函数的单调性

1 函数的单调性 函数的奇偶性函数的单调性 函数的奇偶性 本周教学重点本周教学重点 掌握函数单调性的定义 会用定义法证明函数的单调性及掌握函数单调性的定义 会用定义法证明函数的单调性及 其步骤 其步骤 1 设设 x1 x2是定义域上的任意两个值 且是定义域上的任意两个值 且 x1 x2 2 作差作差 f x1 f x2 并将其变形为可判断符号的形式 并将其变形为可判断符号的形式 3 判断判断 f x1 f x2 的正 负 的正 负 4 结论结论 理解函数奇偶性的定义及奇 偶函数定理 能判断 证明一些简单函数的理解函数奇偶性的定义及奇 偶函数定理 能判断 证明一些简单函数的 奇偶性 会利用函数奇偶性求解有关函数问题 奇偶性 会利用函数奇偶性求解有关函数问题 1 函数的定义域在数轴上关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件 函数的定义域在数轴上关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件 2 f x f x f x f x 0f x 是奇函数 是奇函数 f x f x f x f x 0f x 是偶函数 是偶函数 由由 f x f x 或或 f x f x 是侧重于函数解析式的变形去证明是侧重于函数解析式的变形去证明 f x 的奇偶性 的奇偶性 而而 f x f x 0 或或 f x f x 0 是通过运算去证明是通过运算去证明 f x 的奇偶性 两种定义形式各的奇偶性 两种定义形式各 具不同优势 具不同优势 3 若若 f x 是奇函数且允许是奇函数且允许 x 0 则 则 f 0 0 即 即 f x 的图象过原点 的图象过原点 4 若若 f x 既是奇函数 又是偶函数 则既是奇函数 又是偶函数 则 f x 0 5 同为奇函数 同为偶函数的两个函数之积是偶函数 一奇一偶两个函同为奇函数 同为偶函数的两个函数之积是偶函数 一奇一偶两个函 数之积是奇函数 数之积是奇函数 6 定义在定义在 R 上的任意一个函数上的任意一个函数 f x 都可表示为一个奇函数都可表示为一个奇函数 g x 与一个偶函与一个偶函 数数 h x 的和 的和 即即 f x g x h x 其中 其中 g x f x f x h x f x f x 例题分析例题分析 例例 1 证明函数 证明函数 f x 在定义域上的单调性 在定义域上的单调性 分析与解答分析与解答 函数的单调性必须在定义域内进行考查 由函数的单调性必须在定义域内进行考查 由 x2 x 0 得得 f x 定定 2 义域为义域为 1 0 函数定义域不是一个连续的区间 应分别考查在每一个区间上的单调性 函数定义域不是一个连续的区间 应分别考查在每一个区间上的单调性 用定义法证明时 只需任取用定义法证明时 只需任取 x1 x2 作差 作差 f x1 f x2 对整理后的表达式分区间 对整理后的表达式分区间 讨论 便可得到各区间上单调性的结论 讨论 便可得到各区间上单调性的结论 任取任取 x1 x2 由 由 f x1 f x2 当当 x1 x2 1 时 时 x1 x2 0 x1 x2 10 f x1 f x2 0 f x 是是 1 上的单调递减函数 上的单调递减函数 当当 0 x1 x2 时 时 x1 x20 0 f x1 f x2 0 f x 是是 0 上的单调递增函数 上的单调递增函数 例例 2 函数 函数 f x 是是 0 上的单调递减函数 上的单调递减函数 f x 0 且且 f 2 1 证明函数 证明函数 F x f x 在在 0 2 上的单调性 上的单调性 分析与解答分析与解答 函数函数 f x 没有给出解析式 因此对没有给出解析式 因此对 F x 的函数值作差后 需由的函数值作差后 需由 f x 的单调性 确定作差后的符号 任取的单调性 确定作差后的符号 任取 0 x1 x2 2 由由 F x1 F x2 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 1 0 x1f x2 f 2 1 f x1 f x2 0 f x1 f x2 1 0 3 F x1 F x2 0 F x 是是 0 2 上的单调递减函数 上的单调递减函数 例例 3 证明函数 证明函数 f x 的奇偶性 的奇偶性 分析与解答分析与解答 函数的奇偶性必须在其定义域内考查 函数的奇偶性必须在其定义域内考查 由由 函数函数 f x 定义域为定义域为 1 0 0 1 x 3 3 x 3 3 x 即 即 f x 由 由 f x f x f x 是奇函数 是奇函数 例例 4 设 设 f x 是定义在是定义在 R 上的函数 对任意上的函数 对任意 x1 x2 R 恒有 恒有 f x1 x2 f x1 f x2 且 且 f x 不恒为不恒为 0 证明 证明 f x 的奇偶性 的奇偶性 分析与解答分析与解答 函数函数 f x 没有给出解析式 这就必须从定义域 法则 及没有给出解析式 这就必须从定义域 法则 及 f x 不不 恒为恒为 0 去分析 完成奇偶性的证明 由去分析 完成奇偶性的证明 由 f x 定义域为定义域为 R 显然允许 显然允许 x 0 所以 所以 f 0 0 是是 f x 的奇函数的必要条件 的奇函数的必要条件 令令 x1 x2 0 由 由 f x1 x2 f x1 f x2 得得 f 0 0 f 0 f 0 整理得 整理得 f 0 0 对任意对任意 x R 由 由 f x1 x2 f x1 f x2 知知 f x f x f x x f 0 0 f x f x f x 不恒为不恒为 0 f x 不可能既是奇函数又是偶函数 所以不可能既是奇函数又是偶函数 所以 f x 是是 R 上的上的 奇函数 奇函数 例例 5 已知函数 已知函数 f x a b c Z 是奇函数 且是奇函数 且 f 1 2 f 2 3 1 求求 a b c 的值 的值 2 用定义法证明用定义法证明 f x 在在 0 1 上的单调性 上的单调性 分析与解答分析与解答 1 f x 是奇函数 是奇函数 f x f x 即 即 解 解 4 出出 c 0 f x f 1 2 2 2b a 1 f 2 3 3 将 将 2b a 1 代入 代入 3 解出 解出 1 a 2 a b c Z a 0 或或 a 1 当 当 a 0 时 时 b 不合题意 舍去 当不合题意 舍去 当 a 1 时 时 b 1 综上 综上 a b 1 c 0 2 f x x 任取 任取 0 x1 x2 1 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 0 x1 x2 1 x1 x2 0 x1x21 1 0 f x 是是 0 1 上的单调递减函数 上的单调递减函数 例例 6 证明函数 证明函数 f x x 的图象关于直线的图象关于直线 y x 对称 对称 分析与解答分析与解答 由反函数定理可知 当两个函数互为反函数时 它们的图象由反函数定理可知 当两个函数互为反函数时 它们的图象 关于直线关于直线 y x 对称 所以要证明对称 所以要证明 f x x 的图象关于直线的图象关于直线 y x 对称 只需证明对称 只需证明 f x 的反函数是其自身即的反函数是其自身即 可 可 5 f x 的值域为的值域为 y y y R 由由 y ayx y x 1 ay 1 x y 1 y ay 1 0 x 即 即 f 1 x x 显然 显然 f x 与与 f 1 x 是同一函数 所求是同一函数 所求 f x 的图象关于直线的图象关于直线 y x 对称 对称 参考练习参考练习 1 设 设 f x 是定义在是定义在 R 上的任意一个增函数 上的任意一个增函数 F x f x f x 必是 必是 A 增函数且是奇函数 增函数且是奇函数 B 增函数且是偶函数 增函数且是偶函数 C 减函数且是奇函数 减函数且是奇函数 D 减函数且是偶函数 减函数且是偶函数 2 已知 已知 y f x 是是 R 上的奇函数 当上的奇函数 当 x 0 时 时 f x x2 2x 则 则 f x 在在 R 上的上的 表达式是 表达式是 A y x x 2 B y x x 1 C y x x 2 D y x x 2 3 若点 若点 1 2 在函数在函数 y 的图象上 又在它的反函数的图象上 则的图象上 又在它的反函数的图象上 则 A a 3 b 7 B a 3 b 7 C a 3 b 7 D a 3 b 7 4 函数 函数 f x 是定义在是定义在 6 6 上的偶函数 且在上的偶函数 且在 6 0 上是减函数 则 上是减函数 则 A f 3 f 4 0 B f 3 f 2 0 C f 2 f 5 0 5 设 设 f x 是定义在是定义在 1 1 上的奇函数且是单调减函数 求解关于上的奇函数且是单调减函