高中数学 精讲优练课型 第二章 基本初等函数（I）2.3 幂函数课件 新人教版必修1.ppt

2 3幂函数 知识提炼 1 幂函数的概念函数 叫做幂函数 其中自变量是 是常数 y x x 2 幂函数的图象和性质 1 五个幂函数的图象 2 幂函数的性质 r r r 0 0 0 r 0 r 0 y y r且y 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 1 1 即时小测 1 思考下列问题 1 二次函数都是幂函数吗 判断的依据是什么 提示 不一定 如y 5x2 y x2 3都不是幂函数 只有二次项系数为1 无一次项和常数项的二次函数才是幂函数 判断的依据是函数解析式要符合幂函数解析式的结构特征 2 幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限 提示 不能 因为当x 0时 x 0 因此图象不能出现在第四象限 2 下列所给的函数中 是幂函数的是 a y 2x5b y x3 1c y x 3d y 3x 解析 选c 选项c符合y x 的形式 对于a系数不为1 b中含有常数项 而d是指数函数 3 若y ax3 2b 4 是幂函数 则a b的值为 a 1b 1c 3d 3 解析 选d 由于y ax3 2b 4 是幂函数 则解得a 1 b 2 故a b 3 4 已知幂函数y x 的图象经过点 2 16 则f 3 解析 由于幂函数y x 的图象经过点 2 16 即2 16 解得 4 故f 3 3 4 81 答案 81 知识探究 知识点1幂函数的概念观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征 问题2 幂函数和指数函数有哪些区别 总结提升 1 幂函数解析式的结构特征 1 指数为常数 2 底数是自变量 3 幂x 的系数为1 2 幂函数与指数函数的比较 知识点2幂函数的图象及性质观察图形 回答下列问题 问题1 观察上述图象 在第一象限 它们有何特点 问题2 这些图象有何对称性 奇偶性如何 总结提升 1 幂函数y x 在第一象限内的图象特征 1 指数大于1 在第一象限为抛物线型 下凸 2 指数等于1 在第一象限为上升的射线 去掉端点 3 指数大于0小于1 在第一象限为抛物线型 上凸 4 指数等于0 在第一象限为水平的射线 去掉端点 5 指数小于0 在第一象限为双曲线型 五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为 正抛负双 大竖小横 即 0 1 时的图象是抛物线型 1时的图象是竖直抛物线型 0 1时的图象是横卧抛物线型 0时的图象是双曲线型 2 五个幂函数的奇偶性幂函数y x y x3 y x 1为奇函数 幂函数y x2为偶函数 幂函数y 为非奇非偶函数 3 幂函数三个常用的性质 1 所有的幂函数在区间 0 上都有定义 且图象都过点 1 1 2 0时 幂函数的图象经过原点 并且在区间 0 上是增函数 特别地 当 1时 幂函数的图象下凸 当0 1时 幂函数的图象上凸 3 0时 幂函数的图象在区间 0 上是减函数 在第一象限内 当x从右边趋向原点时 图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴 当x趋于 时 图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 题型探究 类型一幂函数的概念 典例 1 下列函数 y y y 2x4 y x3 2 y x 1 2 y x y ax 0 a 1 其中幂函数的个数为 a 1b 2c 3d 42 2015 开封高一检测 已知幂函数f x m2 2m 2 则f 3 解题探究 1 典例1中应从哪几个方面判定函数为幂函数 提示 应从指数 底数 以及幂x 的系数三方面判定 2 典例2中的m2 2m 2应满足什么条件 提示 应使m2 2m 2 1 解析 1 选b 为指数函数 中系数不为1 中的解析式为多项式 中底数不是自变量本身 所以只有 是幂函数 故选b 2 由于f x m2 2m 2 为幂函数 故m2 2m 2 1 解得m 1 所以f x x2 则f 3 9 答案 9 延伸探究 若典例2中的函数 f x m2 2m 2 改为 f x m2 m 1 且此函数为奇函数 则f 3 的值应为多少 解析 由于f x m2 m 1 为幂函数 则有m2 m 1 1 解得m 1或m 2 又因为该函数为奇函数 则当m 1时 f x x6不符合 当m 2时 f x x3 符合 故f 3 3 3 27 方法技巧 求幂函数解析式的依据和常用方法 1 依据 若一个函数为幂函数 则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征 这是解决与幂函数有关问题的隐含条件 2 常用方法 设幂函数解析式为f x x 依据条件求出 变式训练 已知函数f x lg m2 6 xm x r 为幂函数 则f 3 解析 已知函数f x lg m2 6 xm x r 为幂函数 则lg m2 6 1 即lg m2 6 lg10 解得m 2 又函数的定义域为r 故m 2 则f x x2 得f 3 9 答案 9 类型二幂函数的图象 典例 1 如图是函数y m n n m n互质 的图象 则 a m n是奇数 且1c m是偶数 n是奇数 且1 2 2015 烟台高一检测 如图是幂函数y xm与y xn在第一象限内的图象 则有 a 11d n1 3 如图 图中曲线是幂函数f x x 在第一象限内的大致图象 已知 取 2 2四个值 则相应于曲线c1 c2 c3 c4的 的值依次为 解题探究 1 典例1中的函数y 的定义域和值域分别是什么 提示 由图象可以看出 定义域是全体实数 而值域是非负数 由此可得m是偶数 n是奇数 2 典例2中x 0 1 内任取同一个值时 这三个函数对应的图象的高低如何 图象的高低与指数的大小有怎样的对应关系 提示 当x 0 1 时 这三个函数对应的图象由高到低的顺序为y xn y x 1 y xm 点低指数大 3 典例3中当 取 2 时 对应的函数在第一象限内的图象如何 当 取 2呢 提示 当 取 2 时 在第一象限内对应的图象是下降的 当 取 2时 对应的图象是上升的 解析 1 选c 由图象知 函数为偶函数 所以m为偶数 n为奇数 又函数图象在第一象限内上凸 所以 1 2 选b 在 0 1 内取x0 作直线x x0 与各图象有交点 则 点低指数大 由此可判定0 m 1 n 1 3 由幂函数的图象与性质 0时不过原点 故c3 c4对应的 值均为负 c1 c2对应的 值均为正 由增 减 快慢知曲线c1 c2 c3 c4的 值依次为2 2 答案 2 2 延伸探究 典例3中若将 2 2 改为 1 2 3 4对应的函数图象分别为c1 c2 c3 c4 那么 1 2 3 4的大小关系为 解析 由c1 c2 c3 c4在第一象限内的图象可知 1 2应大于零 3 4应小于零 结合图象的增减快慢 曲线c1 c2 c3 c4的 值的大小依次为 1 2 3 4 答案 1 2 3 4 方法技巧 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1 依据图象高低判断幂指数大小 相关结论为 在 0 1 上 指数越大 幂函数图象越靠近x轴 简记为指大图低 在 1 上 指数越大 幂函数图象越远离x轴 简记为指大图高 2 依据图象确定幂指数 与0 1的大小关系 即根据幂函数在第一象限内的图象 类似于y x 1或y 或y x3 来判断 拓展延伸 幂函数y x m n互质 的奇偶性幂函数y x 的奇偶性是由m n的值确定的 当m n均为奇数时 y x 是奇函数 当m为偶数 n为奇数时 y x 是偶函数 当m为奇数 n为偶数时 y x 既不是奇函数 也不是偶函数 变式训练 已知函数y xa y xb y xc的图象如图所示 则a b c的大小关系为 解题指南 结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行辨别 解析 根据在第一象限内的图象可知 a 0 b 0 c1 bb c 答案 a b c 补偿训练 函数y 的图象大致是 解析 选b 函数y 是定义域为r的奇函数 且此函数在定义域上是增函数 其图象关于原点对称 排除a c 另外 因为y 所以当x 0 1 时 函数y 的图象在直线y x的下方 当x 1 时 函数y 的图象在直线y x的上方 故选b 类型三利用幂函数的性质比较大小 典例 比较下列各组数中两个数的大小 解题探究 本典例 1 2 中可以利用什么形式的幂函数来进行比较 提示 1 中的指数都是0 3 因此可以利用函数y x0 3的增减性比较大小 2 中的指数都是 1 因此可以利用函数y x 1的增减性来比较大小 解析 1 因为幂函数y x0 3在 0 上是单调递增的 2 因为幂函数y x 1在 0 上是单调递减的 延伸探究 1 变换条件 若将典例 1 中的 改为又如何进行大小比较 解析 因为 30 3 而y x0 3在 0 上是单调递增的 2 变换条件 若将典例 1 中的 改为又如何比较其大小 解析 因为y1 在x 0 上为减函数 又0 30 3 所以 所以 方法技巧 比较幂值大小的三种基本方法 补偿训练 试比较的大小 解析 因为y1 在r上为减函数 又又因为函数y2 在x 0 上是增函数 且 延伸探究 1 若将 改为 如何比较其大小 解析 因为函数y 在x 0 上是增函数 2 若将 改为 又如何比较其大小 解析 因为函数y 在x 0 上是减函数 易错案例利用幂函数的单调性求参数的范围 典例 2015 大同高一检测 若 3 2a a 1 则实数a的取值范围为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是对幂函数的定义域考虑不全面 在解答过程中只考虑了底数是同号 而忽略了底数不同号的情况 从而定义域考虑不全造成漏解 自我矫正 由题意可得 可利用幂函数y 的单调性来求解 类比y x 1的单调性可得 若则