等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

1 一 等差等比数列基础知识点一 等差等比数列基础知识点 一 知识归纳 1 概念与公式 等差数列 1 定义 若数列称等差数列 1nnnn adaaa则常数满足 2 通项公式 1 1 dknadnaa kn 3 前 n 项和公式 公式 2 1 2 1 1 d nn na aan S n n 等比数列 1 定义若数列 常数 则称等比数列 2 通项公式 q a a a n n n 1 满足 n a 3 前 n 项和公式 当 q 1 时 1 1 kn k n n qaqaa 1 1 1 1 11 q q qa q qaa S n n n 1 naSn 2 简单性质 首尾项性质 设数列 321nn aaaaa 1 若是等差数列 则 n a 23121 nnn aaaaaa 2 若是等比数列 则 n a 23121 nnn aaaaaa 中项及性质 1 设 a A b 成等差数列 则 A 称 a b 的等差中项 且 2 ba A 2 设 a G b 成等比数列 则 G 称 a b 的等比中项 且 abG 设 p q r s 为正整数 且 srqp 1 若是等差数列 则 n a srqp aaaa 2 若是等比数列 则 n a srqp aaaa 顺次 n 项和性质 1 若是公差为 d 的等差数列 组成公差为 n2d 的等差数列 n a n k n nk n nk kkk aaa 1 2 1 3 12 则 2 若是公差为 q 的等比数列 组成公差为 qn的等比数列 注意 当 n a n k n nk n nk kkk aaa 1 2 1 3 12 则 q 1 n 为偶数时这个结论不成立 若是等比数列 n a 2 则顺次 n 项的乘积 组成公比这的等比数列 nnnnnnn aaaaaaaaa 3221222121 2 n q 若是公差为 d 的等差数列 n a 1 若 n 为奇数 则而 S 奇 S偶指所有奇数项 2 1 nn aaaaSSnaS 中中中偶奇中 即指中项注且 所有偶数项的和 2 若 n 为偶数 则 2 nd SS 奇偶 二 学习要点 1 学习等差 等比数列 首先要正确理解与运用基本公式 注意 公差 d 0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an an b 公差 d 0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn an2 bn 公 比 q 1 的等比数列的前 n 项公式可以写成 Sn a 1 qn 的形式 诸如上述这些理解对学习是很有帮助的 2 解决等差 等比数列问题要灵活运用一些简单性质 但所用的性质必须简单 明确 绝对不能用课外的 需要证明的性质解题 3 巧设 公差 公比 是解决问题的一种重要方法 例如 三数成等差数列 可设三数为 a a m a 2m 或 a m a a m 三数成等比数列 可设三数为 a aq aq2 或 a aq 四数成等差数列 q a 可设四数为 四数成等比数列 可设四数为 3 3 3 2 mamamamamamamaa 或 等等 类似的经验还很多 应在学习中总结经验 3 3 32 aqaq q a q a aqaqaqa 或 例 1 解答下述问题 已知成等差数列 求证 cba 1 1 1 1 成等差数列 c ba b ac a cb 2 成等比数列 2 2 2 b c bb a 解析 该问题应该选择 中项 的知识解决 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2211 2 2 2 2222 成等比数列 成等差数列 b c bb a bb ca b ac b c b a c ba b ac a cb b ca cab ca ac cacab ac abacbc c ba a cb cabac bac ca bca 评析 判断 或证明 一个数列成等差 等比数列主要方法有 根据 中项 性质 根据 定义 判断 3 等比数列的项数 n 为奇数 且所有奇数项的乘积为 1024 所有偶数项的乘积为 求项数 n 2128 解析 设公比为24 2128 1024 142 531 n n aaa aaaa q 1 24 2 1 1 n qa 7 2 35 2 5 2 2 1 2 2 1 221281024 2 35 2 5 2 35 2 1 1 2 35 321 1 2 35 321 n n qa nqaaaaa nn n n 得 代入得将 而 等差数列 an 中 公差 d 0 在此数列中依次取出部分项组成的数列 17 5 1 321 21 kkkaaa n kkk 其中恰为等比数列 求数列 项和的前nkn 解析 171 2 51751 aaaaaa 成等比数列 1 3 13 13 2 132 1 2 1 323 3 4 2 0 0 2 16 4 1 1 11 1 1 1 1 5 1 111 2 1 nnSnk k dkddkaa daa a da a a qa dad daddaada n n nn n n nnk nn k k n n n 项和的前 得由 而 的公比数列 评析 例 2 是一组等差 等比数列的基本问题 熟练运用概念 公式及性质是解决问题的基本功 例 3 解答下述问题 三数成等比数列 若将第三项减去 32 则成等差数列 再将此等差数列的第二项减去 4 又成等比 数列 求原来的三数 解析 设等差数列的三项 要比设等比数列的三项更简单 设等差数列的三项分别为 a d a a d 则有 9 338 9 26 9 2 50 10 2 9 26 10 3 8 8 064323 168 03232 4 32 2 2 2 2 2 或原三数为 或得或 adddd da add dadaa adada 有四个正整数成等差数列 公差为 10 这四个数的平方和等于一个偶数的平方 求此四数 4 解析 设此四数为 15 15 5 5 15 aaaaa 25 2 125 1 2551251125 125 45004 2 15 5 5 15 22 22222 am am am am amamamam amamma Nmmaaaa 且均为正整数与 解得所求四数为 47 57 67 77 1262不合或aa 评析 巧设公差 公比是解决等差 等比数列问题的重要方法 特别是求若干个数成等差 等比数列的问 题中是主要方法 二 等差等比数列练习题二 等差等比数列练习题 一 选择题 1 如果一个数列既是等差数列 又是等比数列 则此数列 A 为常数数列 B 为非零的常数数列 C 存在且唯一 D 不存在 2 在等差数列中 且 成等比数列 则的通项公式为 n a4 1 a 1 a 5 a 13 a n a A B C 或 D 或13 nan3 nan13 nan4 n a3 nan4 n a 3 已知成等比数列 且分别为与 与的等差中项 则的值为 cba yx abbc y c x a A B C D 不确定 2 1 2 2 4 互不相等的三个正数成等差数列 是 a b 的等比中项 是 b c 的等比中项 那么 三个数 cba xy 2 x 2 b 2 y A 成等差数列不成等比数列 B 成等比数列不成等差数列 C 既成等差数列又成等比数列 D 既不成等差数列 又不成等比数列 5 已知数列的前项和为 则此数列的通项公式为 n an n SnnS n 24 2 12 A B C D 22 nan28 nan 1 2 n n annan 2 6 已知 则 4 2 zyyxxz A 成等差数列 B 成等比数列 C 成等差数列 D 成等比数列zyx zyx zyx 1 1 1 zyx 1 1 1 7 数列的前项和 则关于数列的下列说法中 正确的个数有 n an1 n n aS n a 一定是等比数列 但不可能是等差数列 一定是等差数列 但不可能是等比数列 可能是等比数列 也可能是等差 5 数列 可能既不是等差数列 又不是等比数列 可能既是等差数列 又是等比数列 A 4 B 3 C 2 D 1 8 数列 1 前 n 项和为 16 1 7 8 1 5 4 1 3 2 1 A B C D 1 2 1 2 n n 2 1 2 1 1 2 n n1 2 1 2 n nn 2 1 2 1 1 2 n nn 9 若两个等差数列 的前项和分别为 且满足 则的值为 n a n bn n A n B 55 24 n n B A n n 135 135 bb aa A B C D 9 7 7 8 20 19 8 7 10 已知数列的前项和为 则数列的前 10 项和为 n an25 2 nnSn n a A 56 B 58 C 62 D 60 11 已知数列的通项公式为 从中依次取出第 3 9 27 3n 项 按原来的顺序排成一个新的数列 n a5 nan n a 则此数列的前 n 项和为 A B C D 2 133 n n 53 n 2 3103 n n 2 3103 1 n n 12 下列命题中是真命题的是 A 数列是等差数列的充要条件是 n aqpnan 0 p B 已知一个数列的前项和为 如果此数列是等差数列 那么此数列也是等比数列 n anabnanSn 2 C 数列是等比数列的充要条件 n a 1 n n aba D 如果一个数列的前项和 则此数列是等比数列的充要条件是 n ancabS n n 1 0 0 bba0 ca 二 填空题二 填空题 13 各项都是正数的等比数列 公比 成等差数列 则公比 n a1 q 875 aaaq 14 已知等差数列 公差 成等比数列 则 n a0 d 1751 aaa 1862 1751 aaa aaa 15 已知数列满足 则 n a nn aS 4 1 1 n a 16 在 2 和 30 之间插入两个正数 使前三个数成等比数列 后三个数成等差数列 则插入的这两个数的等比中项为 二 解答题解答题 17 已知数列是公差不为零的等差数列 数列是公比为的等比数列 求公比及 n ad n b aq46 10 1 321 bbbq n b 6 18 已知等差数列的公差与等比数列的公比相等 且都等于 求 n a n bd 1 0 dd 11 ba 33 3ba 55 5ba nn ba 19 有四个数 其中前三个数成等比数列 其积为 216 后三个数成等差数列 其和为 36 求这四个数 7 20 已知为等比数列 求的通项式 n a 324 20 2 3 aaa n a 21 数列的前项和记为 n an 11 1 211 nnn S aaSn 求的通项公式 n a 等差数列的各项为正 其前项和为 且 又成等比数列 求 n bn n T 3 15T 112233 ab ab ab n T 8 22 已知数列 n a满足 11 1 21 nn aaanN I 求数列 n a的通项公式 II 若数列 n b满足 12 111 4 4 4 1 nn bbbb n anN 证明 n b是等差数列 9 数列综合题 一 选择题 题号123456789101112 答案BDCAAACADDDD 二 二 填空题填空题 13 14 15 16 6 2 51 29 26 n 3 1 3 4 3 三 解答题三 解答题 17 a a1 a a10 a1 9d a a46 a1 45d 1 b 2 b 3 b 由 abn 为等比数例 得 a1 9d 2 a1 a1 45d 得 a1 3d 即 ab1 3d ab2 12d ab3 48d q 4 又由 abn 是 an 中的第 bna 项 及 abn ab1 4n 1 3d 4n 1 a1 bn 1 d 3d 4n 1 bn 3 4n 1 2 18 a3 3b3 a1 2d 3a1d2 a1 1 3d2 2d a5 5b5 a1 4d 5a1d4 a1 1 5d4 4d 得 2 d2 1 或 d2 由题意 d a1 an a1 n 1 d n 6 bn a1dn 1 2 4 31 51 d d 5 1 5 5 5 5 5 5 n 1 5 5 19 设这四个数为aaqaqa q a 2 则 由 得 a3 216 a 6 36 3 216 aaqaqa aqa q a 代入 得 3aq 36 q 2 这四个数为 3 6 12 18 20 解 设等比数列 an 的公比为 q 则 q 0 a2 a4 a3q 2q a3 q 2 q 所以 2q 解得 q1 q2 3 2 q 20 3 1 3 当 q1 a1 18 所以 an 18 n 1 2 33 n 1 3 1 3 18 3n 1 当 q 3 时 a1 所以 an 3n 1 2 3n 3 2 9 2 9 10 21 解 I 由可得 两式相减得 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 11 2 32 nnnnn aaa aan 又 21 213aS 21 3aa 故是首项为 公比为得等比数列 n a13 1 3n n a 设的公差为 n bd 由得 可得 可得 2 5b 3 15T 123 15bbb 故可设 13 5 5bd bd 又 123 1 3 9aaa 由题意可得 2 51 5953dd 解得 12 2 10dd 等差数列的各项为正 n b0d 2d 2 1 322 2 n n n Tnnn