高考数学一轮复习 9.5 空间直角坐标系与空间几何体课件 文 新人教A版.ppt

一 空间直角坐标系 9 5空间直角坐标系与空间几何体 1 如图所示 在空间取一点o 以点o为原点作三条互相垂直的且有相同单位长度的数轴 分别称为x轴 y轴 z轴 统称为坐标轴 这三个坐标轴中每两条确定一个平面 分别称为xoy平面 yoz平面和zox平面 这样的三条坐标轴就组成了空间坐标系 3 在给定的空间直角坐标系中 空间点m与有序数组 x y z 建立了一一对应关系 因此 有序数组 x y z 叫做点m在此空间直角坐标系的坐标 记作m x y z 其中x叫做点m的横坐标 y叫做点m的纵坐标 z叫做点m的竖坐标 2 在空间坐标系中 让右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 若中指指向z轴的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 4 空间任意两点m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 之间的距离 m1m2 5 空间中两点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 线段p1p2的中点m的坐标 是 二 立体几何的综合应用 1 平行与垂直 2 几何体的表面积和体积 3 三视图与直观图中的平行与垂直 4 球的有关问题 5 立体几何与函数 导数 1 点p a b c 到坐标平面xoy的距离是 a b a c b d c 解析 作pp1 xoy平面 则p1 a b 0 pp1 c 为所求 答案 d 2 已知a x 5 x 2x 1 b 1 x 2 2 x 当 ab 取最小值时 x的值为 a 19 b c d 解析 ab 当x 时 ab 取最小值 答案 c 3 如图所示 在长方体oabc o1a1b1c1中 oa 2 ab 3 aa1 2 m是ob1与bo1的交点 则m点的坐标是 解析 因为 oa 2 ab 3 aa1 2 a 2 0 0 a1 2 0 2 b 2 3 0 b1 2 3 2 所以m点的坐标为 即 1 1 答案 1 1 题型1空间直角坐标系的基本问题 例1 1 在空间直角坐标系中 已知点p x y z 关于下列叙述 点p关于x轴对称点的坐标是p1 x y z 点p关于yoz平面对称点的坐标是p2 x y z 点p关于y轴对称点的坐标是p3 x y z 点p关于原点对称点的坐标是p4 x y z 其中叙述正确的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 2 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 ab 的最小值是 a b c d 分析 1 点p的对称点关键要抓住对称平面和对称轴 2 建立关于含有t的距离表达式 解析 1 点p x y z 关于x轴对称点的坐标是p1 x y z 故 错误 点p x y z 关于yoz平面对称点的坐标是p2 x y z 故 错误 点p x y z 关于y轴对称点的坐标是p3 x y z 故 错误 点p x y z 关于原点对称点的坐标是p4 x y z 故 正确 所以应选a 2 ab 答案 1 a 2 c 点评 1 点p x y z 关于坐标轴x轴 y轴或z轴 的对称点坐标为x值不变 y值或z值不变 其余两坐标值变为原来的相反数 点p x y z 关于坐标平面yoz 平面xoy或平面xoz 对称点的坐标为x值变为原值的相反数 z值变为原值的相反数或y值变为原值的相反数 其余两坐标值不变 2 本题体现了学科间的综合问题 最终转化成了求函数的最值问题 特别是二次函数的最值问题在高中数学各章节中的渗透无处不在 应该把二次函数的知识灵活应用 变式训练1 1 已知abcd为平行四边形 且a 4 1 3 b 2 5 1 c 3 7 5 则点d的坐标为 a 3 1 5 b 2 3 1 c 5 13 3 d 4 1 2 若a b两点的坐标是a 3cos 3sin 1 b 2cos 2sin 1 其中 r 则 ab 的取值范围是 a 0 5 b 1 5 c 1 5 d 1 25 解析 1 ac的中点与bd的中点重合 ac的中点为 4 1 则2 2 x 2 4 5 y 2 1 1 z 则点d的坐标为 5 13 3 2 ab cos 1 1 ab 1 5 答案 1 c 2 b 题型2空间直角坐标系的应用 例2 如图 在三棱锥s abc中 abc是边长为4的等边三角形 平面sac 平面abc sa sc 2 d为线段ab的中点 求证 sa sd 分析 本题一方面可运用立体几何知识求解 但需要添加一些辅助线 另一方面也可根据图形特征建立空间直角坐标系 将几何证明问题转化为代数计算问题 解析 取ac的中点为o 连接os ob sa sc ab bc ac so 且ac ob 平面sac 平面abc 平面sac 平面abc ac so 平面abc so ob 如图 以o为原点 oa ob os所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系o xyz 则易得a 2 0 0 b 0 2 0 s 0 0 2 d 1 0 sd 2 又 sa 2 sa sd 归为代数计算 是解决此类问题的关键 点评 依据面面垂直建立空间直角坐标系 将几何证明化 变式训练2如图 正方形abcd 正方形abef的边长都是1 且平面abcd 平面abef互相垂直 点m在ac上移动 点n在bf上移动 若cm bn a 0 a 1 求线段mn的长 2 当a为何值时 线段mn的长最小 最小值为多少 1 如图 以点b为原点 ba be bc所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 易得m a 0 1 a n a a 0 mn 故线段mn的长为 0 a 解析 2 由 1 知mn 当a 时 mn 取得最小值 即m n分别移动到ac bf的中点时 线段mn的长最小 最小值为 题型3探索性问题 例3在空间直角坐标系中 已知a 3 0 1 和b 1 0 3 试问 1 在y轴上是否存在点m 满足 ma mb 2 在y轴上是否存在点m 使 mab为等边三角形 若存在 试求出点m的坐标 分析 设出点m的坐标 根据相等关系列出方程 组 求出点m的坐标 解析 1 假设在y轴上存在点m 满足 ma mb m在y轴上 可设m 0 y 0 由 ma mb 可得 显然 此式对任意y r恒成立 这就是说y轴上所有点都满足关系 ma mb 2 假设在y轴上存在点m 0 y 0 使 mab为等边三角形 由 1 可知 y轴上任一点都有 ma mb 只要 ma ab 就可以使得 mab为等边三角形 ma ab 2 由 2 解得y 故y轴上存在点m使 mab为等边三角形 点m的坐标为 0 0 或 0 0 的坐标是否存在的问题 而且方法简捷 点评 由此可见 利用空间两点间的距离公式可以探索点 变式训练3如图所示 正四棱锥s abcd的底面边长为a 侧棱长也为a e为线段sc的中点 ac与bd交于点o 问在线段bd上是否存在一点f 使得 ef a 若存在 找出点f的位置 若不存在 请说明理由 解析 以o为原点 线段ab bc的中垂线所在直线为x轴 y轴 os所在直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 则a 0 b 0 c 0 d 0 e为线段sc的中点 点e的坐标为 a 假设在bd上存在一点f x x 0 x 使得 ef a so a 点s的坐标为 0 0 a 整理 得2x2 x a 故在线段bd上存在点f a a 0 或 a a 0 满足题意 由空间两点间的距离公式 得 a 面直角坐标系中的一些结论可以类似地在空间直角坐标系中得到 空间两点间的距离公式可以用来求两点间的距离 也可以由距离求点的坐标 结合具体图形建立适当的空间直角坐标系 可以求图形中一些特殊点之间的距离 与在平面直角坐标系中一样 在空间直角坐标系中 也可以求满足一定条件的点的轨迹方程 本知识点主要包括空间直角坐标系和空间两点间的距离公式 空间直角坐标系和平面直角坐标系有很多相似的地方 平 例已知a bcd为正四面体 且a 0 0 0 b 0 2 0 c 1 0 求点d的坐标 错解 a bcd为正四面体 设d x y z 则 ad bd cd ab 即x2 y2 z2 x2 y 2 2 z2 x 2 y 1 2 z2 4 解得x y 1 z 从而d点的坐标为 1 剖析 正四面体的三个点确定后 第四个顶点的位置有两种可能 故本题有两解 解题绝不能想当然 凭主观臆断 而应多想想为什么 譬如这里的点d位置是一个还是两个呢 如果多想一想 本题就不会解错了 正解 同错解 得x y 1 z 从而点d的坐标为 1 或 1 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 点b是点a 1 2 3 在坐标平面yoz内的射影 则 ob 等于 a b c d 解析 b点坐标为 0 2 3 ob 答案 b 2 基础再现 在空间直角坐标系中 已知点p 1 过p作平面yoz的垂线pq 则垂足q的坐标为 a 0 0 b 0 c 1 0 d 1 0 答案 b 解析 根据空间直角坐标系的概念知 yoz平面上点q的x坐标为0 y坐标 z坐标与点p的y坐标 z坐标分别相等 q 0 3 基础再现 三棱锥p abc中 a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 1 0 p 0 0 3 此棱锥的体积为 a 1 b 3 c 6 d 2 解析 vp abc s abc pa 2 1 3 1 答案 a 4 视角拓展 已知点a 1 2 11 b 4 2 3 c 6 1 4 则 abc的形状是 a 等腰三角形 b 等边三角形 c 直角三角形 d 等腰直角三角形 bc ac bc 2 ac 2 ab 2 abc为直角三角形 答案 c 解析 ab 5 视角拓展 设y r 则点p 1 y 2 的集合为 a 垂直于xoz平面的一条直线 b 平行于xoz平面的一条直线 c 垂直于y轴的一个平面 d 平行于y轴的一个平面 如图 y变化时 点p的x坐标为1 z坐标为2保持不变 点p在xoz平面上射影为p 1 0 2 p点的集合为直线pp 它垂直于xoz平面 答案 a 解析 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 6 基础再现 已知三角形的三个顶点a 2 1 4 b 3 2 6 c 5 0 2 则过点a的中线长为 解析 bc的中点为 1 1 2 故过点a的中线长为 7 答案 7 7 视角拓展 在空间直角坐标系中 正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 3 1 2 其中心m 0 1 2 则正方体的棱长为 解析 设正方体的棱长为a 则对角线的长 ac1 a 2 am a 答案 8 高度提升 实数x y z满足 x 3 2 y 4 2 z2 2 那么x2 y2 z2的最小值是 解析 x 3 2 y 4 2 z2 2表示以c 3 4 0 为球心 半径为的球面 u x2 y2 z2表示球面上的点 x y z 到原点o 0 0 0 距离的平方 co 5 原点o在球面外 故o到球面上点的最小距离d co u d2 5 2 27 10 答案 27 10 9 高度提升 已知空间三点a 1 2 3 b 2 1 2 p 1 1 2 点q在直线op上运动 o为原点 当 取最小值时 点q的坐标为 解析 设q x y z 则有 即 x y z 2 于是 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 6 2 16 10 显然当 时取最小值 此时q 答案 10 视角拓展 在空间直角坐标系中 点a在x轴上 它到点b 0 3 的距离是到点c 0 1 1 的距离的2倍 求a点坐标 解析 a点在x轴上 可设a m 0 0 ab 2 ac 2 m2 2 9 4 m2 1 1 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 3m2 3 m 1 a 1 0 0 或a 1 0 0 11 高度提升 正三棱锥p abc底面边长为2 高为2 m是侧棱pa中点 n是底面三角形abc的边bc中点 如图 建立适当的空间直角坐标系 求 mn 解析 an bc 取射线nc na分别为x轴 y轴正向建立如图所示空间直角坐标系 设底面正三角形中心为o 则po 平面abc 由题设条件可知an on n 0 0 0 a 0 0 p 0 2 m 0 1 mn po z轴 12 能力综合 已知正方体oacb o1a1c1b1的棱长为2 1 若f为线段o1a的中点 在线段bb1上求一点e 使 ef 最小 2 若已知e为线段bb1中点 在线段o1a上找一点f 使 ef 最小 解析 以o为原点 oa ob oo1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空