2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案

北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科） 2015.5本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至2 页，第卷3 至6 页，共150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回1设集合，集合，则 AB （ ）A（1 3）) B（1 3 C1 3）) D（1 32已知平面向量，则实数k （ ）A4 B4 C8 D83设命题 p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数则下列命题中真命题是（ ）4执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（ ）A 1 2 B1 3 C2 3 D1 3 95某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A3 B4 C5 D66数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）AB21 C42 D847若“ x 1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）Aa 3 Ba 3 Ca 4 Da 48在长方体，点M 为AB1 的中点，点P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MPPQ 的最小值为（ ）第卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分9复数10双曲线C ：的离心率为；渐近线的方程为11已知角的终边经过点（3，4），则cosa ；cos 2 12如图，P 为O 外一点，PA是切线， A为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E 若PB = ，则PA ；ADDE 13现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种（用数字作答）14如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形 ABCD内的区域（阴影部分）的面积S f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：；任意，都有任意其中所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13 分）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ，b 3，（） 求角A 的大小；（） 求ABC 的面积16（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”（）当a b 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ， n 的大小关系；（）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望（）若a 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值（只需写出结论）17（本小题满分14 分）如图 1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将ADE沿DE折起到的位置，使，如图 2 求证：平面BCDE ； 求二面角的余弦值； 判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由18（本小题满分13 分）已知函数，其中aR 当时，求 f (x)的单调区间； 当a 0时，证明：存在实数m 0，使得对于任意的实数x，都有 f (x)m成立19（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且AB2 若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程； 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20（本小题满分13 分）无穷数列 P ：，满足，对于数列P