 32 32 为 是有理数 而是正实数 所以可以分母实数化 把这种方法叫做分1 22 cdicdicd 母实数化法 9 共轭复数 当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于的0 两个共轭复数也叫做共轭虚数 高中数学 复数Page 4 of 17 高中数学 复数Page 5 of 17 例题精讲 1 复数的概念复数的概念 例 1 已知为虚数单位 那么实数 a b 的值分别为 2 1 ai bi i i A 2 5 B 3 1 C 1 1 D 2 3 2 答案 D 例 2 计算 表示虚数单位 0 1 2 100 i i i i i 答案 952i 解析 而 故 4 i1 4 k4k 0 1 2 100 i i i iii 1 1 1 97952i 例 3 设 则下列命题中一定正确的是 22 253 22 iztttt t R A 的对应点在第一象限 B 的对应点在第四象限zZzZ C 不是纯虚数 D 是虚数zz 答案 D 解析 22 22 1 10ttt 例 4 在下列命题中 正确命题的个数为 两个复数不能比较大小 若是纯虚数 则实数 22 1 32 ixxx 1x 是虚数的一个充要条件是 zzz R 若是两个相等的实数 则是纯虚数 a b iabab 的一个充要条件是 z Rzz 的充要条件是 1z 1 z z A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 复数为实数时 可以比较大小 错 时 错 为实数1x 22 1 32 0 xxxi z 时 也有 错 时 错 正确 zz R0ab 0abab i 2 复数的几何意义复数的几何意义 例 5 复数 为虚数单位 在复平面上对应的点不可能位于 2i 12i m z m Ri 高中数学 复数Page 6 of 17 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 A 解析 由已知在复平面对应点如果在第一象限 则 2 2 12 1 4 2 1 12 12 12 5 mimii zmmi iii 而此不等式组无解 即在复平面上对应的点不可能位于第一象限 40 10 m m 例 6 若 复数在复平面内所对应的点在 35 44 cossin sincos i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 解析 结合正 余弦函数的图象知 当时 35 44 cossin0 sincos0 例 7 如果复数满足 那么的最小值是 zii2zz i1z A 1 B C 2 D 25 答案 A 解析 设复数在复平面的对应点为 因为 zZii2zz 所以点的集合是轴上以 为端点的线段 Zy 1 0 1 Z 2 0 1 Z 表示线段上的点到点的距离 此距离的最小值为点到点i1z 12 Z Z 11 2 0 1 Z 的距离 其距离为 11 1 例 8 满足及的复数的集合是 1z 13 22 zz z A B 1313 ii 2222 1111 ii 2222 C D 2222 ii 2222 1313 ii 2222 答案 D 解析 复数表示的点在单位圆与直线上 表示到点与点的距离z 1 2 x 13 22 zz z 1 0 2 3 0 2 相等 故轨迹为直线 故选 D 1 2 x 例 9 已知复数的模为 则的最大值为 2 i xy xy R 3 y x 答案 3 CO y x 高中数学 复数Page 7 of 17 解析 2i3xy 故在以为圆心 为半径的圆上 表示圆上的点与 22 2 3xy xy 2 0 C 3 y x xy 原点连线的斜率 如图 由平面几何知识 易知的最大值为 y x 3 例 10 复数满足条件 那么对应的点的轨迹是 z21izz z A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 答案 A 解析 A 设 则有 izxy 21 2 i 1 ixyxy 2222 21 2 1 xyxy 化简得 故为圆 22 215 339 xy 点评 的几何意义为点到点的距离 0 zz z 0 z 中所对应的点为以复数所对应的点为圆心 半径为的圆上的点 0 0 zzr r z 0 zr 例 11 复数 满足 证明 1 z 2 z 12 0z z 1212 zzzz 2 1 2 2 0 z z 解析 设复数 在复平面上对应的点为 由知 以 为邻边的 1 z 2 z 1 Z 2 Z 1212 zzzz 1 OZ 2 OZ 平行四边形为矩形 故可设 所以 12 OZOZ 1 2 0 z ki kk z R 2 2 221 2 2 i0 z kk z 也可设 则由向量与向量垂直知 12 iizabzcd a b c d 0acbd 故 1 2222 2 i i i0 i zabacbdbcadbcad zcdcdcd 2 2 11 2 22 0 zz zz 例 12 已知复数 满足 且 求与的值 1 z 2 z 1 71z 2 71z 12 4zz 1 2 z z 12 zz 答案 4 47 i 3 解析 设复数 在复平面上对应的点为 由于 1 z 2 z 1 Z 2 Z 222 71 71 4 故 222 1212 zzzz 故以 为邻边的平行四边形是矩形 从而 则 1 OZ 2 OZ 12 OZOZ 1 2 7147 ii 371 z z 1212 4zzzz 例 13 已知 求 12 zz C 12 1zz 12 3zz 12 zz 高中数学 复数Page 8 of 17 解析 设复数 在复平面上对应的点为 由知 以 为邻 12 zz 12 zz 123 ZZZ 12 1zz 1 OZ 2 OZ 边的平行四边形是菱形 记所对应的顶点为 OP 由知 可由余弦定理得到 故 12 3zz 1 120PZ O 12 60Z OZ 从而 12 1zz 例 14 已知复数满足 求的最大值与最小值 z 23i 23i 4zz dz 答案 max 2 21 3 d min 1d 解析 设 则满足方程 izxy xy 2 2 2 1 4 y x 2 2222 828 4 1 2 3 33 dxyxxx 又 故当时 当时 有 13x 10 xy min 1d 82 5 33 xy max 2 21 3 d 3 复数的四则运算复数的四则运算 例 15 已知 若 则等于 m R 6 i 64imm m A B C D 42 2 2 答案 B 解析 66366 i 2i 8i64i82mmmmmm 例 16 计算 12100 9100 22 2 3 13 12 3 ii ii 答案 511 解析 原式 1212100126 9 100 100 9999 2 1i i2 3 2 2i 1 21511 i 13 i i2 3 13 2 i 2 i 2222 例 17 已知复数 则的最大值为 1 cosiz 2 siniz 12 zz A B C D 3 3 2 2 6 2 答案 A 解析 12 cosi sini cos sin1 cossin izz 22 cos sin1 cossin 222 1 cossin2sin 22 4 故当时 有最大值 sin21 12 zz 13 2 42 高中数学 复数Page 9 of 17 例 18 对任意一个非零复数 定义集合 z n z Mw wzn N 设是方程的一个根 试用列举法表示集合 若在中任取两个数 求其z 1 0 x x z M z M 和为零的概率 P 2 若集合中只有 个元素 试写出满足条件的一个值 并说明理由 z M3z 答案 1 2 1 3 13 i 22 z 解析 1 是方程的根 z 2 10 x 或 不论或 iz iz iz iz 234 i iii i1i 1 z M 于是 2 4 21 C3 P 2 取 则及 13 i 22 z 2 13 i 22 z 3 1z 于是或取 说明 只需写出一个正确答案 23 z Mzzz 13 i 22 z 例 19 解关于的方程 x 2 56 2 i0 xxx 答案 12 3i2xx 解析 错解 由复数相等的定义得 2 23560 2 220 xxxx x xx 或 分析 且成立 的前提条件是 但本题并未告诉iiabcdac bd a b c d R 是否为实数 x 法一 原方程变形为 2 5i 62i0 xx 22 5i 4 62i 2i 1i 由一元二次方程求根公式得 1 5i 1i 3i 2 x 2 5i 1i 2 2 x 原方程的解为 1 3ix 2 2x 法二 设 则有 i xab a b R 2 i 5 i 6 2 i0abababi 22 56 252 i0abababba 22 560 2520 abab abba 由 得 代入 中解得 或 52 21 b a b 3 1 a b 2 0 a b 故方程的根为 12 3i2xx 例 20 已知 对于任意 均有成立 试求实数的 22 1 1zxi x 2 2 izxa x R 12 zz a 取值范围 高中数学 复数Page 10 of 17 答案 1 1 2 a 解析 12 zz 4222 1 xxxa 对恒成立 22 12 1 0a xa x R 当 即时 不等式恒成立 120a 1 2 a 当时 120a 2 120 1 1 24 12 1 0 a a aa 综上 1 1 2 a 例 21 关于的方程有实根 求实数的取值范围 x 2 2 i10 xai xa a 答案 1a 解析 误 方程有实根 22 2 4 1 450aiaia 解得或 5 2 a 5 2 a 析 判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况 而该方程中 2 0 0 axbxca 与并非实数 2ia 1 i a 正 设是其实根 代入原方程变形为 由复数相等的定义 得 0 x 2 000 21 i0 xaxax 解得 2 00 0 210 0 xax xa 1a 例 22 设方程的根分别为 且 求实数的值 2 20 xxk 2 2 k 答案 或 1k 3k 解析 若 为实数 则且 440k 2 222 444 2 2 k 解得 1k 若 为虚数 则且 共轭 440k 解得 2 222 444 2 2 k 3k 综上 或 1k 3k 例 23 用数学归纳法证明 cosisin cos isin n nnn N 并证明 从而 1 cosisin cosisin cosisin cos isin n nn 解析 时 结论显然成立 1n 若对时 有结论成立 即 nk cosisin cos isin k kk 则对 1nk 1 cosisin cosisin cosisin kk 由归纳假设知 上式 cosisin cos isin kk 高中数学 复数Page 11 of 17 cos cossinsin i cos sin sincos kkkk cos 1 isin 1 kk 从而知对 命题成立 1nk 综上知 对任意 有 n N cosisin cos isin n nnn N 易直接推导知 cosisin cosisin cos isin cosisin cos0isin01 故有 1 cosisin cosisin cosisin cosisin cos isin nnn cos isin cos isin nnnn 例 24 若是方程 的解 cosisin 12 121 0 nnn nn xa xa xaxa 12n aaa R 求证 12 sinsin2sin0 n aaan 解析 将解代入原方程得 1 1 cosisin cosisin 0 nn n aa 将此式两边同除以 则有 cosisin n 12 12 1 cosisin cosisin cosisin 0 n n aaa 即 12 1 cosisin cos2isin2 cosisin 0 n aaann 1212 1coscos2cos i sinsin2sin 0 nn aaanaaan 由复数相等的定义得 12 sinsin2sin0 n aaan 例 25 设 为实数 且 则 xy 5 11213 xy iii xy 答案 4 解析 由知 5 11213 xy iii 5 1 12 13 2510 xy iii 即 525 5415 0 xyxyi 故 解得 故 5250 54150 xy xy 1 5 x y 4xy 例 26 已知是纯虚数 求在复平面内对应点的轨迹 1 z z z 答案 以为圆心 为半径的圆 并去掉点和点 1 0 2 1 2 0 0 1 0 解析 法一 设 izxy xy R 则是纯虚数 2 22 i 1 i 11i 1 zxyx xyy zxyxy 高中数学 复数Page 12 of 17 故 22 0 0 xyxy 即的对应点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 并去掉点和点 z 1 0 2 1 2 0 0 1 0 法二 是纯虚数 且 1 z z 0 11 zz zz 0z 1z 得到 0 11 zz zz 1 1 0z zz z 2 2 zzz 设 则 zxyi xy R 22 xyx 0y 的对应点的轨迹以为圆心 为半径的圆 并去掉点和点 z 1 0 2 1 2 0 0 1 0 例 27 设复数满足 求的最值 z2z 2 4zz 解析 由题意 则 2 4zz z 22 4 1 zzzzzzz zz 设 i 2222 zabab 则 2 42i1i2 21zzababa 当时 此时 1 2 a 2 min 40zz 115 i 22 z 当时 此时 2a 2 min 410zz 2z 例 28 若 试求 23if zzz 63if zi fz 答案 64i 解析 23if zzz i 2 i i 3i22ii3if zzzzz 22i zz 又知 i 63if z 22i63izz 设 则 即 izab a b R izab 2 i i 6iabab 3i6iab 由复数相等定义得 解得 36 1 a b 21ab 2iz 故 2i 2 2i 2i 3i64ifzf 点评 复数的共轭与模长的相关运算性质 设 的共轭复数为 则 izxy xy R z2zzx 2 izzy 为实数 z 2 22 0zzzzz 为纯虚数 z 2 00 0 zzzz 高中数学 复数Page 13 of 17 对任意复数有 特别地有 zz 1212 zzzz 1212 z zzz 22 zz 11 2 2 zz zz 2 zz z zz 2 2 zzzz 1212 zzzz 1 1 22 zz zz 121222 zzzzzz 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明 例 29 已知虚数为 的一个立方根 即满足 且对应的点在第二象限 证明 1 3 1 2 并求与的值 23 111 2 1 1 答案 0 13 i 22 解析 法一 解得 或 32 1 1 1 0 xxxx 1x 13 i 22 x 由题意知 证明与计算略 13 i 22 法二 由题意知 故有 3 1 22 1 1 010 又实系数方程虚根成对出现 故的两根为 2 10 xx 由韦达定理有 1 3 2 1 2 2 233 1111 10 2 2 2 1113 i 1221 点评 利用的性质 可以快速计算一 13 i 22 331322 1 nnn n Z 2 10 些相关的复数的幂的问题 例 30 若 232 01232 0 n n aaaaa 0122 13 i 22 n naaaa NR 求证 036147258 aaaaaaaaa 解析 232 01232 n n aaaaa 3647258 036147258 aaaaaaaaa 2 036147258 0aaaaaaaaa 设 036147258 AaaaBaaaCaaa 高中数学 复数Page 14 of 17 则有 即 2 0ABC 1313 ii0 2222 ABC 解得 即 2 0 2 3 0 2 ABC BC ABC 036147258 aaaaaaaaa 例 31 设是虚数 是实数 且 z 1 wz z 12w 1 求的值及的实部的取值范围 zz 2 设 求证 为纯虚数 1 1 z u z u 3 求的最小值 2 wu 答案 1 的实部的取值范围是 3 1 1z z 1 1 2 解析 1 设 izab a b R 0b 则 2222 1 ii i ab wabab ababab 因为是实数 所以 即 w0b 22 1ab 1z 于是 2wa 122wa 1 1 2 a 所以的实部的取值范围是 z 1 1 2 2 22 22 11i12 i i 11i 1 1 zababbb u zababa 因为 所以为纯虚数 1 1 2 a 0b u 3 22 2 22 112 22221 1 1 11 baa wuaaaa aaaa 1 2 1 3 1 a a 因为 所以 1 1 2 a 10a 故 2 1 2 2 1 3431 1 wua a 当 即时 取得最小值 1 1 1 a a 0a 2 wu 1 例 32 对任意一个非零复数 定义集合 z 21 n z Mw wzn N 1 设是方程的一个根 试用列举法表示集合 1 2x x M 高中数学 复数Page 15 of 17 2 设复数 求证 z M z MM 答案 1 2 略 2222 1i 1i 1i 1i 2222 M 解析 1 是方程的根 1 2x x 或 1 2 1i 2 2 2 1i 2 当时 1 2 1i 2 2 1 i 2 211 1 11 i nn n 1 1111 i1i1 M 2222 1i 1i 1i 1i 2222 当时 2 2 1i 2 2 2 i 2 2222 1i 1i 1i 1i 2222 M 2222 1i 1i 1i 1i 2222 M 2 存在 使得 z M m N 21m z 于是对任意 n N 21 21 21 nmn z 由于是正奇数 21 21 mn 21n z M z MM 例 33 已知复数 和 其中均为实数 为虚数 0 1i 0 zm m izxy iwxy xyxy i 单位 且对于任意复数 有 z 0 wzz 2wz 1 试求的值 并分别写出和用表示的关系式 m x y xy 2 将作为点的坐标 作为点的坐标 上述关系式可以看作是坐标平面上点 xy P xy Q 的一个变换 它将平面上的点变到这一平面上的点 当点在直线上移动时 PQP1yx 试求点经该变换后得到的点的轨迹方程 PQ 3 是否存在这样的直线 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 若存在 试 求出所有这些直线 若不存在 则说明理由 答案 1 2 3 3 xxy yxy 23 2 32yx 3 这样的直线存在 其方程为或 3 3 yx 3yx 解析 1 由题设 00 2wzzzzz 0 2z 高